Ćwiczenia 12 - Kwadratury Gaussa

Ćwiczenia 12 - Kwadratury Gaussa
1√ 2
√
3 służąca do obliczania
1. Czy kwadratura k(f ) = 3f (− 3) + 3f
s3
−3 f (x)dx jest kwadraturą interpolacyjną? Czy jest ona kwadraturą
Gaussa?
1√
2
√
0.6 ] służąca
2. Czy kwadratura k(f ) = 19 [5f (− 0.6) + 8f (0) + 5f
s1
do obliczania −1
f (x)dx jest kwadraturą Gaussa?
3. Jakie warunki powinny spełniać węzły xi (i = 1, ..., n) oraz współczynniki ci dla kwadratury
n
Ø
i=1
ci f (xi ) ≈
Ú 1
ρ(x)f (x)dx
−1
aby była ona dokładna dla wszystkich wielomianów stopnia 2n − 1?
Wyznaczyć węzły i współczynniki, przyjmując wagę ρ(x) = 1 i n = 2, 3.
4. Znaleźć współczynniki i węzły kwadratury Gaussa
Ú b
a
x4 f (x)dx ≈ A0 f (x0 ) + A1 f (x1 )
dla a) [a, b] = [0, 1], b) [a, b] = [−1, 1].
5. Obliczyć całkę
trzech węzłów.
6. Obliczyć całkę
s 1 2(1+x)
√
0
s1
0
x(1−x)
dx za pomocą kwadratury Czebyszewa dla
√2x+5 dx za pomocą kwadratury Czebyszewa dla
x(1−x)
trzech (czterech) węzłów.
3
1
7. Napisać program liczący całkę −1
(1 − x2 ) 2 dx używając kwadratury
Czebyszewa. Miejsca zerowe wielomianów Czebyszewa dane są wzorem
xi = cos (2i−1)π
, a współczynniki Ai = πn , n - liczba węzłów. Program po2n
winien zapytać o wymaganą dokładność a następnie wypisać na ekranie
prawdziwą wartość całki oraz kolejne przybliżenia kwadraturą o coraz
większej liczbie węzłów aż do momentu gdy osiągnięta zostanie wymagana dokładność (liczona jako względna różnica między aktualnym
a poprzednim przybliżeniem całki).
s
155