ZAJĘCIA 06. Pojęcie pierwotne i definicja. Aksjomat i twierdzenie

ZAJĘCIA 06.
Pojęcie pierwotne i definicja. Aksjomat i twierdzenie.
POJĘCIE PIERWOTNE I DEFINICJA
Pojęcie pierwotne to takie pojęcie matematyczne, którego nie określamy, polegając na
przeświadczeniu, Ŝe ich znaczenie jest oczywiste i powszechnie znane lub przez podanie
informacji o relacjach, w których występuje.
PRZYKŁAD
Przykładami pojęć pierwotnych są:
•
•
•
liczba - w teorii liczb
punkt - w geometrii euklidesowej
prosta - w geometrii euklidesowej
Wybór pojęć pierwotnych moŜe być róŜnorodny, stanowi on podstawę w budowaniu teorii.
Na bazie pojęć pierwotnych, a takŜe pojęć wcześniej juŜ określonych określa się
(definiuje) inne pojęcia matematyczne.
KaŜde pojęcie matematyczne, które nie jest pojęciem pierwotnym musi zostać
zdefiniowane.
Definicja (określenie) jest to zdanie, za pomocą którego ustalamy nazwę pojęcia oraz jego
znaczenie.
PRZYKŁAD
Definicja: Okrąg jest to zbiór wszystkich punktów na danej płaszczyźnie oddalonych o
daną odległość od danego punktu
Mamy tutaj:
•
•
odpowiedź na pytanie co to jest okrąg.
określenie pojęcia okrąg za pomocą innych pojęć: zbiór, punkt, płaszczyzna,
odległość, które muszą być wcześniej zdefiniowane lub są pojęciami pierwotnymi.
Cechy definicji:
•
•
budowa z trzech członów: nazwa, spójnik (np. "jest to", "=") oraz opis pojęcia
W opisie pojęcia nie moŜe występować pojęcie definiowane lub pojęcie, które
definiuje się za pomocą pojęcia definiowanego
AKSJOMAT I TWIERDZENIE
Twierdzenie to zdanie logiczne mające postać implikacji:
Z (załoŜenie)
T (teza)
Poprzednik implikacji Z nazywamy załoŜeniem twierdzenia i określa ono warunki dla
których dane twierdzenie jest spełnione, zaś następnik implikacji T - nazywamy tezą
twierdzenia i jest istotną treścią wypowiadanego twierdzenia.
Uwaga! Zdarza się, Ŝe twierdzenie jest wypowiadane w postaci innej niŜ implikacja.
Zawsze jednak moŜna je przeredagować tak, aby przybrało postać implikacji.
PRZYKŁAD
Twierdzenie:
JeŜeli liczba naturalna N jest podzielna przez dziesięć, to jest ona podzielna przez pięć.
W powyŜszym twierdzeniu:
załoŜeniem jest zdanie: liczba naturalna N jest podzielna przez dziesięć,
tezą jest zdanie: liczba naturalna N jest podzielna przez pięć.
Prawdziwość twierdzenia naleŜy dowieść. Jednak część twierdzeń ma charakter twierdzeń
pierwotnych, które z natury rzeczy nie mogą być dowiedzione. Takie twierdzenia
nazywane są aksjomatami. Istnieją teŜ twierdzenia, które przyjmuje się za prawdziwe
mimo braku ich dowodu.
PRZYKŁAD
Przykłady aksjomatów:
•
•
•
JeŜeli punkt B leŜy pomiędzy punktami A i C, to punkty A, B, C są róŜnymi
punktami leŜącymi na jednej prostej.
Dla dowolnych dwóch punktów A, B istnieje prosta a, zawierająca oba te punkty.
JeŜeli odcinek przecina dwie proste, tworząc dwa kąty wewnętrzne po tej samej
stronie o sumie mniejszej niŜ dwa kąty proste, to te dwie proste przecinają się po tej
stronie, po której znajdują się owe kąty wewnętrzne
T nazywamy prostym, do którego twierdzenie odwrotne to
Twierdzenie w postaci: Z
twierdzenie w postaci: T
Z, twierdzenie przeciwne to twierdzenie w postaci ~Z
~T,
a twierdzenie przeciwstawne lub kontrapozycja to twierdzenie w postaci ~T
~Z
Dowody twierdzeń moŜna przeprowadzać na wiele sposobów. Wśród nich warto wymienić
dowody wprost, nie wprost, indukcji zupełnej.
Dowód wprost polega na przyjęciu, Ŝe załoŜenie twierdzenia jest prawdziwe
i rozumowaniu tak długo, aŜ dojdzie się do wniosku, Ŝe teza twierdzenia jest prawdziwa.
PoniewaŜ twierdzenia proste i przeciwstawne mają tę samą wartość logiczną, dowód
twierdzenia prostego moŜna zastąpić jego kontrapozycją. Dowód nie wprost polega na
załoŜeniu, Ŝe nie jest prawdziwa teza twierdzenia, a następnie poprzez odpowiednie
rozumowanie dowodzi się sprzeczność z załoŜeniem danego twierdzenia lub innymi
twierdzeniami.
PRZYKŁAD
Udowodnić, Ŝe jeŜeli ułamek a/b jest nieskracalny (gdzie a i b są liczbami naturalnymi),
to ułamek (b-a)/b jest takŜe nieskracalny.
ZałoŜenie: a,b - liczby naturalne oraz a/b jest ułamkiem nieskracalnym.
Teza: (b-a)/b jest nieskracalny.
Stosujemy metodę dowodu nie wprost. Zgodnie z zasadami zakładamy, Ŝe teza nie jest
prawdziwa, a więc, Ŝe ułamek (b-a)/b jest skracalny. Musimy więc dowieść sprzeczność
załoŜenia, czyli, Ŝe ułamek a/b jest skracalny.
Skoro ułamek (b-a)/b jest skracalny, to licznik i mianownik tego ułamka dzieli się przez
taką samą liczbę m większą od 1, wyniki dzielenia b-a i b przez tę liczbę są liczbami
naturalnymi k i l:
(b-a)/m=k i b/m=l.
Przekształcając oba równania otrzymujemy:
b-a=mk i b=ml.
Odejmując od siebie oba równania otrzymujemy (b-a)-b=mk-ml, czyli -a=m(k-l), mnoŜąc
obie strony równania przez -1 otrzymujemy: a=m(l-k). Oznaczając liczbę l-k przez n
(jest to takŜe liczba naturalna) dostajemy zaleŜność: a=mn, czyli a/m=n
Jak widać a/m=n i b/m=l, a więc ułamek a/b jest skracalny przez m, co jest sprzeczne z
załoŜeniem. Na tym kończymy dowód.
Często w dowodach twierdzeń stosuje się zasadę indukcji matematycznej (zupełnej).
Będzie ona jednak stanowić osobny temat, przy okazji omawiania ciągów liczbowych.