Styczne

Joanna Ochremiak, Seminarium olimpijskie dla nauczycieli matematyki
Styczne
Twierdzenie 1: Z punktu P leżącego na zewnątrz
okręgu ω poprowadzono dwie styczne P A i P B. Wówczas P A = P B (rys. 1).
rys. 1
1. Dane są okręgi ω1 i ω2 (rys. 2). Ich wspólna styczna wewnętrzna l jest styczna do okręgów
ω1 i ω2 odpowiednio w punktach B i C. Prosta l przecina wspólne styczne zewnętrzne
okręgów ω1 i ω2 w punktach A i D. Wykaż, że AB = CD.
2. Okręgi dopisane do trójkąta ABC są styczne do boków BC i AC odpowiednio w punktach
D i E (rys. 3). Udowodnij, że AE = BD.
rys. 2
rys. 3
3. (12 test VIII OMG) Sfera wpisana w czworościan ABCD jest styczna do ścian ABC i
ABD odpowiednio w punktach K i L. Wynika z tego, że
T
a) AK = AL;
T
) AKB = <
) ALB;
b) <
N
c) oba punkty K i L są środkami okręgów wpisanych w trójkąty ABC i ABD.
4. (6 1 etap VIII OMG) W ostrosłup SABCD, którego podstawą jest czworokąt wypukły
) ASB + <
) CSD = <
) BSC + <
) DSA .
ABCD, można wpisać sferę. Udowodnij, że <
5. (15 Liga zadaniowa OMG, seria III) Okrąg ω, wpisany w trójkąt ABC, jest styczny
do boków AC i AB odpowiednio w punktach K i L. Punkt I jest środkiem okręgu ω, a
punkt M jest symetryczny do punktu L względem punktu A. Wykaż, że proste M K i AI
są równoległe.
6. Udowodnij, że w czworokąt wypukły ABCD można wpisać okrąg wtedy i tylko wtedy,
gdy okręgi wpisane w trójkąty ABD i BCD są styczne.
Joanna Ochremiak, Seminarium olimpijskie dla nauczycieli matematyki
Twierdzenie 2: Z punktu F leżącego na zewnątrz
okręgu ω poprowadzono prostą styczną do okręgu ω
w punkcie A (rys. 4). Punkty B i C leżą na okręgu ω,
przy czym punkt B leży po przeciwnej stronie prostej
) F AC = <
) ABC.
AC niż punkt F . Wówczas <
Twierdzenie 3: Dany jest trójkąt ABC i punkt F
leżący po przeciwnej stronie prostej AC niż punkt B.
) F AC = <
) ABC, to okrąg opisany na trójkącie
Jeżeli <
ABC jest styczny do prostej F A.
rys. 4
7. (3 3 etap VI OMG) Punkt I jest środkiem okręgu wpisanego w trójkąt ABC. Okrąg
styczny do prostej AI w punkcie I i przechodzący przez punkt B przecina bok BC w
punkcie P (różnym od B). Proste IP i AC przecinają się w punkcie Q. Wykaż, że punkt I
jest środkiem odcinka P Q.
8. (9 Liga zadaniowa OMG, seria II) Okręgi ω1 i ω2 przecinają się w punktach A i B.
Prosta styczna do okręgu ω1 w punkcie A przecina okrąg ω2 w punktach A i D. Prosta
styczna do okręgu ω2 w punkcie A przecina okrąg ω1 w punktach A i C. Wykaż, że prosta
AB zawiera dwusieczną kąta CBD.
9. Dwa ustalone okręgi ω1 i ω2 przecinają się w punktach A i B. Prosta k przechodzi przez
punkt A i przecina okręgi ω1 i ω2 odpowiednio w punktach X i Y (rys. 5), przy czym punkt
X leży na zewnątrz okręgu ω2 , a punkt Y na zewnątrz okręgu ω1 . Styczne do okręgów ω1
i ω2 w punktach X i Y przecinają się w punkcie Z. Udowodnij, że miara kąta XZY nie
zależy od wyboru prostej k.
) BCP + <
) ADP =
10. Punkt P leży wewnątrz czworokąta wypukłego ABCD, przy czym <
<
) AP B. Wykaż, że okręgi opisane na trójkątach BCP i ADP są styczne (rys. 6).
rys. 5
rys. 6
rys. 7
11. Prosta k jest styczna do okręgu ω w punkcie A. Odcinek CD jest cięciwą okręgu ω
równoległą do prostej k (rys. 7). Styczna do okręgu ω w punkcie D przecina prostą k w
punkcie B. Odcinek BC przecina okrąg ω w punkcie E. Udowodnij, że prosta DE dzieli
odcinek AB na dwie równe części.