(i) przesunięcie oryginału: jeżeli ˜ψ(k)

Zadania na wtorek, 31 marca
Zadanie 1. Udowodnić następujące twierdzenia:
e
(i) przesunięcie oryginału: jeżeli ψ(k)
= F[ψ(x)] i a ∈ R, to
e
F[ψ(x − a)] = e−ika ψ(k).
e
(ii) przesunięcie transformaty: jeżeli ψ(k)
= F[ψ(x)] i a ∈ R, to
e − a).
F[eiax ψ(x)] = ψ(k
Zadanie 2. Udowodnić wzory: δ(−x) = δ(x), xδ(x) = 0, xδ 0 (x) = −δ(x), δ(ax) =
Zadanie 3. Obliczyć:
R∞
−∞
dxx2 δ(x2 − 4),
Zadanie 4. Obliczyć całkę gaussowską
Z ∞
−∞
oraz całkę Fresnela
−ax2 +bx
e
R∞
−∞
r
dx =
Z ∞
−∞
2
dxx2 δ 0 (x2 − 4).
π b2
e 4a ,
a
eix dx =
δ(x)
.
|a|
√
<(a) > 0,
iπ.
Zadanie 5. Niech amplituda prawdopodobieństwa znalezienia cząstki w punkcie x
w chwili t będzie zadana wzorem (tak zwany zależny od czasu pakiet falowy)
1 Z k0 +∆k ik(x−ct)
e
dk.
ψ(x, t) =
2∆k k0 −∆k
Obliczyć prawdopodobieństwo znalezienia cząstki w punkcie x w chwili t. Jak zachowuje
się pakiet z upływem czasu? Czy pakiet zmienia kształt?
Zadanie 6. W chwili t = 0 amplituda znalezienia cząstki w punkcie x zadana jest
przez funkcję gaussowską
x2
1
ψG (x, 0) = √
e− 4σ2 .
4
2πσ 2
(i) Obliczyć rozkład prawdopodobieństwa znalezienia cząstki w punkcie x w chwili t.
(ii) Przypuśćmy, że pakiet opisuje elektron zawarty w obszarze o rozmiarach rzędu
1 Å. Ile czasu upłynie do chwili gdy pakiet zwiększy swój rozmiar dwa razy?
Ile potrzeba czasu aby pakiet „zajął” cały pokój?
(iii) Rozważyć dla porównania cząsteczkę kurzu o masie 10−3 g i rozmiarze rzędu
10−4 cm zlokalizowanej w obszarze odpowiadającej jej rozmiarowi. Ile potrzeba
czasu aby pakiet zwiększył swoje rozmycie dwa razy?
Zadanie 7.
Propagator dla cząstki o masie m znajdującej się w potencjale U (x) = mω 2 x2 /2 (oscylator harmoniczny) ma postać
1/2
i
imω h 2
mω
exp
(x + x20 ) cos ωT − 2xx0 ,
2πi~ sin ωT
2~ sin ωT
gdzie T = t − t0 . Znaleźć rozkład prawdopodobieństwa w chwili t, jeżeli w chwili
początkowej t = 0 cząstka była opisana funkcją falową
mω
ψ(x, 0) = exp −
(x − a)2 .
2~
K(x, t; x0 , t0 ) =