Historia matematyki, Lista 3

Historia matematyki, Lista 3
Zadanie 1. (Pons asinorum czyli most osłów) Wykorzystując cechę BKB przystawania trójkątów (Elementy, Tw. I.4) udowodnij Tw. I.5: Kąty przy podstawie trójkąta równoramiennego
są równe.
Wskazówka: Cecha BKB polega na porównaniu odpowiednich wielkości DWÓCH trójkątów.
Rozważ dwie kopie tego samego trójkąta równoramiennego: ABC i A’B’C’.
Zadanie 2. Korzystając z cech przystawiania trójkątów udowodnij Tw. I 32: Jeśli dwa przeciwne boki czworokąta są równe i równoległe, to dwa pozostałe też są równe i równoległe (czyli
czworokąt jest równoległobokiem).
√
Zadanie 3. Grecy konstruowali odcinek długości n, n ∈ N następująco:
Na prostej odłóż odcinki: AB o długości n i BC o długości 1. Narysuj półokrąg o średnicy AC
i poprowadź prostopadłą do tej średnicy, przechodzącą
przez punkt B. Przecina ona półokrąg w
√
punkcie D. Odcinek BD ma szukaną długość n.
Wykaż, że to prawda.
Zadanie 4. Oblicz kąt wewnętrzny pięciokąta foremnego. Podziel ten pięciokąt na pięć trójkątów przystających, mających
wspólny wierzchołek. Oblicz kąty jednego z tych trójkątów.
√
Wiedząc, że cos 36◦ = 5+1
i
korzystając
z zadania poprzedniego skonstruuj
pięciokąt foremny
4
√
?
wpisany w okrąg o promieniu 1. Jak można wykazać, że cos 36◦ = 5+1
4
Zadanie 5. Stosując rachunek całkowy wykaż, że pole powierzchni części sfery zawartej pomiędzy przecinającymi tę sferę płaszczyznami równoległymi zależy TYLKO od odległości tych
płaszczyzn i w przypadku sfery o promieniu R jest równe ... Uwaga: powyższe twierdzenie jest
prawdziwe tylko w R3 .
Zadanie 6. Jak Archimedes znalazł przybliżenie liczby π?
Załóżmy, że w okrąg o promieniu 16 wpisujemy wielokąty foremne. Niech Sn oznacza obwód
wielokąta o n bokach. Oczywiście S6 = 1.
a) Wyraź S2n za pomocą Sn . b) Oblicz S12 , S24 , S48 i S96 . c) Wydedukuj, że π ≈ 48S96 , skąd
π ≈ 3, 14103 = 22
7
Zadanie 7. Kwadratury koła nie można wykonać posługując się tylko linijką i cyrklem. Gdy
mamy do pomocy pewne specjalne krzywe, jest to już problem dość łatwy do rozwiązania. Oto
metoda Archimedesa:
Dany jest okrąg o środku O = (0, 0) i promieniu a. Naszkicuj fragment spirali Archimedesa.
tzn. krzywej zaczynającej się w punkcie O i danej równaniem biegunowym r = aϕ.
Wykaż, że gdy promień wodzący OP zakreśli kąt π/2 i będzie prostopadły do osi Ox, to długość
odcinka OP będziem równa 41 długości okręgu. Zauważ, że to rozwiązuje zadanie kwadratury
koła.
Zadanie 8. (inwersja)
a) Jaki warunek muszą spełniać stałe c1 i c2 , aby okręgi x2 +y 2 −2ax+c1 = 0 i x2 +y 2 −2ax+c= 02
były ortogonalne?
b) Inwersja I płaszczyzny względem okręgu x2 + y 2 = 1 to takie przekształcenie R2 \ {(0, 0)},
które punkt P przeprowadza na taki I(P ), że |OP
!| · |OI(P )| = 1. Sprawdż, że dana jest ona
x
y
wzorem analitycznym I(x, y) =
, 2
.
2
2
x + y x + y2
c) Sprawdź, że I przeprowadza oś Ox na pewien okrąg. Podaj równanie tego okręgu. Jakie
proste przechodzą na okręgi? Jakie okręgi na proste?
d*) Spróbuj wykazać, że I (ale też każda inna inwersja) przeprowadza rodzinę okręgów i prostych
na rodzinę okręgów i prostych.