Interpolacja wielomianowa Izolda Gorgol wyciąg z prezentacji

Interpolacja wielomianowa
Izolda Gorgol
wyciąg z prezentacji
Proces interpolacyjny
Proces interpolacyjny jest to konstrukcja ciągu (fn ) funkcji (wielomianowych lub nie) interpolujących funkcję f na
przedziale [a, b].
Interesują nas procesy, dla których lim |f (x) − fn (x)| = 0.
n→+∞
Jeszcze lepiej, jeśli zbieżność ciągu funkcyjnego jest jednostajna.
Wybór węzłów interpolacji
Wiadomo, że dla danych węzłów interpolacji wielomian interpolujący jest dokładnie jeden.
Jak wybrać liczbę węzłów (stopień wielomianu) i jak rozmieścić te węzły, aby zminimalizować błąd aproksymacji?
Najczęściej wybiera się równomierny podział przedziału.
Czy zwiększając liczbę węzłów interpolacji można oczekiwać, że otrzymany proces interpolacyjny będzie zbieżny?
Zjawisko Rungego
1
na przedziale [−5, 5].
1 + x2
wn – wielomian interpolacyjny funkcji f otrzymany dla n węzłów równoodległych
Niech f (x) =
Ciąg wielomianów interpolacyjnych (wn ) nie jest zbieżny jednostajnie do funkcji f – występują duże różnice na
krańcach przedziału.
I co z tą zbieżnością?
TWIERDZENIE (Faber)
Dla dowolnego ciągu układu węzłów
(n)
(n)
(n)
a 6 x0 < x1 < x2 < . . . x(n)
n 6 b, n > 0
istnieje funkcja ciągła na [a, b] taka, że ciąg wielomianów interpolacyjnych zbudowanych na tych węzłach nie jest
do niej zbieżny.
TWIERDZENIE
Jeśli f jest funkcją ciągłą na [a, b], to istnieje taki układ węzłów, że zbudowane na nich wielomiany interpolacyjne
tworzą ciąg zbieżny do f .
Wielomiany Czebyszewa
DEFINICJA Ciąg (Tk )k>0 wielomianów Czebyszewa (pierwszego rodzaju) określony jest rekurencyjnie jako
T0 (x) = 1,
T1 (x) = x,
Tk+1 (x) = 2xTk (x) − Tk−1 (x),
dla
k > 1.
TWIERDZENIE W przedziale [−1, 1] wielomiany Czebyszewa wyrażają się wzorem Tk (x) = cos(k arccos x).
Wielomiany Czebyszewa – własności
— |Tn
(x)| 6 1 dla x ∈
[−1, 1];
(2j − 1)π
— Tn cos
= 0 dla j = 1, . . . , n (są to zera pojedyncze w przedziale [−1, 1]);
2n
jπ
— Tn cos
= (−1)j dla j = 0, 1, . . . , n
n
1
Optymalny wybór węzłów
TWIERDZENIE O optymalnym doborze węzłów
r
Błąd aproksymacji w klasie funkcji FM
([−1,
1])(x0 ,. . . , xr ) jest minimalny, gdy węzły interpolacji są zadane jako
2j + 1
∗
węzły Czebyszewa na (−1, 1), tzn. xj = cos
π
0 6 j 6 r.
2r + 2
r
Ponadto, dla optymalnych węzłów x∗j mamy e(FM
([−1, 1]); x∗0 , . . . , x∗r ) =
M
.
2r (r + 1)!
Funkcje sklejane – splajny
DEFINICJA Funkcję s : R → R nazywamy funkcją sklejaną rzędu m (m > 0) odpowiadającą węzłom xj , 0 6 j 6 n,
jeśli spełnione są następujące dwa warunki:
— s jest wielomianem stopnia co najwyżej m na każdym z przedziałów [xj , xj+1 ], 1 6 j 6 n,
— s ∈ C (m−1) (R).
Jeśli ponadto s jest rzędu nieparzystego 2m + 1 oraz s jest wielomianem stopnia co najwyżej m poza (a, b), to s
nazywamy naturalną funkcją sklejaną.
Splajn jako funkcja interpolująca
TWIERDZENIE O istnieniu i jednoznaczności naturalnego splajnu interpolacyjnego
Jeśli 0 6 m 6 n, to dla dowolnej funkcji f : [a, b] → R istnieje dokładnie jedna naturalna funkcja sklejana sf rzędu
2m + 1 interpolująca f w węzłach xj , tzn. taka, że sf (xj ) = f (xj ),
0 6 j 6 n.
Funkcje sklejane sześcienne
m = 3 - najczęściej stosowane w praktyce
Przy wyznaczaniu współczynników otrzymujemy układ z macierzą trójdiagonalną z dominującą główną przekątną,
do rozwiązania którego opracowane są specjalne szybkie algorytmy.
TWIERDZENIE O błędzie interpolacji splajnem sześciennym
1
Jeśli f ∈ FM
([a, b]), to kf − sf k[a,b] 6 5 M max (xi − xi−1 )2 .
16i6n
W szczególności, dla węzłów równoodległych mamy kf − sf k[a,b] 6 5 M
b − a 2
n
Baza B-sklejana
Jest najczęściej używana do reprezentowania funkcji sklejanych.
DEFINICJA(rekurencyjna)
Przyjmujemy,
że węzły są uporządkowane rosnąco.
(
1,
jeśli xi 6 x < xi+1 ,
— Bi0 (x) =
.
0, w przeciwnym przypadku;
x − xi
xi+r+1 − x
— Bir (x) =
B r−1 (x) +
B r−1 (x).
xi+r − xi i
xi+r+1 − xi+1 i+1
Baza B-sklejana dla splajnów sześciennych
Dla naturalnych funkcji sklejanych sześciennych otrzymujemy:
—
—
—
—
Bj (xj ) = 1, dla 0 6 j 6 n,
Bj (x) = 0, dla x 6 xj−2 , j > 2, oraz dla x > xj+2 , j 6 n − 2.
B000 (x0 ) = 0 = B100 (x0 ),
B1 (x0 ) = 0,
00
Bn−1
(xn ) = 0 = Bn00 (xn ),
Bn−1 (xn−1 ) = 0.
Zatem j-ta funkcja bazowa Bj nie zeruje się tylko na przedziale (xj−2 , xj+2 ).
2
.