Stosując analogię wzgórza piaskowego Nádaia określić nośność

Balbina Litak TKI rok IV
TEORIA PLASTYCZNOŚCI
ZADANIE 43
Stosując analogię wzgórza piaskowego Nádaia określić nośność
graniczna pręta skręcanego, wykonanego z materiału idealnie
plastycznego o kształcie przekroju w postaci ośmiokąta
foremnego.
a
a
a
a
W stanie plastycznym naprężenia muszą spełniać warunek plastyczności
τ zx2 + τ zy2 = τ 02
y
zy
zx
x
z
gdzie τ 0 oznacza granicę plastyczności przy ścinaniu i wynosi:
σ0
τ 0TG =
według kryterium Tresci-Guesta
2
τ 0HMH =
σ0
3
według kryterium Hubera-Misesa- Hencky'ego
Wprowadzając funkcję Prandtla Ø:
τ zx = −
∂φ
∂φ
τ zy =
∂y
∂x
do warunku plastyczności otrzymujemy:
2
 ∂φ   ∂φ 
  +   = τ 02
 ∂y   ∂x 
2
lub:
gradφ = τ 0
Równanie to posiada analogiczną postać jak równanie wzgórza idealnie
sypkiego piasku, zbudowanego na płaskiej figurze o kształcie przekroju
poprzecznego pręta:
2
 ∂w   ∂w 
−
 +   = tgµ
 ∂x   ∂y 
2
lub:
grad ( w) = tgµ
gdzie µ oznacza kąt zsypu (tarcia wewnętrznego). Z analogii równań oraz
zgodności warunków brzegowych wynika:
φ =τ0
w
tgµ
Moment skręcający wynosi natomiast
M s = 2∫∫ φdA =2
A
τ0
tgµ
2τ 0
∫∫ wdA = tgµ V
A
gdzie V oznacza objętość wzgórza piasku o stałym kącie zsypu µ
PRĘT O PRZEKROJU WIELOKĄTA FOREMNEGO O N BOKACH
H
h
a


α = 0.5 π −
2π 

n 
α=
π
2
−
π
n
tg (α ) = tg (
h
= tg (α )
0.5a
π 
h = 0.5a ⋅ ctg  
n
H
= tgµ
h
π 
H = 0.5a ⋅ ctg   ⋅ tgµ
n
π
2
−
π
π 
) = ctg  
n
n
Pole powierzchni podstawy ostrosłupa:
1
P = n⋅ ⋅a⋅h
2
1
π  n
π 
P = n ⋅ ⋅ a ⋅ 0.5a ⋅ ctg   = ⋅ a 2 ⋅ ctg  
2
n 4
n
Objętość ostrosłupa:
V =
1
PH
3
V=
1 n 2
n 3 2π 
π 
π 
⋅ ⋅ a ⋅ ctg   ⋅ 0.5a ⋅ ctg   ⋅ tgµ =
a ctg   ⋅ tgµ
3 4
24
n
n
n
Podstawiając do wzoru na graniczny moment skręcający:
Ms =
2τ 0 n 3 2  π 
⋅ a ctg   ⋅ tgµ
tgµ 24
n
Ms =
n
π 
⋅ τ 0 ⋅ a 3 ctg 2  
12
n
Dla n=8 otrzymujemy:
Ms =
8
π 
⋅ τ 0 ⋅ a 3 ctg 2  
12
8
M s = 3.89 ⋅ τ 0 ⋅ a 3