a. f(x, y)

1. Narysować dziedzinę funkcji:
a. f (x, y) = arc sin(x + y),
√
b. f (x, y) = x · y,
c. f (x, y) =
2
√x y ,
y−x
d. f (x, y) = arc cos(x2 + y 2 ) −
p
e. f (x, y) = − 2 − x2 − 2y 2 .
√
2x −
√5 ,
y
2. Dla odwzorowań znaleźć macierz Jakobiego:
a. f : R3 → R, f (x, y, z) = z sin(xey ) w punkcie ( π2 , −1, 1),
b. f : R2 → R2 , f (x, y) = (x4 + y 4 , 3x + 5y 2 ) w punkcie (1, −1),
c. f : R3 → R2, f (x, y, z) = (ex + ey + ez, 2x + 3y + 4z) w dowolnym punkcie (x, y, z) ∈ R3 ,
d. f (x, y) = e3xy + ln(xy) w dowolnym punkcie (x, y) ∈ R2 ,
e. f (x, y, z) = xyz w dowolnym punkcie (x, y, z) ∈ R3 .
∂z
∂z
+ y ∂y
= z (x + y + ln z).
3. Wykazać, że funkcja z = xy · y x spełnia równanie x ∂x
x
∂z
∂z
4. Wykazać, że funkcja z = e y2 spełnia równanie 2x ∂x
+ y ∂y
= 0.
5. Wykazać, że funkcja z = ln(x2 + y 2 ) spełnia równanie
x
6. Wykazać, że funkcja z = e y spełnia równanie
∂z
∂x
−
∂z
∂y
∂2z
∂x2
+
∂2z
∂y 2
= 0.
2
∂ z
+ y ∂x∂y
= 0.
7. Wykazać, że funkcja u(x, t) = A sin(aλt+ϕ) sin(λx) spełnia tzw. równanie struny drgającej
∂2u
∂t2
8. Wyznaczyć najmniejszą i największą wartość funkcji:
a. f (x, y) = x2 − y 2 + 2a2 w kole x2 + y 2 6 a2 ,
b. f (x, y) = 2x3 + 4x2 + y 2 − 2xy w obszarze domkniętym i ograniczonym liniami y = x2 , y = 4,
c. f (x, y) = x3 + y 3 − 9xy + 27 w obszarze 0 6 x 6 4, 0 6 y 6 4,
d. f (x, y) = xy(4 − x − y) w trójkącie ograniczonym prostymi x = 1, y = 0, x + y = 6.
9. Zbadać ekstrema funkcji jednej zmiennej określonej równaniem:
a. x2 + 2xy + y 2 − 4x −
1
4
= 0,
b. x5 + y 4 − 4xy 2 = 0,
c. x2 + y 2 − 8x − 4y + 19 = 0,
d. y 3 + 2xy + x2 = 0.
2
= a2 ∂∂xu2 .