lista 2. 1. Za ló˙zmy, ˙ze dalszy czas ˙zycia T(x)

IV ROK MATEMATYKI
Matematyka ubezpieczeniowa- lista 2.
1. ZaÃlóżmy, że dalszy czas życia T (x) jest zmienna̧ losowa̧ o rozkÃladzie
U (0, 80) (tzn. jednostajnym na odcinku [0, 80]). Niech δ oznacza dana̧ intensywność oprocentowania. Dla ubezpieczenia na wypadek śmierci, jednostkowego,
pÃlatnego w chwili śmierci, oblicz:
a) jednorazowa̧ skÃladkȩ netto
b) wariancjȩ zdyskontowanej przyszÃlej wypÃlaty
c) kwantyl rzȩdu 0.9 zdyskontowanej przeszÃlej wypÃlaty
2. Dla ubezpieczenia na wypadek śmierci, odroczonego 5-cio letniego, δ =
0.1, µx = 0.04, oblicz:
a) jednorazowa̧ skÃladkȩ netto
b) wariancjȩ zdyskontowanej przyszÃlej wypÃlaty
3. 100 osób w wieku (x) z niezależnymi dalszymi czasami życia zostaÃlo
ubezpieczonych na wypadek śmierci, na kwotȩ 10000 (każda). Przyjȩto, że intensywność umieralności w tej grupie jest staÃla i wynosi 0.04, a intensywność
oprocentowania 0.06. Oblicz minimalny fundusz ubezpieczyciela w chwili zawarcia ubezpieczenia, aby z prawd. 0.95 zapewnić wypÃlacalność ubezpieczyciela
posiadaja̧cego taki portfel ubezpieczeń.
4. W pewnej populacji dÃlugość życia ma rozkÃlad wykÃladniczy z parametrem
µx = µ. Niech Z oznacza zdyskontowana̧ wartość świadczenia z polisy w ubezpieczeniu na wypadek śmierci wypÃlacaja̧cej 1 w chwili śmierci. Oblicz δ, dla
której V ar(Z) ma wartość maksymalna̧.
1
5. Niech µx = 1+x
, x > 0. Wykaż, że:
R ∞ −δt 1+x
a) Ax = 1 − δ 0 e 1+x+t dt
b)
dAx
dx
< 0,
dla x > 0
R∞
6. a) Pokazać, że Āx = x p01vx x vyy p0 µy dy, x ≥ 0.
b) Różniczkuja̧c powyższa̧ równość wyprowadzić równanie:
dĀx
= Āx (µx + δ) − µx
dx
c) W podobny sposób wyprowadzić równanie:
dĀx1 :n|
= Āx1 :n| (µx + δ) + Āx:n|1 µx+n − µx
dx
7. Obliczyć A40:25| , jeśli lx = 100 − x, 0 ≤ x ≤ 100 oraz δ = 0.05.
8. Przy zaÃlożeniu prawa De Moivre’a, dla ω = 100, i = 0.1, obliczyć Ā30:10| .
1