Metryki i przestrzenie metryczne Mało kto zdaje sobie sprawę, że na

Metryki i przestrzenie metryczne
Mało kto zdaje sobie sprawę, że na co dzień odległości mierzymy w bardzo różny sposób. Odległość drogowa
z Wrocławia do Warszawy wynosi 350 km, ale kolejowa około 470 km. A i tak najważniejsze jest zwykle to,
ile czasu zabiera podróż.
Zwykle podajemy odległość w jednostkach takich jak metr (lub kilometr), jednak na przykład w górach
odległości mierzymy w godzinach marszu (co uwzględnia stromiznę niektórych podejść). Na powierzchni
kuli odległość dwóch punktów to długość łuku koła wielkiego, przechodzącego przez te dwa punkty (dlatego
samoloty z Finlandii do USA latają w pobliżu Bieguna Północnego!).
Matematycy zauważyli, że wszystkie sposoby mierzenia odległości spełniają trzy warunki:
1) Odległość jest liczbą nieujemną, a odległość z A do B wynosi zero wtedy i tylko wtedy, gdy A=B.
2) Odległość ma własność symetrii: odległość z A do B jest równa odległości z B do A.
3) Odległość z A do C jest nie większa od sumy odległości z A do B i z B do C.
Niech d(x, y) oznacza odległość z x do y. Oto powyższe trzy warunki zapisane symbolicznie: dla dowolnych
x, y, z
1) d(x, y) ­ 0 oraz d(x, y) = 0 ⇔ x = y
2) d(x, y) = d(y, x)
3) d(x, z) ¬ d(x, y) + d(y, z).
Definicja. Jeśli dany jest jakikolwiek zbiór X, a w nim funkcja d(x, y), spełniająca warunki 1), 2) i 3), to
d(x, y) nazywa się metryką w zbiorze X, a o parę (X, d) nazywa się przestrzenią metryczną.
Zadania
1. Sprawdzić, czy opisane poniżej funkcje są metrykami na płaszczyźnie (tzn. X = R2 ):
a) d((x1 , y1 ), (x2 , y2 )) = |x1 − x2 |;
b) d((x1 , y1 ), (x2 , y2 )) = |x1 − x2 | + |y1 − y2 |;
c) d((x1 , y1 ), (x2 , y2 )) = max(|x1 − x2 |, |y1 − y2 |);
d) d((x1 , y1 ), (x2 , y2 )) = min(|x1 − x2 |, |y1 − y2 |);
e) d((x1 , y1 ), (x2 , y2 )) = |x1 − x2 | + 21 |y1 − y2 |.
Definicja. Zbiór tych wszystkich punktów, których odległość w metryce d od ustalonego punktu O wynosi
r lub mniej nazywamy kulą o środku O i promieniu r i oznaczamy B(O, r).
2. Narysować kulę o środku (0, 0) i promieniu r = 1 w metrykach z zadania 1.
3. Na zbiorze wszystkich ciągów n-elementowych o wyrazach 0 lub 1 określamy funkcję
d(x, y) = liczba tych współrzędnych, na których ciąg x różni się od ciągu y.
a) Sprawdzić, że to jest metryka.
b) Jak wyglądają kule w tej metryce: o promieniu r < 1; o promieniu r = 1; o promieniach r > 1?
c) Chcemy kulami o promieniu r = 1 pokryć cały ten zbiór ciągów. Ile co najmniej trzeba wziąć kul i jakie
punkty wybrać jako ich środki?
Dla ułatwienia rozpatrzeć najpierw przypadek mniejszych wymiarów: n = 2 oraz n = 3.
1