tutaj

Zadanie domowe z Dynamicznej Optymalizacji
Wyklad: dr hab. Jakub Growiec, prof. SGH
Termin oddania: 3 stycznia 2017
1. Rozwiaż
acy
problem optymalizacyjny:
, nastepuj
,
,
max
T
−1
X
{ct }
β t cθt


xt+1 = xt − ct ,
x0 > 0 dane,


xT = 0,
p.w.
t=0
przyjmujac
, parametryzacje:
,
(a) θ ∈ (0, 1) oraz β ∈ (0, 1),
(b) θ ∈ (0, 1) oraz β = 1,
(c) θ = 1 oraz β ∈ (0, 1),
(d) θ = 1 oraz β = 1.
2. Przeczytawszy rozdzialy 2.3–2.4 z materialu G. Klimy: http://www.nbp.pl/publikacje/
materialy_i_studia/ms201.pdf (str. 37-41):
(a) Wykonaj ćwiczenie 2.12 ze str. 38.
(b) Wykonaj ćwiczenie 2.13 ze str. 39.
(c) Wykonaj ćwiczenie 2.14 ze str. 39.
(*) Wariacja na temat zadania 2.3 ze str. 42. Wykorzystujac
, dowolne znane sobie oprogramowanie (np. Matlab, Octave, R, nawet Excel), przeprowadź numeryczna, aproksymacje, funkcji wartości w modelu Ramseya z pelna, deprecjacja,, funkcja, produkcji CobbaDouglasa i logarytmiczna, użytecznościa,, przyjmujac
, α = 1/3 i β = 0.9 (równanie (2.24)
ze str. 37). W raporcie z wykonania zadania zalacz
wynik obliczeń w postaci wykresu
,
funkcji wartości V (k) oraz funkcji polityki c(k), a także (o ile to możliwe) kod procedury.
3. Dany jest problem maksymalizacji zdyskontowanej użyteczności z konsumpcji ct jednorodnego
aktywa at (zakladamy stalość r̄ > 0):
max
{ct }t=0,1,2...
∞
X
β t u(ct ),
β ∈ (0, 1),
t=0
p.w. at+1 = xt (1 + r̄)at − ct .
(a) Korzystajac
, z zasady optymalności Bellmana, wyznacz równanie Eulera opisujace
, optymalna, dynamike, ct w przypadku, kiedy xt ≡ 1 jest stale.
c1−γ
1
t
(b) Zakladajac
, xt ≡ 1 oraz u(ct ) = 1−γ , gdzie γ > 1, a także przyjmujac
, oznaczenie β = 1+ρ ,
gdzie ρ > 0 jest stopa, dyskontowa,, zinterpretuj od strony ekonomicznej wynik uzyskany
w podpunkcie (a).
(c) Korzystajac
, z zasady optymalności Bellmana, wyznacz równanie Eulera opisujace
, optymalna, dynamike, ct w przypadku, kiedy xt ∼ iid F(1, σ) jest w każdym okresie losowane
w sposób niezależny z pewnego rozkladu o wartości oczekiwanej 1 i wariancji σ 2 > 0.
1
(d) Sformuluj warunek transwersalności dla tego problemu. Przeksztalć go do postaci nie
wykorzystujacej
explicite funkcji wartości. Zinterpretuj od strony ekonomicznej.
,
4. Rozważmy zagadnienie konsumenta, którego życie trwa skończona,, acz nieznana,, losowa, liczbe,
okresów D. Zgodnie z modelem wiecznej mlodości” Blancharda (1985) zakladamy, że nieza”
leżnie od tego, ile okresów udalo sie, już przeżyć, prawdopodobieństwo śmierci w nadchodza,
cym okresie jest stale i równe d ∈ (0, 1). Konsument pragnie zmaksymalizować oczekiwana, na
chwile, 0 calkowita, użyteczność z konsumpcji w ciagu
calego swojego życia. Dla uproszczenia,
,
pomijamy stope, dyskontowa, (zakladamy β = 1):
max E0
D
X
u(ct ).
t=0
Zakladamy u(c) = cθ , gdzie θ ∈ (0, 1) oraz przyjmujemy, że w przypadku śmierci, funkcja
wartości dalszego życia jest równa zero (śmierć w chwili D utożsamiamy wiec
, z zerowa, konsumpcja, w okresach D + 1, D + 2, itd.).
Przez caly czas życia konsumenta, jego aktywa sa, akumulowane zgodnie z równaniem
at+1 = at (1 + r) − ct ,
gdzie r > 0 jest stala,, zadana, stopa, zwrotu z aktywa.
(a) Oblicz bezwarunkowe prawdopodobieństwo, że konsument bedzie
żyl dokladnie n okresów
,
(n = 1, 2, ...).
(b) Wykaż, że powyższy problem optymalizacyjny jest równoważny pewnemu problemowi
deterministycznemu z nieskończonym horyzontem czasowym. Zapisz jego postać.
(c) Sformuluj równanie Bellmana dla tego zagadnienia. Znajdź na jego podstawie równanie
Eulera, określajace
optymalna, dynamike, konsumpcji w czasie.
,
(d) Przy dodatkowym zalożeniu r =
problemu jest spelniony.
d
1−d ,
2
wykaż, że warunek transwersalności dla tego