t - E-SGH

Ćwiczenia 3
Współczynnik przyrostu
naturalnego. Koncepcja ludności
zastojowej i ustabilizowanej.
Prawo Lotki.
Współczynnik przyrostu naturalnego
𝑟=
𝑈𝑡 −𝑍𝑡
𝐿𝑡
gdzie:
𝑈𝑡 - urodzenia w roku t
𝑍𝑡 - zgony w roku t
𝐿𝑡 - średnia liczba ludności w roku t
𝐿𝑡+1 = 𝐿𝑡 + 𝑈𝑡 − 𝑍𝑡 = 𝐿𝑡 + 𝑟𝐿𝑡
𝐿𝑡+1 = (1 + 𝑟)𝐿𝑡
...
𝐿𝑡+𝑛 = (1 + 𝑟)𝑛 𝐿𝑡
Współczynnik przyrostu naturalnego
• wpółczynnik przyrostu wyznaczony dla
przyrostu geometrycznego (model
wykładniczy)
• współczynnik nie dotyczy przyszłości, stanowi
opis procesów ludnościowych w przeszłości
(struktura ludności według wieku) i
teraźniejszości (procesy naturalne).
• dodatni, ujemny lub zerowy
• możliwe silne wahania z okresu na okres
Współczynnik przyrostu naturalnego
np. r=0,02
• liczba ludności rośnie 2 procent na rok
• jeśli przez kolejne 10 lat r=0.02 to liczba
ludności będzie większa od obecnej o 21,9%,
bo 1.0210  1.219
• ...oraz za 100 lat, ponad siedmiokrotnie
większa
ZADANIE 1
W arkuszu excel „wspprzyrostunat.xls” , zakładka
„wsp.przyrostu nat.”
• wyznaczyć współczynnik przyrostu naturalnego
dla Polski w latach 2005-2011
• Jak duża byłaby populacja Polski w 2111 roku
gdyby współczynnik przyrostu naturalnego z
2011 utrzymał sie do 2111 roku?
Współczynnik przyrostu naturalnego- Polska
Współczynnik
Przyrostu
naturalnego Dzietności
na 1000
ogólnej
rok ludności
TFR
2005
-0,10
1,243
2006
0,12
1,267
2007
0,28
1,306
2008
0,92
1,390
2009
0,86
1,398
2010
0,90
1,376
2011
0,33
1,297
Czas podwojenia dla wybranych regionów dla rzeczywistych
średniorocznych zmian liczby ludności
Czas
Czas
r
r
podwojenia
podwojenia
(lata)
(lata)
1950-55
2005-2010
0,0177
39,2
0,0118
58,6
Świat
Afryka
0,02176
31,8
0,0229
30,2
Azja
0,01888
36,7
0,0114
60,9
Europa
Ameryka
Łacińska i
Karaiby
Ameryka
Północna
0,00998
69,4
0,0009
761,5
0,02711
25,6
0,0112
61,7
0,01713
40,5
0,0096
72,2
Oceania
0,02149
32,2
0,0131
52,7
Źródło: obliczenia własne na podstawie danych z World Population Prospects 2008
Modele ludności
Modele ludności to konstrukcje formalne opisujące (przy
pewnych założeniach) zależności między dwiema
składowymi dynamiki demograficznej (płodności i
umieralności) a liczbą ludności i strukturami wieku
ludności.
• Model populacji ustabilizowanej (Stable population)
• Model populacji zastojowej (Stationary population)
Alfred Lotka (1880-1949) był pierwszym
demografem, który zdefiniował równanie łączące
strukturę wieku ludności, płodność i umieralność.
Urodził się 2 marca 1880 w
Lemberg, Austria (teraz Lwów,
Ukraina), ale jego rodzice byli
Amerykanami.
Prawo Lotki (1939)
Struktura populacji zamkniętej, charakteryzującej się
stałą płodnością i umieralnością, osiąga po dostatecznie
długim czasie (t →∞) stan graniczny (ustabilizowany)
zależny jedynie od płodności i umieralności, a niezależny
od struktury populacji początkowej.
Oznacza to, iż niezależnie od swojej początkowej struktury
wieku, populacja zamknięta ze stałą płodnością i
umieralnością według wieku w długim okresie dąży do stałej
struktury wieku i stałego współczynnika przyrostu.
Badanie Lotki dało początek koncepcji ludności
ustabilizowanej.
Model ludności ustabilizowanej
Założenia:
• populacja zamknięta (brak migracji)
• stały wzorzec umieralności (według wieku)
• Stały wzorzec płodności (cząstkowe współczynniki
płodności według wieku)
W rezultacie, w długim okresie:
• stała struktura ludności według wieku
• ogólna liczba ludności i liczba urodzeń rośnie (lub
maleje) zgodnie z prawem Malthusa (geometrycznie ze
stałym współczynnikiem r)
• współczynniki urodzeń i zgonów—znane jako
współczynniki właściwe (istotne) (intrinsic rates)—są
stałe.
Model ludności ustabilizowanej
Liczba ludności w wieku x wynosi w każdym momencie:
𝐿 𝑥 = 𝐵𝑒 −𝑟𝑥 𝑝(𝑥)
l.urodzeń
p(x) – prawdopodobieństwo
dożycia wieku a przez
noworodka
Jest to zasadnicza (fundamentalna) funkcja ludności
ustabilizowanej
Równanie Lotki
Lotka pokazał, że współczynnik r (wsp. przyrostu
naturalnego) stanowi rozwiązanie równania:
𝜔
1=
𝑒 −𝑟𝑥 𝑝 𝑥 𝑚 𝑥 𝑑𝑥
0
I jest niezależny od rozkładu początkowego
ludności według wieku, a zależny od istotnych
współczynników umieralności i urodzeń (intristic
rates).
Istotny współczynnik przyrostu (współczynnik Lotki)
W rezultacie na podstawie danej funkcji umieralności p(x) i danej
funkcji płodności m(x), należy rozwiązać następujące równanie
dynamiki populacji,
𝜔
1=
𝑒 −𝜌𝑥 𝑝 𝑥 𝑚 𝑥 𝑑𝑥
0
które pozwoli wyznaczyć wartość istotnego współczynnika przyrostu
(intrinsic growth rate) (ρ) :
  1 /  ( x )[    2 ( x ) ln R0 ]
2
2
2
Jedna z zaproponowanych przybliżeń tej wartości to:
ln(𝑁𝑅𝑅)
𝑟≅
𝜇
NRR – współczynnik
reprodukcji netto
μ – średni wiek kobiet w
momencie urodzenia dziewczynki
Współczynnik reprodukcji netto (NRR)
Udzt 49
L( x )
NRRt 
 FRt ( x )
Ut x  15
l( 0 )
to średnia liczba żywo urodzonych dzieci płci żeńskiej,
które dożyją średniego wieku swych matek,
przypadających na 1 kobietę w wieku rozrodczym (przy
założeniu niezmiennego aktualnego poziomu
cząstkowych współczynników płodności i umieralności)
ZADANIE 2A
• Wyznaczyć współczynnik reprodukcji netto dla Polski
w latach 2003 i 2010 (dane w skoroszytach
„urodzenia”, „ludność”, rozwiązania:
„wsp.reprodukcji”)
• Wyznaczyć współczynnik przyrostu Lotki dla tych
danych
Populacja ustabilizowana
W rezultacie, ten jedyny rzeczywisty pierwiastek
fundamentalnego równania Lotki pozwala nam w pełni
określić charakterystyki populacji ustabilizowanej
Struktura populacji ustabilizowanej
c( x ) 
e

e
0
 x
 x
p( x )
p( x )d ( x )
ZADANIE 2B
• Określić strukturę wieku populacji ustabilizowanej
Polski dla lat 2003 i 2010, wykorzystując dane
wyznaczone w Zadaniu 2A, rozwiązania w
skoroszycie „struktura ludności”
• Obliczyć indeksy starości w 2010 r. i w modelu
populacji ustabilizowanej
Model ludności zastojowej
Model ludności zastojowej jest szczególnym
przypadkiem bardziej ogólnego modelu ludności
ustabilizowanej
Model ludności zastojowej
Założenia:
• Współczynniki cząstkowe zgonów według
wieku są stałe w czasie
• Liczba urodzeń jest stała w czasie
• Współczynniki migracji netto są równe zero
dla każdej grupy wieku (populacja zamknięta)
Model ludności zastojowej
W rezultracie:
• Stała struktura populacji według wieku
• CBR=CDR
r=0
•
1
CBR=CDR=
𝑒0
• Stała liczba ludności w wieku x (𝐿𝑥,𝑡 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡)
• Stała liczba ludności 𝐿𝑡 = 𝐿 = 𝑈𝑒0
Model ludności zastojowej
• wskaźnik struktury ludności zastojowej:
odsetek osób w wieku x
c( x)  CBRp ( x)
gdzie:
p(x) – prawdopodobieństwo dożycia wieku x przez noworodka
CBR – crude birth rate (współczynnik urodzeń)
Porównanie struktury populacji rzeczywistej i
ustabilizowanej, 2010 r.
Grupa
wieku
Polska 2010
Populacja ustabilizowana
ogółem
M
K
ogółem
M
K
0-14
15,2%
16,1%
14,4%
11,8%
12,9%
10,9%
15-64
71,3%
73,4%
69,4%
59,5%
63,1%
56,4%
65 i +
13,5%
10,5%
16,2%
28,7%
24,0%
32,7%
38,0
36,8
40,6
49,7
46,7
52,4
Mediana
wieku
Indeks
88,2
242,3
starości
Indeks starości (ageing index) – liczba osób w wieku 65 lub więcej na
100 osób młodych (w wieku poniżej 15 lat).
Współczynnik reprodukcji brutto (GRR)
Udzt
GRRt 
TFRt
Ut
- charakteryzuje aktualną płodność, wyrażając średnią
liczbę żywo urodzonych dzieci płci żeńskiej przypadających
na 1 kobietę będącą aktualnie w wieku rozrodczym, przy
założeniu niezmiennego aktualnego poziomu cząstkowych
współczynników płodności.
Współczynnik dynamiki demograficznej (DDR)
Bt
DDRt 
Dt
Bt – urodzenia w roku
Dt – zgony w roku t
DDRt < 1 ⇨ gdy roczna liczba urodzeń nie równoważy
rocznej liczby zgonów (reprodukcja zawężona)
DDRt =1 ⇨ gdy roczna liczba urodzeń równa jest rocznej
liczbie zgonów (reprodukcja prosta)
DDRt > 1 ⇨ gdy występuje nadwyżka liczby urodzeń nad
liczbą zgonów (reprodukcja rozszerzona)
REPRODUKCJA LUDNOŚCI
- MIARY SYNTETYCZNE - Polska
Współczynnik
Przyrostu
naturalnego Dynamiki Dzietności
(NRR/
na 1000 demograficzna ogólnej Reprodukcji Reprodukcji GRR)
rok ludności
DDR
TFR
butto GRR netto NRR w %
2005
-0,01
0,989
1,243
0,604
0,599
99,2
2006
-0,01
1,012
1,267
0,615
0,611
99,3
2007
0,3
1,028
1,306
0,635
0,632
99,5
2008
0,9
1,093
1,390
0,676
0,673
99,6
2009
0,9
1,085
1,398
0,678
0,675
99,6
2010
0,9
1,092
1,376
0,662
0,661
99,8
2011
0,3
1,034
1,297
0,630
0,628
99,7