Osie potęgowe Rozważmy okręgi o1 i o2. Wówczas 1

Osie potęgowe
Rozważmy okręgi o1 i o2 . Wówczas
1. Zbiorem punktów, których potęga punktu względem okręgów o1 i o2 jest taka sama jest prosta zwana
osią potęgową.
a) Gdy okręgi przecinają się w dwóch punktach, osią potęgową jest prosta przechodząca przez ich punkty
przecięcia.
b) Gdy okręgi są styczne, osią potęgową jest prosta styczna do tych okręgów, przechodząca przez ich punkt
styczności.
c) Gdy okręgi są rozłączne, osią potęgową jest prosta nie mająca punktów wspólnych z tymi okręgami.
2. Jeśli środki trzech okręgów o1 , o2 , o3 są różne, to osie potęgowe par okręgów (o1 , o2 ), (o2 , o3 ), (o3 , o1 ) przecinają się w jednym punkcie.
Zadanka:
1. Dany jest sześciokąt ABCDEF w którym zachodzi AF = AB, BC = CD, ED = EF . Udowodnić, że
proste prostopadłe do odcinków AC, CE, AE przechodzące odpowiednio przez punkty B, D, F przecinają się
w jednym punkcie.
2. Dany jest trójkąt ABC. Rozważmy dwa okręgi przechodzące przez A, które są styczne do prostej BC
odpowiednio w punktach B i C. Załóżmy, że A leży bliżej BC niż D oraz że BC = 2BD. Udowodnić że
<
) DAB = 2 · <
) ADB.
3. Okrąg o środku O wpisany w czworokąt ABCD jest styczny do boków AB, BC, CD, DA odpowiednio w
punktach K, L, M, N . Proste KN i LM przecinają się w punkcie P . Udowodnić, że P O i AC są prostopadle.
4. Rozłoczne okręgi o1 i o2 są styczne wewnętrznie do okręgu ω odpowiednio w punktach A i B. Oś potegowa
okręgów o1 i o2 przecina okrąg ω w punktach P i Q. Prosta AP przecina okrąg o1 w punkcie E, prosta P B
przecina okrąg o2 w punkcie F . Udowodnij, że F E jest styczną do okręgów o1 i o2 .
5. Niech H będzie ortocentrum trójkąta ABC. Punkt W leży na odcinku BC i jest różny od punktów B
i C. Punkty M i N są spodkami wysokości trójkąta ABC opuszczonych odpowiednio z B i C. Niech ω1
będzie okręgiem opisanym na trójkącie BW N , zaś X takim punktem na ω1 , że odcinek W X jest średnicą
okregu ω1 . Analogicznie niech ω2 będzie okręgiem opisanym na trójkącie CW M , zaś Y takim punktem na
ω2 , że odcinek W Y jest średnicą okręgu ω2 . Udowodnij, że punkty X, Y, H leżą na jednej prostej.
6. Czworokąt ABCD jest wpisany w okrąg o środku O. Punkty M i N są środkami odcinków AC i BD
odpowiednio. Odcinki AC i BD przecinają się w punkcie P . Załóżmy, że punkty A, N, O, C leżą na jednym
okręgu oraz czworokąt P M ON jest wypukły. Udowodnić, że punkty B, M, O, P leżą na jednym okręgu.
7. Punkty D i E leżą odpowiednio na bokach AB i AC trójkąta ABC, przy czym BD = BC = CE. Odcinki
DC i BE przecinają się w punkcie F . Punkt M jest środkiem łuku BC okręgu opisanego na trójkącie ABC,
zawierającego punkt M , punkt H jest ortocentrum trójkąta DEF , punkt I jest środkiem okręgu wpisanego
w trójkąt ABC. Udowodnić, że punkty M, H, I leża na jednej prostej.
8. Punkt I jest środkiem okręgu wpisanego w trójkąt ABC. Proste AI i BI przecinają okrąg opisany na tym
trójkącie odpowiednio w punktach D i E. Prosta DE przecina odcinki BC i AC odpowiednio w punktach G
i F . Prosta równoległa od AI, przechodząca przez F przecina prostą równoległą do BI, przechodzącą przez
G w punkcie P . Proste AE i BD przecinają się w punkcie T . Udowodnij, że punkty T, I, P leża na jednej
prostej.
9. Niech AD będzie wysokością w trójkącie ABC. Okrąg o średnicy AD przecina AB, AC w X, Y odpowiednio. Styczne do tego okręgu w punktach X, Y przecinają BC odpowiednio w punktach E, F . Proste BY i
CX przecinają się w punkcie P , a proste EY i F X przecinają się w punkcie Q. Udowodnij, że prosta P Q
przechodzi przez środek odcinka BC.