wydrążona 23
Transkrypt
wydrążona 23
1 Opis kwantowy pola elektrostatycznego, wymaga jego rozpatrzenia jako cząstek kwantowych (fotonów) Cząstki elementarne mają charakter falowy (fale de Broglie’a) Klasyfikacja pól fizycznych Pole fizyczne Pole stacjonarne (nie jest funkcją czasu) np. Pole zmienne w czasie (jest funkcją czasu) pole elektrostatyczne 3 Pole elektromagnetyczne opisują dwa wektory - Równania Maxwella E (r , t ) B(r , t ) div E 0 B rot E t div B 0 E rot B 0 j 0 0 t 4 + Równania materiałowe (właściwości danego ośrodka) + Siła Lorentza F q E q(v B) Elektrodynamika klasyczna 5 Podstawowe własności pola ( , , ) x y z - operacja gradientu 1.) f (r ) grad f (r ) f , f , f x y z bx by bz 2.) b (r ) div b x y z 3.) iˆ b (r ) rot b x bx ˆj y by kˆ z bz : f grad f : b div b 6 1.) rot grad f (r ) 0 2.) div rot b (r ) 0 3.) rot rot b(r ) grad div b (r ) b (r ) 2 2 2 2 2 2 x y z 0 istnieje b (r ) : a ( r ) rot b (r ) 4.) div a ( r ) 5.) rot a ( r ) 0 istnieje f (r ) : a grad f (r ) 7 Prawo Gaussa: Dywergencja pola wektorowego w jest określona zależnością jako lokalna gęstość objętościowa jego strumienia dS w S VS d div w dV w dS V wdS w dS cos Twierdzenie Gaussa Strumień wypływający z obszaru skończonego o objętości V ograniczonej powierzchnią S, określa zależność: V w dS div w dV SV V 8 Twierdzenie Stokesa: Rotacje wektorową w można opisać jako lokalną gęstość powierzchniową cyrkulacji wektora. dK rot w ds oraz: K rot w ds K w dl s l Z porównania obu związków wynika równanie: w dl rot w ds lS S Co stanowi zapis Twierdzenia Stokesa. 9 ELEKTROSTATYKA Oddziaływanie między spoczywającymi ładunkami e 1,6 10 0 8,854 10 12 19 C C2 N m2 Ładunek elementarny Przenikalność elektryczna próżni Ładunki jednoimienne odpychają się, Ładunki różnoimienne przyciągają się. 10 Podstawowe zasady obowiązujące w elektrostatyce 1.) Najmniejszym ładunkiem jest e, każdy ładunek jest jego wielokrotnością 2.) Zasada zachowania ładunku (Franklin 1747 ) Ładunek układu (sumaryczny) jest zachowany 11 3.) Zasada superpozycji F3 F2 F4 F1 q : F F1 F2 F3 F4 q1( ) q( ) q2 ( ) q3 ( ) q4 ( ) Siła działająca na ładunek próbny pochodząca od kilku ładunków jednocześnie jest równa sumie sił pochodzących od każdego ładunku z osobna Zasada ta może być stosowana do układów liniowych - opisanych równaniami liniowymi oraz różniczkowymi liniowymi !!! 12 Pole elektrostatyczne Nie można obecnie wy świetlić tego obrazu. (stacjonarne pole elektryczne) Nie jest funkcją czasu E E t 13 Natężenie pola FQ Q Fq q r Qq ˆ F r 4 0 r 2 F FQ Fq F 1 Q E 2 rˆ q 4 0 r def 14 Wykres E jako funkcja odległości od środka jednorodnie naładowanej kuli E Q 4 0 R 2 r R 15 Prawo Gaussa ( elektrostatyka) ds d E E ds n̂ def E ds s E E ds s 16 Definicja strumienia różniczkowego ds ds nˆ 90 cos 0 d 0 o 0 cos 1 d max Eds o 17 d E E ds Eds cos ( E; ds ) ( E; ds ) ds E 90 dE 0 o 0 dE Eds 18 Q E d s 0 SV Prawo Gaussa w postaci całkowej - gęstość objętościowa ładunku df Q V Q dV V 1 E ds SV 0 dV V 19 E ds div E dV SV V 1 E ds 0 SV divE (r ) (r ) 0 dV V Prawo Gaussa w postaci różniczkowej 20 Przykład 1 Obliczanie pola wytworzonego na powierzchni kuli przez ładunek q umieszczony w środku kuli, korzystając z Prawa Gaussa. E ( E ds ) ds 1 q q 2 E ds E ds E 4r E 2 rˆ 0 4 0 r SV SV q : F q1 E q1 q2 2 rˆ 4 0 r 1 21 Prawo Gaussa Prawo Coulomba Z: prawo Gaussa r Q Q 2 E 4r E 0 Qq F qE 2 4 0 r Q 4 0 r 2 stąd: prawo Coulomba 22 Prawo Gaussa i Prawo Coulomba są sobie równe, pierwsze z nich opisuje aspekt polowy, a drugie siłowy 23 Przykład 2 Obliczanie pola elektrycznego naładowanej nieskończenie długiej nici. r ds q const l q E ds 0 Sv E ds 2 E ds E ds Eds E ds E 2rl SV Sp Sb Sb Sb 24 E E ds 0 Sp ds l E 2rl 0 q l E 2 0 r 25 Prawo Gaussa 0 E q q E ds S 0 V SV Strumień po powierzchni jest równy całkowitemu ładunkowi przez 0 . 26 Pola wytwarzane przez różne rodzaje ciał naładowanych (Przyjmujemy, że pełne ciała są naładowane jednorodnie w całej objętości.) divE 0 - dotyczy własności ośrodka materialnego 27 Położenie Rodzaj ciała E wyrażone przez 0 1 na zewnątrz wewnątrz pełna lub wydrążona kula Q 4 0 r 2 0 wydrążona kula 1 wewnątrz Q r 3 4 0 R pełna kula 1 na zewnątrz 2 0 r drut lub pręt 1 wewnątrz po obu stronach 2 0 R 2 pełen pręt 1 2 0 pojedyncza powłoka 1 między dwiema powłokami dwie powłoki o i 0 1 odległość x od środka wewnątrz płyta 0 1 tuż nad powierzchnią przewodnik r 0 x 28 Położenie Rodzaj ciała na zewnątrz pełna lub wydrążona kula wewnątrz wydrążona kula wewnątrz na zewnątrz pełna kula drut lub pręt E wyrażone przez 1 Q 4 0 r 2 0 Q r 3 4 0 R 1 1 2 0 r 29 1 wewnątrz po obu stronach między dwiema powłokami odległość x od środka wewnątrz pełen pręt pojedyncza powłoka 2 0 R 0 1 płyta 0 przewodnik x 1 tuż nad powierzchnią r 1 2 0 1 dwie powłoki o i 2 0 30 Różnice pomiędzy polem elektrycznym a polem grawitacyjnym Siły pola grawitacyjnego są zawsze siłami przyciągania, siły pola elektrycznego mają kierunki zależne od układu ładunków 31 Potencjał elektrostatyczny F q0 E dW F dl q0 E dl Przy przeniesieniu ładunku w polu z punktu A do punktu B wykonana jest praca sił zewnętrznych: W AB dW q0 E dl B B A A Potencjałem pola elektrostatycznego w punkcie A, nazywamy pracę jaką należy wykonać aby przenieść ładunek próbny z punktu A do nieskończoności 32 Pole elektrostatyczne – stałe w czasie, jest polem potencjalnym, tzn. w każdym punkcie tego pola można określić jego potencjał. dW E dl q0 E dl q0 E dl cos ( E , dl ) A B Praca po każdej drodze, z punktu A do punktu B będzie identyczna. Praca nie zależy od drogi, tylko od położenia punktów. 33 Potencjał elektrostatyczny A WABA WAB WBA q0 E dl q0 E dl B B A B q 0 E dl q 0 E dl q 0 E dl 0 B A A Krążenie pola po krzywej zamkniętej jest równe zero. E dl rot E ds 0 rot E 0 ls Tw. Stokesa E E (t ) - nie może być funkcją czasu 34 Całkowanie po krzywej długości l S lS S rotE dS 0 S Warunek: Pole musi być statyczne rotE 0 E dl 0 ls 35 rotE 0 istnieje pole skalarne V E grad V E V V ( x, y , z ) potencjał pola elektrosta tycznego W A VA q0 q0 E dl A q0 Dla ładunku punktowego: E dl Potencjał w danym punkcie A A V q 4 0 R 36 Napięcie (pola) Różnica potencjałów – napięcie U AB to praca WAB podzielona przez wielkość przeniesionego ładunku. F U AB WAB (WA W B ) V A VB q0 q0 U J C V 37 • Powierzchnie ekwipotencjalne mają wszędzie taki sam potencjał, nie stykają się, linie sił są do nich prostopadłe a praca wykonana przy przeniesieniu po nich ładunku jest równa zeru. V V V gradV , , E gradV x y z V Ex x V Ey y V Ez z 38 Pole potencjalne I równanie Maxwella ( Prawo Gaussa) q E ds 0 Sv Postać różniczkowa: div E 0 divE div ( gradV ) V V 2 2 2 laplasjan z x y 2 2 2 39 Równanie Poisonne’a dla pola potencjalnego V 0 Jeśli: 0 V 0 - równanie Laplace’a 40 Prawo Poissone’a i Laplace’a divE - prawo Gaussa – I równanie 0 Maxwella rotE 0 V 0 - potencjalność pola elektrycznego E E (t ) 0 V 0 41 Przewodnik izolowany: - ładunek umieszczony na izolowanym przewodniku na zewnętrznej powierzchni - ładunki jednoimienne odpychają się, zajmują miejsca najodleglejsze od siebie -jedwabna nić E0 Prawo Gaussa 0 Eds 0 s E0 - powierzchnia Gaussa 42 Pojemność elektryczna – Kondensator Układ dwóch przewodników odizolowanych od siebie, mający zdolność gromadzenia energii, nazywamy kondensatorem. q C U – napięcie między przewodnikami U C F farad V CU 2 Q 2 E W - energia zgromadzona w polu 2 2C elektrycznym 43 Pojemność kuli o promieniu R potencjał na powierzchni naładowanej kuli V Q 4 0 R Q V r Q C 4 0 R V 44 DIELEKTRYKI Dielektrykami są ciała stałe, ciekłe i lotne, które w swoje strukturze – przy braku zewnętrznych pól jonizujących – nie zawierają ładunków swobodnych. E0 E0 q x0 q powierzchn ia A 46 Indukowane ładunki układają się tak aby ich pole elektryczne E przeciwstawiało się zewnętrznemu polu elektrycznemu E0 . E0 0 E0 Polaryzacja dielektryka Polaryzacja dielektryka - przy okładzinie dodatniej pojawi się warstwa ładunków ujemnych, a przy okładzinie ujemnej warstwa ładunków dodatnich. 47 Dipole elektryczne Układ dwóch ładunków o przeciwnych znakach i równej wartości q, oddalonych od siebie na odległość l, nazywa się dipolem elektrycznym. Moment elektryczny takiego dipolu ma wartość ql i skierowany jest od ładunku ujemnego do ładunku dodatniego q l p p q l q 48 Trwałe dipole elektryczne Cząsteczki niektórych materiałów dielektrycznych obdarzone są trwałymi elektrycznymi momentami dipolowymi – cząstka taka jest dipolem elektrycznym. a) b) A B A B p p1 p2 0 A p1 A p p2 Cząsteczki o strukturze symetrycznej (a) i niesymetrycznej (b). 49 Dipolowy charakter mają z reguły cząsteczki związków chemicznych, które mają niesymetryczna strukturę. H H C H H C H H CH 4 CH 3Cl metan Cl H chlorek metylu Cl Cl C Cl CCl4 czterochlorek węgla H Cl Cl C Cl Cl CHCl3 chloroform Przykłady niepolarnych ( CH CCl ) i polarnych (CH Cl CHCl3 3 4 4 cząsteczek niektórych substancji organicznych. 50 ) Umieszczenie cząsteczki w zewnętrznym polu elektrycznym prowadzi do jej polaryzacji i powstania indukowanego momentu p dipolowego qd . E 0 E0 d 51 Polaryzacja Jeśli dipole trwałe lub indukowane są częściowo uporządkowane w określonym kierunku, to objętość V będzie miała wypadkowy, makroskopowy moment dipolowy p, zwany wektorem polaryzacji elektrycznej ośrodka lub Polaryzacją elektryczną. n P lim V 0 gdzie: n pi – – pi i 1 V A s m2 liczba dipoli w objętości V dielektryka moment dipolowy i-tego atomu lub cząsteczki Wypadkowe pole elektryczne w dielektryku: D 0E P def (zewnętrzne pole + wektor polaryzacji) divE 0 divD 53 Izotropia i anizotropia elektryczna • Ośrodki izotropowe to takie gdzie dana wartość nie zależy od kierunku w którym jest mierzona. P 0 P E E P 0 E - ośrodki izotropowe - ośrodki anizotropowe (kryształy) P E - Podatność dielektryka na polaryzację 54 x11 0 0 Ex Px P 0 x 0 . E 22 y y 0 0 0 x33 Ez Pz 55 • Dla ośrodków izotropowych: D 0 E 0 E 0 (1 ) E D E def r 1 r 81 woda 56 D r 0 E r 0 divE div( 0 r E ) divD 57 • Dla dowolnie dużego E (1) ( 2) 2 P 0 E 0 E .... ( 2) (1) Efekty nieliniowe (dla bardzo dużych E - optyka) 58 Prawo Gaussa w ośrodku dielektrycznym. 0 r E ds q s 59 Energia pola 1 2 wo 0 E def 2 – gęstość pola w próżni 1 wp P E def 2 60 Gęstość pola elektrycznego w dielektryku: 2 1 2 1 1 w 0 E p E 0 (1 ) E 2 2 2 2 1 1 w 0 r E E D 2 2 61 Energia pola 1 w dV E D dV 2 V V 62