ćw 3

Wst¦p teoretyczny do ¢wiczenia nr 3 - Elementy kombinatoryki
1
Zadania na ¢wiczenia nr 3 - Elementy kombinatoryki
Ile istnieje ró»nych liczb czterocyfrowych zakªadaj¡c, »e cyfry nie powtarzaj¡ si¦ a liczby
zaczynaj¡ si¦ od 2, 5 lub 6.
Zad. 1.
Zad. 2.
Ile jest permutacji liczb 1, 2, . . . , 6 w których:
a) liczby 3, 4 s¡siaduj¡ ze sob¡ w kolejno±ci wzrastania
b) liczby 3, 4 s¡siaduj¡ ze sob¡ w dowolnej kolejno±ci
c) liczby 3, 4 nie s¡siaduj¡ ze sob¡
d) liczby 3, 4, 5 s¡siaduj¡ ze sob¡ w kolejno±ci wzrastania
e) liczby 3, 4, 5 nie s¡siaduj¡ ze sob¡.
Zad. 3. Ile mo»na utworzy¢ sze±ciocyfrowych liczb parzystych z cyfr 1, 2, 3, 4 przy zaªo»eniu, »e
cyfra 2 powtarza si¦ trzy razy.
Z siedmiu cyfr mo»na utworzy¢ 42 liczby 7-cyfrowe. Ile w tym zestawie jest cyfr powtarzaj¡cych si¦.
Zad. 4.
Zad. 5.
Ile ró»nych liczb 5-cyfrowych mo»na utworzy¢ z cyfr 0, 1, 2, 3, 4 tak aby:
a) »adna cyfra si¦ nie powtarzaªa
b) cyfry mog¡ si¦ powtarza¢
c) tak aby na miejscu dziesi¡tek staªa cyfra 3 lub 4; cyfry nie mog¡ si¦ powtarza¢.
Zad. 6.
Ile jest trzycyfrowych liczb o ró»nych cyfrach wi¦kszych od 370.
Ze zbioru {2, 3, 4, 5, 6} losujemy kolejno dwie cyfr ze zwracaniem. Otrzymujemy liczb¦
dwucyfrow¡. Ile w ten sposób mo»na otrzyma¢ liczb:
Zad. 7.
a) podzielnych przez 5
b) mniejszych od 40
c) wi¦kszych od 42.
Zad. 8. Ze zbioru liczb {1, 2, . . . , 13} wybieramy jednocze±nie dwie. Na ile sposobów mo»na to
zrobi¢ aby:
a) ich iloczyn byª liczb¡ nieparzyst¡
b) ich iloczyn byª liczb¡ parzyst¡
c) ich iloczyn byª podzielny przez 7
d) ich iloczyn byª podzielny przez 15
e) ich iloczyn byª podzielny przez 10
e) ich suma byªa liczb¡ nieparzyst¡.
2
Zad. 9.
Obliczy¢ ile jest mo»liwo±ci otrzymania w±ród 13 kart: 4 asów, 4 króli, 4 dam.
Zad. 10.
Na ile sposobów 5 osób mo»e wysi¡±¢ z tramwaju, który skªada si¦ z:
a) dwóch ponumerowanych wagonów
b) trzech ponumerowanych wagonów.
W pojemniku jest 5 kul biaªych i 4 czarne. Na ile sposobów mo»na wyj¡¢ z pojemnika 3
kule tak, aby otrzyma¢:
Zad. 11.
a) 3 kule biaªe
b) 3 kule czarne
c) 2 kule biaªe i 1 kul¦ czarn¡
d) co najmniej 1 kul¦ biaª¡.
Na ile sposobów mo»na wyj¡¢ ze skrzyni 5 butów, tak aby »aden nie miaª pary, je»eli w
skrzyni jest 6 ró»nych par butów.
Zad. 12.
W 10-pi¦trowym bloku jest winda. Do windy wsiadªo 7 osób. Na ile sposobów mog¡
wysi¡±¢ tak, aby:
Zad. 13.
a) ka»da osoba mogªa wysi¡±¢ na innym pi¦trze
b) ka»da osoba mogªa wysi¡±¢ na dowolnym pi¦trze
c) tak aby wszyscy wysiedli na jednym pi¦trze.
Zad. 14.
Ile jest 6-elementowych kombinacji z powtórzeniami ze zbioru 3-elementowego {a, b, c}.
Zad. 15.
Ile jest rozwi¡za« caªkowitych równania t1 + t2 + t3 + t4 = 15, gdzie ti ­ 0.
Na pªaszczy¹nie narysowano n prostych tak, aby »adne dwie proste nie byªy równolegªe
ani »adne trzy nie przecinaªy si¦ w jednym punkcie. Ile otrzymano wszystkich punktów przeci¦cia.
Zad. 16.
Zad. 17. W klanie mamy 16 dziewcz¡t i 15 chªopców. Ile mamy mo»liwych wyborów 5-osobowej
delegacji, w skªad której wejdzie co najmniej 3 chªopców.
Zad. 18. Na ile sposobów mo»na rozmie±ci¢ 20 identycznych kul w 5 ró»nych szuadkach tak,
aby w ka»dej szuadce byªy przynajmniej dwie kule.
Na ile sposobów mo»na rozmie±ci¢ 25 identycznych cukierków w 7 rozró»nialnych pudeªkach, je»eli pierwsze pudeªko mo»e zawiera¢ co najwy»ej 10 cukierków, a pozostaªe mog¡ zawiera¢
dowoln¡ liczb¦ cukierków.
Zad. 19.
Zad. 20.
Ile ci¡gów binarnych dªugo±ci 16:
a) zawiera dokªadnie 8 zer
b) zawiera wi¦cej jedynek ni» zer.
3
Na ile sposobów mo»na nawlec na sznurek o ustalonym pocz¡tku i ko«cu, 4 czerwone, 4
niebieskie i 2 biaªe koraliki.
Zad. 21.
Zad. 22.
W turnieju ka»da dziewczyna gra z ka»d¡ inna. Ile jest dru»yn je»eli rozegrano 45 meczów.
Zad. 23. Na przyj¦cie przyszªo 5 maª»e«stw. Ile b¦dzie powita«. Zakªadamy, »e witaj¡ si¦ pary nie z rodziny.
Zad. 24.
Ile przek¡tnych ma 7-k¡t wypukªy.
Zad. 25.
Pami¦tamy 3 pierwsze cyfry z 7 cyfrowego numeru. Ile jest mo»liwych numerów:
a) je±li nast¦pne cyfry s¡ dowolne
b) w±ród pozostaªych nie ma 4 i 5
b) w±ród pozostaªych nie ma »adnych na pierwszych miejscach.
Ile istnieje funkcji ró»nowarto±ciowych okre±lonych na zbiorze X = {1, 2} o warto±ciach
w zbiorze Y = {a, b, c, d}.
Zad. 26.
Zad. 27. Ile ró»nych liczb 6-cyfrowych takich, »e »adna cyfra si¦ nie powtarza i tak by 3 lub
4 byªa cyfr¡ jedno±ci (Y = {0, . . . , 5}).
W urnie s¡ 4 kule biaªe, 3 niebieskie, 2 czarne i 1 zielona. Na ile sposobów mo»na
wyci¡gn¡¢ 3 kule aby:
Zad. 28.
a) byªy tego samego koloru
b) byªy dowolnego koloru
b) 2 kule byªy tego samego koloru a 1 kule innego.
Zad. 29.
Rzucamy 4 razy monet¡. Na ile sposobów mo»na wyrzuci¢ tak aby:
a) wypadª dokªadnie 1 orzeª
b) cho¢ raz wypadª orzeª
b) wypadªy dokªadnie 2 orªy
d) wypadªy przynajmniej 2 orªy
e) wypadªy co najwy»ej 4 orªy.
Zad. 30.
Na ile sposobów mo»na podzieli¢ zbiór [n] = {1, . . . , n} na dwa niepuste i rozª¡czne zbiory.
Zad. 31. Na ró»nych niepustych paczek z owocami mo»na utworzy¢, maj¡c do dyspozycji jabªka i gruszki, przy zaªo»eniu, »e w paczce nie mo»e by¢ wi¦cej ni» n jabªek i nie mo»e by¢ wi¦cej ni»
m gruszek.
Pewna grupa ludzi wita si¦ podaj¡c sobie r¦ce. Nikt nie wita si¦ z samym sob¡, a »adna
para nie wita si¦ wi¦cej ni» raz. Pokaza¢, »e b¦d¡ istniaªy 2 osoby, które witaªy si¦ tyle samo razy.
Zad. 32.
4
5