Elektrostatyka

Elektrostatyka
Za oddziaływania elektryczne ( i magnetyczne ) odpowiedzialny jest:
ładunek elektryczny
Ładunek jest skwantowany
Ładunek elementarny e = 1.6·10-19 C (D. Millikan).
Wszystkie ładunki są wielokrotnością e.
Zasada zachowania ładunku - B. Franklin.
Wypadkowy ładunek w układzie zamkniętym jest stały.
Dwa rodzaje ładunków
+ (proton)
- (elektron)
Prawo Coulomba
Q
−F
Q
−F

r

r
F

Q⋅q
F =k 2
r
q
q
F =k
F
k=
q1q2
r2

r

r
1
4πε 0
ε 0 = 8.854 ⋅10
−12
C2
N ⋅ m2
Natężenie pola elektrycznego
Ładunek próbny
 q
Źródło pola
Q
E

r

 F
E=
q
def

 F
Q
E= =k 2
q
r
dla ładunku punktowego
Zasada superpozycji
 n 

Qi
‘n’ ładunków punktowych Qi
E = ∑ Ei , Ei = k 2
ri
1
dQ
V

r
P
Ciągły rozkład ładunku
Gęstość ładunku
dQ
= ρ ( x, y , z )
dV
dQ
powierzchniowa
σ=
dS
dQ
liniowa
λ=
dl
objętościowa

r

r
ρ=

ri

ri


1 r dQ
=
E=∫
2
4πε 0 r r
V

1 r ρ
=∫
dV
2
4πε 0 r r
V

Przykład obliczania E
λ=
Q
2π R

Ey = 0
dl
R
x0

r

dE y

dE x
α

dE
E = E x = ∫ dE x =
l
dE x = dE cos α = dE
x0
r
1 dQ
1 λ dl
=
dE =
2
4πε 0 r
4πε 0 r 2
1
4πε 0
∫
l
λ dl x0
r
2
r
=
1
x0Q
λ x0
λ x0
=
dl =
2π R =
3
3
3 ∫
2
2
πε
4
4πε 0 r l
4πε 0 r
0 (x + R ) 2
0

Przykład obliczania E
- linie sił
  
E = E1 + E2
PB

E2
Q1

E
PA

E1
Q2
Strumień pola elektrycznego
α
 
Φ = AE cos α = A ⋅ E
Strumień pola elektrycznego

n

Element powierzchni d A


d A = dA ⋅n
 
d Φ = E ⋅ dA ⋅ cos α = E ⋅ dA
 
Φ = ∫ d Φ = ∫ E ⋅ dA
A
A

dA
Prawo Gaussa
Obliczamy strumień pola przez dowolną zamkniętą powierzchnię
obejmującą ładunek q
dω
q

r

dA α

 
1 q r 
Φ = ∫ E ⋅ dA = ∫
dA =
2
4πε 0 r r
A
A

cos α 
r
q
dA cos α
q
=
...
dA =
3
2
∫
∫
4πε 0 A r
4πε 0 A r

E
A
dA0 dA cos α
dω = 2 =
r
r2
dA
dω
r
dA0
α
α
... =
q
q
4πε 0
∫ dω = 4πε
A
Pełny kąt bryłowy
4π =
0
q
ε0
Prawo Gaussa
 
Φ = ∫ E ⋅ dA =
A
∑q
ε0
i
Strumień pola elektrycznego przez dowolną zamkniętą powierzchnię
(tzw. powierzchnię Gaussa) jest proporcjonalny do całkowitej wartości
ładunku zamkniętego wewnątrz tej powierzchni
Zastosowanie prawa Gaussa
Rozkład ładunku na przewodniku
 
Φ = ∫ E ⋅ dA =
A

E =0
Q=0
∑q
ε0
i

1. Wewnątrz przewodnika E = 0
2. Φ=0
3. Ładunek wewnątrz przewodnika Q=0
Ładunek gromadzi się na powierzchni przewodnika
Prawo Gaussa
Obliczanie pól elektrycznych od symetrycznych rozkładów ładunku
1. Określić symetrię pola
2. Wybrać odpowiednią
powierzchnię Gaussa
3. Obliczyć strumień przez
powierzchnię Gaussa
Ładunek punktowy
 
q = ε 0 ∑ E ⋅∆A
p .kuli
q = ε 0 E ∑ ∆A
p .kuli
Płaszczyzna
Gaussa
q = ε 0 E 4π r 2
E=
q
4πε 0 r 2
1
Prawo Gaussa
Zadania - pole elektryczne od różnych rozkładów ładunku
Ładunek punktowy
Płaszczyzna
Gaussa
Ładunek liniowy
Płaszczyzna
Gaussa
Naładowana
płaszczyzna
Płaszczyzna
Gaussa
Pole elektryczne wewnątrz jednorodnie
naładowanej kuli (z izolatora)
Prawo Gaussa
Ładunek punktowy
zero-wymiarowy
Ładunek jednowymiarowy
Ładunek dwuwymiarowy
Ładunek trójwymiarowy
Potencjał pola elektrycznego
Pole elektryczne jest polem zachowawczym (potencjalnym).
Praca w polu elektrycznym nie zależy od drogi, a jedynie od punktu początkowego i końcowego
V ( x, y , z ) =
Ep
1J
1V =
1C
q
∆E p = E p ( B ) − E p ( A) = Wzewn
 
= − ∫ qE ⋅ dr
B
 
U = VB − VA = − ∫ E ⋅ dr
A
Normalizacja potencjału: V(∞)=0
P
 
V ( P ) = − ∫ E ⋅ dr
∞
B
A
Potencjał ładunku punktowego
Powierzchnie
ekwipotencjalne
V=const.
R
Linie pola
+q
R

 
q r 
V ( R ) = − ∫ E ⋅ dr = − ∫ k 2  ⋅ dr =
r r
∞
∞
R
R
R
1 q
q
q
= − ∫ k 2 dr = k
=
r ∞ 4π ε 0 R
r
∞
Praca w polu elektrycznym
∆E p = E p ( B ) − E p ( A) = Wzewn
B
 
= − ∫ qE ⋅ dr
A
WA→ B = ∆E p = E p ( B ) − E p ( A) = q(VB − VA )
1 eV = 1.6x10-19C . 1V = 1.6x10-19J
Związek między natężeniem pola i potencjałem
1-wym
V = V ( x)
dV ( x)
E=−
dx
3-wym

V = V ( r ) = V ( x, y , z )
  ∂V  ∂V  ∂V
E = − i +
j+
∂y
∂z
 ∂x

E = −gradV

k 

− Fzewn
q2
Energia elektrostatyczna
r
q1
− Fzewn
q1
V (r ) =
4π ε 0 r
1
U
el
1, 2
q1q2
=
4π ε 0 r
1
Wiele ładunków
1 qi q j
U=
∑
4π ε 0 i , j 2 ri j
1
Pojemność elektryczna
Pojemność kuli
Kondensator płaski
++++++++++++++
- - - - - - -- - - - - - -
1C
1F =
1V
Q
C=
= 4π ε 0 R
1 Q
4π ε 0 R
Φ = E⋅A=
A
Q
C=
V
Q
⇒
1 Q σ
=
E=
ε0 A ε0
ε0
2
 
σ
U = − ∫ E ⋅ dr = E d = d
ε0
1
Q σA
A
= ε0
C= =
V σ d
d
ε0
Własności elektryczne materii - dielektryki
Dipol elektryczny
+q
elektryczny moment dipolowy

l
−q


p = ql
np. cząsteczka wody H2O
H1+
H1+
p = 6.2 . 10-30 C. m
O2trwały moment dipolowy
Dielektryki - substancje nieprzewodzące (izolatory)
Posiadają ładunki związane (momenty dipolowe)
Wektor polaryzacji

 ∑p
P=
V
Trwałe
Indukowane
-
-
- -
+
- - -
-
bez pola
z polem

E
bez pola
z polem

E
Bo działa moment siły:
  
M = p× E
Polaryzacja dielektryków
Indukowany moment dipolowy
np. obojętnego atomu
-Ze
R
+Ze

F
q'
X
Równowaga sił działających na jądro
q ' Ze
E Ze =
4π ε 0 X 2
1
Ze X = 4π ε 0 R 3 E
p

F'
Ze X = 4π ε 0 R 3 E
ZeX 3
q' =
R3



3
p = 4π R ε 0 E = α ε 0 E
α - polaryzowalność cząsteczki
Gęstość cząsteczek

 ∑p


= nα ε 0 E = χ ε 0 E
P=
V
χ
Podatność elektryczna
Polaryzacja dielektryków
Trwały moment dipolowy

E
bez pola

E
z polem
  
M = p × E ⇔ energia termiczna


P = χε 0 E
Dla niezbyt silnych pól
Kondensator płaski z dielektrykiem
d
+Q + + + + + + + + + + + + + +
-------------Q’

Φ = E⋅A=
E
-Q
+Q’
+ + +- +- -+- +- -+- +- +- -+- +- - +- + +
Q
ε0
−
Q'
⇒
ε0
Q
Q'
−
E=
ε0 A ε0 A
 Q' d Q'

P =
=
⇒ Q' = A P = Aχε 0 E
V
A
Q
− χE ⇒
E=
ε0 A
Q
Q
1
=
E=
ε 0 A (1 + χ ) κε 0 A
Q
A
C = = κ ε 0 = κ C0
V
d
κ
stała dielektryczna
Materiał
próżnia
powietrze
mika
woda
Stała
dielektryczna
1
1,00054
5
80
Energia w kondensatorze
Praca związana z ładowaniem kondensatora
dW = Vdq
Q
Q
1 Q2
q
W = ∫ Vdq = ∫ dq =
2 C
C
0
0
Energia naładowanego kondensatora
1 Q2 1
= CV 2
EC =
2 C
2
Zadanie
C, V0
++++++++++++++
--------------
κ++++++++++++++
---------------
Jak zmieni się energia?
Zmniejszy się (dlaczego?)
Gdzie się podziała różnica?
Energia pola elektrycznego
1
EC = CV 2
2
Gęstość energia pola elektrycznego
1
A 2
1
2
2
κ ε0 V
CV
1
1
V 
2
2
d
2
κ
ε
E
=
κ
ε
=
ρE =
=

0
0
2
2
A⋅ d
A⋅ d
d
W punkcie pola elektrycznego o natężeniu E
zmagazynowana jest energia proporcjonalna do E2
Baterie kondensatorów
C1
-q
C2
+q -q
Połączenie szeregowe
C3
+q -q
V
C1
V
C2
V
C3
+q
1
1
1
1
=
+
+
+ ....
C C1 C 2 C3
Połączenie równolegle
C = C1 + C 2 + C3 + ....
Zadanie
Wyprowadzić wzory
Zjawisko piezoelektryczne
zmiana rozmiarów kryształu pod wpływem zewnętrznego pola
elektrycznego.
odwrotne zjawisko piezoelektryczne:
pojawianie się ładunków elektrycznych (napięcia na przeciwległych
ściankach deformowanego kryształu.
Deformacja
Efekt piezoelektryczny
Napięcie
Odwrotny efekt
piezoelektryczny
Zastosowania:
oscylatory kwarcowe (zegarki), przetworniki elektro-mechaniczne (i odwrotnie),
np.tensometry
Piezo-motory