Wyprowadzenie prawa Gaussa z prawa Coulomba

Wyprowadzenie prawa Gaussa z prawa Coulomba
Natężenie pola elektrycznego ładunku punktowego q, umieszczonego w początku
układu współrzędnych (czyli prawo Coulomba):
E~ =
q 1
e~r
4π 0 r 2
(1)
Otoczmy ten ładunek dowolną powierzchnią zamkniętą S
i obliczmy strumień pola elektrycznego przechodzący przez tę powierzchnię:
I
ΦE =
S
q
E~ · d S~ =
4π 0
I
1
e~r · d S~
r2
(2)
S
Iloczyn skalarny pod całką można zapisać jako:
e~r · d S~ = dS cos α = dS 0
(3)
gdzie α jest kątem pomiędzy kierunkiem radialnym e~r , a elementem całkowania
~ Powierzchnia dS 0 jest rzutem powierzchni dS na kierunek radialny e~r .
d S.
1
Powierzchnia dS 0 stanowi część sfery o promieniu r. Możemy więc zapisać ją
jako:
dS 0 = r 2 dΩ
(4)
gdzie dΩ jest kątem bryłowym, pod jakim widać powierzchnię dS 0 z początku
układu współrzędnych. Korzystając z powyższych zależności równanie (2) można
zapisać jako:
q
ΦE =
4π 0
I
S
dS 0
q
=
2
r
4π 0
I
dΩ =
S
q
0
(5)
ponieważ całka z kąta bryłowego po całej sferze wynosi 4π 1 .
Powierzchnia S jest dowolna, można więc w szczególności przesunąć ją o pewien
wektor a~, co jest równoważne przesunięciu ładunku o wektor −~
a. Równanie (5)
pozostaje więc słuszne dla dowolnego położenia ładunku w przestrzeni, byle
wewnątrz powierzchni S.
W elektrodynamice obowiązuje zasada superpozycji, to znaczy pole elektryczne
od dowolnego rozkładu ładunków punktowych jest sumą wektorową pól pochodzących od każdego ładunku. Równanie (5) obowiązuje więc dla dowolnego
układu ładunków punktowych. Prawo Gaussa zostało udowodnione.
1
Całka ta wynosiłaby zero, gdyby ładunek q znajdował się na zewnątrz powierzchni S.
2
***
Prawo Gaussa można wyprowadzić z prawa Coulomba także w bardziej abstrakcyjny sposób. Pole elektryczne ładunku punktowego jest gradientem potencjału
elektrostatycznego ϕ:
E~ = −∇ϕ,
gdzie
ϕ=
q 1
4π 0 r
(6)
Strumień pola elektrycznego przez dowolną powierzchnię zamkniętą S otaczającą
ładunek wynosi:
I
ΦE =
S
q
E~ · d S~ = −
4π 0
I
1
∇ · d S~
r
(7)
S
W tym miejscu należy skorzystać z twierdzenia Ostrodgradskiego-Gaussa
q
ΦE = −
4π 0
Z
1
∆ dV
r
(8)
V
gdzie V jest objętością, którą otacza powierzchnia S, a laplasjan ∆ = ∇ · ∇.
Wystarczy teraz zastosować do równania (8) wzór wiążący laplasjan i deltę
Diraca:
1
∆ = −4πδ(0)
r
Stąd, ponieważ całka z delty Diraca wynosi 1
q
ΦE =
0
2
Z
δ(0) dV =
V
2
(9)
q
0
(10)
Objętość V może być dowolna, byle zawierała osobliwość delty Diraca, czyli ładunek punktowy.
3
Wyprowadzenie prawa Coulomba z prawa Gaussa
Jest trywialne. Wystarczy zauważyć, że pole elektryczne ładunku punktowego
musi być radialne i mieć symetrię sferyczną.
Dziwny wzór na objętość
Jak każdemu studentowi wiadomo
Z
V=
dV
(11)
3 = ∇ · r~
(12)
V
Kto zna mistyczny wzór na liczbę 3
ten zrozumie, że
1
V=
3
Z
∇ · r~ dV
(13)
V
Jeśli teraz zastosować twierdzenie Ostrodgradskiego-Gaussa, to
1
V=
3
I
r~ · d S~
(14)
S
wystarczy mała sztuczka,
r~
∇ r 2 = 2r∇r = 2r = 2~
r
r
(15)
aby ostatecznie napisać
1
V=
6
I
∇ r 2 · d S~
S
I kto by pomyślał?
4
(16)
Twierdzenie Ostrogradskiego-Gaussa dla pola skalarnego
~ r)
Twierdzenie Ostrogradskiego-Gaussa dla pola wektorowego A(~
Z
I
∇ · A~ dV =
V
A~ · d S~
(17)
S
~ gdzie f jest pewnym polem skalarnym zależnym od r~,
Załóżmy, że A~ = f B,
3
natomiast B~ = const. Ponieważ
∇ · A~ = ∇ · f B~ = ∇ · f B~ = ∇ f · B~
(18)
to
Z
Z
∇ · f B~ dV =
I
∇ f · B~ dV =
V
V
f B~ · d S~
(19)
S
Wektor B~ jest stały, można go więc wyciągnąć przed obie całki razem ze znakiem
iloczynu skalarnego
Z
B~ ·
I
∇ f dV = B~ ·
V
f d S~
(20)
S
Wektor B~ jest także dowolny4 , musi więc zachodzić twierdzenie Gaussa dla pola
skalarnego
Z
I
∇ f dV =
(21)
f d S~
V
S
W szczególności biorąc f = 1, ponieważ ∇1 = 0 dostajemy
I
d S~ = 0
S
dla dowolnej powierzchni zamkniętej S. I cóż by to miało znaczyć?
3
4
Kropkę rezerwujemy na oznaczenie wyłącznie iloczynu skalarnego dwóch wektorów.
Nic o nim nie wiemy, poza tym że nazywa się „Be”.
5
(22)