presentation

Dynamika Brownowska
Ilona D. Kosińska
Instytut Inżynierii Biomedycznej i Pomiarowej
Politechnika Wroclawska
17 grudnia 2008
Wstep
,
Symulacje dynamiki Brownowskiej:
I
N - jonów w systemie,
I
równania ruchu dla każdego jonu oparte o równanie
Langevina.
Równanie Langevina
Zatem dla każdej czastki
mamy
,
mi
d~vi
~i + F
~i ,
= −mi γi ~vi + R
dt
i = 1, . . . , N,
gdzie
I
mi , ~vi oraz γi oznaczaja, odpowiednio mase,
oraz
, predkość
,
wspólczynnik tarcia i – tego jonu;
I
trzy wyrazy po prawej stronie odpowiadaja, silom: tarcia,
losowej oraz systematycznej.
(1)
Równanie Langevina
~ = 0, R
~ = 0 rozwiazaniem równania (1) na ~v (t) jest funkcja
Gdy F
postaci:
~v (t) = v~0 e −γt ,
(2)
z kolei funkcja opisujaca
polożenie ~x (t) ma postać:
,
~x (t) = v~0 γ −1 1 − e −γt ,
(3)
Równanie Langevina
I
wspólczynnik γi−1 jest w istocie czasem relaksacji predkości
,
I
na podstawie relacji Einsteina znajdujemy powiazanie
,
wspólczynnika dyfuzji z tarciem:
Di = kT /mγi .
(przyklad twierdzenia o fluktuacji i dyssypacji (I rodzaju):
ruch Browna w ośrodku, który jest w stanie równowagi
termicznej, również daży
do osiagni
ecia
równowagi termicznej)
,
,
,
Równanie Langevina
Równanie Langevina (cont.)
co daje przesuniecia
dziesietnych
Å w czasie rzedu
dziesiatek
fs.
,
,
,
,
WNIOSEK
ruch jonu potasowego w wodzie jest przetlumiony
(tj. bardzo szybko wytlumiony)
Równanie Langevina
I
sily: tarcia i losowa reprezentuja, uśrednione zderzenia czastki
,
z czastkami
ośrodka,
,
I
sa, one powiazane
poprzez twierdzenie
,
fluktuacyjno-dyssypacyjne1 (II rodzaju):
Z ∞
1
hRik (0)Rik (t)idt gdzie k = x, y, z.
mi γi =
2kT −∞
I
I
1
calka z funkcji autokorelacji sily losowej,
średniowanie po zespole statystycznym2 (równowaga
termodynamiczna).
[3]
pojecie
zespól statystyczny sluży zobrazowaniu rokladu
,
prawdopodobieństwa i oznacza istnienie zbioru skladajacego
sie, z dużej liczby
,
identycznych kopii [4]
2
Równanie Langevina
Sila losowa Ri :
I
o zerowej średniej hRi i = 0,
I
wykazuje brak korelacji z wcześnieszymi wartościami predkości
,
hvi (0)Rj (t)i = 0
I
jest markowowska: brak korelacji z wartościami w poprzednich
chwilach czasu oraz innymi czastkami
,
hRi (0)Rj (t)i = 2mi γi kT δij δ(t)
gdzie i, j = 1, · · · , 3N,
I
jest gaussowska tj.
f (Ri ) = 2πhRi2 i
−1/2
gdzie hRi2 i jest wariancja, rozkladu.
2
2
e −Ri /2hRi i ,
Równanie Langevina
Sila losowa Ri :
I
o zerowej średniej hRi i = 0,
I
wykazuje brak korelacji z wcześnieszymi wartościami predkości
,
hvi (0)Rj (t)i = 0
I
jest markowowska: brak korelacji z wartościami w poprzednich
chwilach czasu oraz innymi czastkami
,
hRi (0)Rj (t)i = 2mi γi kT δij δ(t)
gdzie i, j = 1, · · · , 3N,
I
jest gaussowska tj.
f (Ri ) = 2πhRi2 i
−1/2
gdzie hRi2 i jest wariancja, rozkladu.
2
2
e −Ri /2hRi i ,
Równanie Langevina
Sila losowa Ri :
I
o zerowej średniej hRi i = 0,
I
wykazuje brak korelacji z wcześnieszymi wartościami predkości
,
hvi (0)Rj (t)i = 0
I
jest markowowska: brak korelacji z wartościami w poprzednich
chwilach czasu oraz innymi czastkami
,
hRi (0)Rj (t)i = 2mi γi kT δij δ(t)
gdzie i, j = 1, · · · , 3N,
I
jest gaussowska tj.
f (Ri ) = 2πhRi2 i
−1/2
gdzie hRi2 i jest wariancja, rozkladu.
2
2
e −Ri /2hRi i ,
Równanie Langevina
Sila losowa Ri :
I
o zerowej średniej hRi i = 0,
I
wykazuje brak korelacji z wcześnieszymi wartościami predkości
,
hvi (0)Rj (t)i = 0
I
jest markowowska: brak korelacji z wartościami w poprzednich
chwilach czasu oraz innymi czastkami
,
hRi (0)Rj (t)i = 2mi γi kT δij δ(t)
gdzie i, j = 1, · · · , 3N,
I
jest gaussowska tj.
f (Ri ) = 2πhRi2 i
−1/2
gdzie hRi2 i jest wariancja, rozkladu.
2
2
e −Ri /2hRi i ,
Równanie Langevina
I
Zastepuj
ac
, średniowanie po zespole statystycznym przez
,
średniowanie po czasie, znajdujemy
hRi2 i = 2mi γi kT /∆t,
gdzie ∆t jest krokiem czasowym użytym przy calkowaniu
równania Langevina.
(4)
Równanie Langevina
+
Nastepnie
korzystajac
, z wartości parametrów dla jonu K
,
−26
−1
kg
γ = 31 fs, mK + = 6.5 × 10
możemy oszacować sily:
I
tarcia → 1–2 nN
I
oraz losowa, na podstawie równania (4) z ∆t ∼ γ −1 →
1–2 nN.
Równanie Langevina
Średni kwadrat przemieszczenia skladowej x-owej polożenia jonu K+ w
funkcji czasu
Równanie Langevina
hx 2 i = (2kT /mγ) t − γ −1 (1 − e −γt ) ,
(5)
w zależności od t możemy wyróżnić dwa przypadki graniczne:
1. dla t γ −1 mamy hx 2 i → (kT /m) t 2 = hv 2 it 2
czastka
Browna zachowuje swoja, predkość
poczatkow
a, zgodna,
,
,
,
z rozkladem Maxwella (równowaga termiczna – jeśli czastka
,
przebywala dostatecznie dlugo w plynie o temperaturze T , to
musi być spelnione prawo ekwipartycji energii: mhv 2 i = kT)
2. dla t γ −1 mamy hx 2 i → (2kT /mγ) t co jest równoważne
hx 2 i = 2Dt, gdzie D oznacza wspólczynnik dyfuzji (ruch
dyfuzyjny) → czastka
zapomina o swojej poczatkowej
,
,
predkości
,
Równanie Langevina
hx 2 i = (2kT /mγ) t − γ −1 (1 − e −γt ) ,
(5)
w zależności od t możemy wyróżnić dwa przypadki graniczne:
1. dla t γ −1 mamy hx 2 i → (kT /m) t 2 = hv 2 it 2
czastka
Browna zachowuje swoja, predkość
poczatkow
a, zgodna,
,
,
,
z rozkladem Maxwella (równowaga termiczna – jeśli czastka
,
przebywala dostatecznie dlugo w plynie o temperaturze T , to
musi być spelnione prawo ekwipartycji energii: mhv 2 i = kT)
2. dla t γ −1 mamy hx 2 i → (2kT /mγ) t co jest równoważne
hx 2 i = 2Dt, gdzie D oznacza wspólczynnik dyfuzji (ruch
dyfuzyjny) → czastka
zapomina o swojej poczatkowej
,
,
predkości
,
Równanie Langevina
~ burzy sytuacje równowagowa.
Pojawienie sie, sily systematycznej F
,
,
~ = E x̂ równanie Langevina
W jednorodnym polu elektrycznym E
ma postać:
m
dx
d 2x
= −γ
+ Rx + eE ,
2
dt
dt
(6)
Równanie Langevina
~ burzy sytuacje równowagowa.
Pojawienie sie, sily systematycznej F
,
,
~ = E x̂ równanie Langevina
W jednorodnym polu elektrycznym E
ma postać:
dx
d 2x
= −γ
+ Rx + eE ,
(6)
2
dt
dt
średniujac
, po zespole statystycznym i zakladajac
, stan ustalony
(steady-state, sytuacja nierównowagowa!) otrzymujemy:
m
h
d 2x
dx
i = 0 h i = eE /mγ,
2
dt
dt
Równanie Langevina
~ burzy sytuacje równowagowa.
Pojawienie sie, sily systematycznej F
,
,
~ = E x̂ równanie Langevina
W jednorodnym polu elektrycznym E
ma postać:
dx
d 2x
= −γ
+ Rx + eE ,
(6)
2
dt
dt
średniujac
, po zespole statystycznym i zakladajac
, stan ustalony
(steady-state, sytuacja nierównowagowa!) otrzymujemy:
m
h
d 2x
dx
i = 0 h i = eE /mγ,
2
dt
dt
co dalej odtwarza prawo Ohma w ośrodkach ciag
, lych
dx
i = NeE /mγ = σE ,
dt
gdzie Jx – gestość
pradu,
σ − −przewodnictwo, e – ladunek
,
,
elementarny;
Jx = Nh
BD w kanalach jonowych
W jakich sytuacjach sumulacje BD
3
nie moga, być zastapione
przez modele ciag
,
, le ?
Model kanalu jonowego4 z uwzglednieniem
oddzialywań:
,
jony-kanal.
3
4
takie jak np.: uklad równań Poissona-Nernsta-Plancka
średnica rzedu
Å
,
BD w kanalach jonowych
Przeplywowi jonów przez kanal towarzysza, sily zmienne w czasie i
przestrzeni, zatem ważne jest
~,
I poprawne ujecie oddzialywań → wyliczenie sil F
,
I
poprawna implementacja do równania Langevina.
BD w kanalach jonowych
Dyskretyzacja i calkowanie równania Langevina daje5 :
x(tn+1 ) = x(tn ) +
F (tn )
ẋ(tn )
−τ
1 − e −τ +
τ
−
1
+
e
γ
mγ 2
(7)
Ḟ (tn )
1 − τ + τ 2 /2 − e −τ + Xn (∆t),
3
mγ
gdzie τ = γ∆t jest parametrem bezwymiarowym, Xn (∆t) jest
zmienna losowa,, o tych samych wlasnościach stochastycznych jak
R(t) (funkcja losowa w równaniu Langevina).
5
van Gunsteren and Berendsen algorithm (1982)
BD w kanalach jonowych
Otrzymujemy podobnie dwa graniczne przypadki:
I
ruch balistyczny (x(t) ∼ ∆t 2 ), tarcie zaniedbane6
τ 1
x(tn+1 ) = x(tn ) +
I
ẋ(tn )
F (tn ) ∆t 2 Ḟ (tn ) ∆t 3
∆t +
+
+ Xn (∆t),
γ
m
2
m 3!
(8)
ruch przetlumiony (zaniedbany wyraz mẍ w równaniu
Langevina)
τ 1
x(tn+1 ) = x(tn ) +
6
∆t γ −1
∆t γ −1
ẋ(tn ) F (tn )
Ḟ (tn ) ∆t 2
+
∆t +
+ Xn (∆t),
γ
mγ
mγ 2 2
(9)
symulacje MD, the Verlet algorithm, Verlet (1967)
BD w kanalach jonowych
Otrzymujemy podobnie dwa graniczne przypadki:
I
ruch balistyczny (x(t) ∼ ∆t 2 ), tarcie zaniedbane6
τ 1
x(tn+1 ) = x(tn ) +
I
F (tn ) ∆t 2 Ḟ (tn ) ∆t 3
ẋ(tn )
∆t +
+
+ Xn (∆t),
γ
m
2
m 3!
(8)
ruch przetlumiony (zaniedbany wyraz mẍ w równaniu
Langevina)
τ 1
x(tn+1 ) = x(tn ) +
6
∆t γ −1
∆t γ −1
ẋ(tn ) F (tn )
Ḟ (tn ) ∆t 2
+
∆t +
+ Xn (∆t),
γ
mγ
mγ 2 2
(9)
symulacje MD, the Verlet algorithm, Verlet (1967)
BD w kanalach jonowych
Otrzymujemy podobnie dwa graniczne przypadki:
I
ruch balistyczny (x(t) ∼ ∆t 2 ), tarcie zaniedbane6
τ 1
x(tn+1 ) = x(tn ) +
I
∆t γ −1
F (tn ) ∆t 2 Ḟ (tn ) ∆t 3
ẋ(tn )
∆t +
+
+ Xn (∆t),
γ
m
2
m 3!
(8)
ruch przetlumiony (zaniedbany wyraz mẍ w równaniu
Langevina)
τ 1
x(tn+1 ) = x(tn ) +
+
∆t γ −1
F (tn )
∆t +
mγ
+ Xn (∆t),
(9)
6
symulacje MD, the Verlet algorithm, Verlet (1967)
BD w kanalach jonowych
Algorytm BD:
I
I
∆t możemy powiazać
z czasem relaksacji predkości
czastki
,
,
,
−1
+
γ (dla jonu K równym 31 fs) → co prowadzi do któregoś
z omówionych wcześniej przypadków
w każdym kroku czasowym obliczamy:
I
I
I
sily Fn , Ḟn oraz Xn
polożenia xn+1 i predkości
ẋn
,
iterujemy aż do uzyskania statystycznie istotnej ilości punktów
na trajektorii → możemy wyliczyć wartości średnie
(polożenia,...).
BD w kanalach jonowych
Wyliczamy sily systematyczne F :
I
elektrostatyczne Fel (jako numeryczne rozwiazania
równania
,
Poissona); oddzialywania Coulombowskie jon-jon, oddz. w
7,
elektrostatycznym polu zewnetrznym
,
I
krótko-zasiegowe
Fsr ∼ r −10 (symuluje bardzo silne
,
odpychanie przekrywajacych
sie, powlok elektronowych - efekt
,
kwantowy).
Uwzgledniamy
warunki brzegowe.
,
7
zewnetrznym
tj. innym niż wytwarzane przez jony
,
Literatura
S. Kuyucak, O. S. Andersen and S.–H. Chung, Models of
permeation in ion channels, Rep. Prog. Phys. 64 (2001)
1427–1472
W. F. van Gunsteren and H. J. C. Berendsen, Algorithms for
brownian dynamics, Mol. Phys. 45 (1982) 637–647
R. Kubo, M. Toda, N. Hashitsume, Fizyka statystyczna II,
Warszawa, PWN 1991
N. G. van Kampen, Procesy stochastyczne w fizyce i chemii,
Warszawa, PWN 1990