wykład 3

Wykład nr.3
Skręcanie prętów o dowolnym
przekroju w zakresie niesprężystym:
nośność graniczna-analogia wzgórza
piaskowego, zakres sprężystoplastyczny- analogia dachu Nadai’a
Analogia Nadaia - analogia wzgórza piasku
funkcja naprężenia analogiczna do
funkcji Prandtla
τ xz
∂Φ
∂Φ
=
τ yz = −
∂x
∂y
warunek równowagi wewnętrznej
∂τ xz ∂τ yz
=0
+
∂y
∂x
spełniony tożsamościowo
∂ 2Φ ∂ 2Φ
−
=0
∂y∂x ∂x∂y
naprężenie styczne
2
τ = τ +τ
2
2
xz
2
yz
 ∂Φ   ∂Φ 

=
 + 
 ∂x   ∂y 
2
warunek plastyczności
τ =τ0
gdzie τ0 granica plastyczności przy
skręcaniu
2
2
2
 ∂Φ   ∂Φ 
2


+
=
grad
Φ
=
τ

 
0

∂
x
∂
y

 

czyli
gradΦ (x, y ) = τ 0
czyli wartość gradientu funkcji Φ(x,y)
a zatem stały jest spadek powierzchni
o równaniu z= Φ(x,y), powierzchnie
takiego typu reprezentuje wzgórze
piasku
gradw(x, y ) = tgµ
gdzie w-wartość funkcji (rzędna
wzgórza piasku), µ-kąt tarcia
wewnętrznego (kąt zsypu)
analogia pomiędzy równaniami
Φ
 w 

grad   = 1 = grad 
 tgµ 
τ0 
przy spełnieniu warunków na
brzegu Φ|C=0 oraz w|C=0 daje
τ0
Φ (x, y ) =
w( x , y )
tgµ
moment skręcający odpowiadający
całkowitemu uplastycznieniu
Ms = 2
∫∫
A
τ0
Φ (x, y )dA = 2
tgµ
∫∫
A
τ0
w(x, y )dA = 2
VN
tgµ
Przykład - skręcanie pręta okrągłego
h = rtgµ
1 2
1 3
VN = r h = r tgµ
3
3
τ0
2 3
Ms = 2
VN = τ 0 r
tgµ
3
Analogia Sadowsky’ego przekroje wielospójne
 gradw(x, y ) = tgµ

 w C = const = 0
 w = const ≠ 0
 C
1
2
moment skręcający
τ0
(V1 + V2 )
Ms = 2
tgµ
Analogia skręcania sprężysto-plastycznego
Nadaia - analogia dachu
kombinacja analogii błonowej i wzgórza
piasku
warunki ciągłości
Φe = Φp
oraz
∂Φ e ∂Φ p
=
∂n
∂n
wzdluz Γ ep
moment skręcający

~ ep
M s = 2  Φ e (x, y )dA +
 Ae
∫∫
∫∫
Ap

Φ (x, y )dA

p