Przekształcenie Laplace`a

Przekształcenie Laplace’a
Definicja i własności, transformaty
podstawowych sygnałów
Transformatą Laplace’a funkcji f(t) jest funkcja F(S) zmiennej zespolonej,
którą oznacza się następująco:
F ( s ) = L[ f (t )]
Funkcja F(S) nazywana bywa również funkcją przekształconą lub
obrazem f(t). To przekształcenie całkowe zdefiniowane jest wzorem:
∞
− st
F ( s ) = ∫ f (t )e dt
0
Aby przekształcenie to miało sens, całka występująca po prawej stronie
wzoru musi być zbieżna, tj.
∞
∫ f (t )e
0
− st
dt < ∞
Odwrotnie, mając daną F(S) możemy dokonując przekształcenia
odwrotnego wyznaczyć f(t).
c + jω
1
st
f (t ) =
F
(
s
)
e
ds
∫
2πj c − jω
przy czym c jest stałą większą od odciętej zbieżności funkcji F(S).
Piszemy wtedy, że:
−1
f (t ) = L [ F ( s )]
Funkcja f(t) nazywana jest również oryginałem funkcji F(s) lub funkcją
oryginalną.
Własności przekształcenia Laplace’a.
1. Liniowość
a ⋅ f (t ) = a ⋅ F ( s )
L[a ⋅ f (t ) + b ⋅ g (t )] = a ⋅ F ( s ) + b ⋅ G ( s )
gdzie a, b są stałymi
2. Całkowanie w dziedzinie rzeczywistej
τ
1
L[ ∫ f (t )dt ] = F ( s )
s
0
3. Różniczkowanie w dziedzinie rzeczywistej
n −1
n
d
n
n − k −1 ( k )
+
L[ n f (t )] = s F ( s ) − ∑ s
f (0 )
dt
k =0
W szczególności dla n=1 otrzymujemy
d
+
L[ f (t )] = s ⋅ F ( s ) − f (0 )
dt
gdzie:
+
def
f (0 ) = lim f (t )
t →0
granica prawostronna
4. Całkowanie w dziedzinie zespolonej zmiennej s
∞
∫
s
O ile funkcja
f (t )
F ( s ) ds = L [
]
t
f (t )
t
jest transformowalna wg Laplace’a
5. Różniczkowanie w dziedzinie zespolonej
n
d
n
n
F ( s ) = ( − 1) L [ t f ( t )],
n
ds
W szczególności dla n=1 mamy:
dF ( s )
= − L [ tf ( t )]
ds
6. Przesunięcie w dziedzinie rzeczywistej
Przez funkcję f1(t) przesuniętą w dziedzinie rzeczywistej (czasu)
względem funkcji f(t) o odcinek t0 rozumiemy funkcję f1(t)=f(t-t0).
Ponieważ w przekształceniu Laplace’a dokonujemy całkowania w
granicach (0,∞), część funkcji f(t) dla argumentu t<0 musi być w funkcji
przesuniętej równa zeru. To znaczy, że funkcja f1(t) musi być postaci:
0 dla t < t 0

f1 (t ) = 
 f ( t − t 0 ) dla t > t 0
Można to osiągnąć poprzez pomnożenie funkcji f(t-t0) przez przesuniętą
funkcję skoku jednostkowego 1(t-t0).
Jak wiadomo, funkcja 1(t) jest określona jako:
 0 dla t < 0
1( t ) = 
 1 dla t > 0
Zatem
 0 dla t < t 0
1( t − t 0 ) = 
 1 dla t > t 0
Ostatecznie transformata funkcji przesuniętej wyraża się zależnością
L [ f ( t − t 0 ) ⋅ 1( t − t 0 )] = e
− st 0
7. Przesunięcie w dziedzinie zespolonej
F ( s − a ) = L[e
at
f ( t )]
F (s)
8. Zmiana skali
1
s
L [ f ( at )] = F ( )
a
a
9. Splot funkcji (twierdzenie Borela)
L [ f 1 ( t ) * f 2 ( t )] = F1 ( s ) ⋅ F 2 ( s )
Gdzie splot
t
f1 (t ) * f 2 (t ) =
∫
f 1 (τ ) f 2 ( t − τ ) d τ =
0
t
=
∫
f 1 ( t − τ ) f 2 (τ ) d τ
0
jest operacją przemienną, łączną, rozdzielną względem dodawania. Splot
jest równy zeru wtedy i tylko wtedy, gdy co najmniej jedna z funkcji f1(t)
lub f2(t) jest funkcją zerową.
Znaczenie praktyczne ma związana z pojęciem splotu całka Duhamela
d
L[
dt
t
∫
f 1 (τ ) f 2 ( t − τ )d τ ] = sF 1 ( s ) ⋅ F 2 ( s )
0
Z zależności
L [ f 1 ( t ) * f 2 ( t )] = F1 ( s ) ⋅ F 2 ( s )
wynika oczywisty fakt, że iloczyn transformat nie jest transformatą
iloczynu funkcji. Wzór na transformatę iloczynu jest skomplikowany na
tyle, że nie znalazł szerszego zastosowania.
Transformaty funkcji impulsowych
Funkcją impulsową δ(t) – impulsem Diraca – nazywamy „funkcję”
określoną następująco:
 0 dla t ≠ 0
δ (t ) = 
 ∞ dla t = 0
przy czym
∞
δ
(
t
)
=
1
∫
−∞
Jest to więc matematyczny zapis impulsu o nieskończenie krótkim czasie
trwania i jednostkowej energii.
Typowe wymuszenia w badaniu układów automatyki
δ(t)
∞
t
0
Funkcja impulsowa δ(t)– „delta” Diraca
1(t)
1(t-t0)
t
0
t
0
Funkcja skoku jednostkowego 1(t)
t0
Z zależności
∞
δ
(
t
)
=
1
∫
−∞
wynika, że
 0 dla t < 0
∫− ∞δ ( t )dt =  1 dla t > 0
t
a zatem
t
δ
(
t
)
dt
=
1
(
t
)
∫
−∞
Stąd otrzymujemy następujący związek między funkcją skokową a
funkcją impulsową
d
1(t ) = δ (t )
dt
Ponieważ
1
L[1(t )] =
s
więc korzystając z zależności na transformatę pochodnej otrzymamy
d
1
L[δ (t )] = L[ 1(t )] = s ⋅ = 1
dt
s
Transformata funkcji okresowej
Transformata funkcji okresowej f(t) o okresie T dana jest wzorem
FT ( s )
L[ f (t )] =
− sT
1− e
gdzie:
T
FT ( s ) = ∫ f (t )e
0
− sT
dt
Transformaty najczęściej spotykanych funkcji
Oryginał f(t)
Obraz F(s)
1
δ(t)
1(t)
1
t
1
s
tn
n!
sn+1
eαt
1
t eαt
sin(ωt)
cos(ωt)
s
2
s −α
1
(s −α )2
ω
s2 + ω 2
s
s2 + ω 2
Oryginał f(t)
sin(ωt+ϕ)
Obraz F(s)
s sinϕ +ω cosϕ
s2 + ω 2
cos(ωt+ϕ)
s cosϕ −ω sinϕ
s2 + ω 2
eαtsin(ωt+ϕ)
ω
(s −α )2 + ω 2
eαtcos(ωt+ϕ)
s −α
(s −α )2 + ω 2
Wyznaczanie transformaty odwrotnej (oryginału)
Do wyznaczenia oryginału funkcji stosuje się dwie metody:
1. Metoda rozkładu na ułamki proste
2. Metoda residuów
Najczęściej transformata funkcji ma postać:
n −1
L ( s ) an s + an −1s + ... + a1s + a0
F (s) =
= m
m −1
1
M (s)
s + bm −1s + ... + b1s + b0
n
1
Załóżmy dodatkowo, że stopień licznika jest mniejszy od stopnia
mianownika, tzn. n < m (praktycznie występuje zależność n≤m)
Metoda rozkładu na ułamki proste
Mianownik, jako wielomian m-tego stopnia ma m pierwiastków
(zwanych biegunami), w ogólności zespolonych, przy czym niektóre
mogą się powtarzać. Niech różnych pierwiastków mianownika będzie
p≤m, krotność i-tego pierwiastka oznaczamy przez αi. Wówczas funkcję
F(s) można przedstawiać w postaci sumy ułamków prostych, tj. takich,
których mianownik jest pewną potęgą dwumianu (s-si)rj.
Apα p
A1α1
L( s )
A11
A12
=
+
+ ... +
+ ... +
αi
αp
2
M ( s) s − s1 ( s − s1 )
( s − s1 )
(s − s p )
p
αi
F ( s) = ∑∑
i =1 j =1
Aij
αj
( s − si )
Przykład
4s + 8
F (s) = 3
2s + 14s 2 + 30s + 18
Jeżeli powyższą zależność doprowadzimy do postaci pożądanej (dzieląc
licznik i mianownik przez współczynnik przy najwyższej potędze
mianownika – czyli w naszym przykładzie 2) otrzymamy
2s + 4
F (s) = 3
s + 7 s 2 + 15s + 9
W tym przypadku n=1, m=3
a1=2,
a0=4,
b2=7,
b1=15,
b0=9
Pierwiastki mianownika są równe: s1 = -1, s2 = -3, przy czym pierwszy z
nich jest jednokrotny a drugi dwukrotny.
Rozkład więc będzie typu:
A11
A21
A22
F (s) =
+
+
s + 1 s + 3 ( s + 3) 2
Współczynniki Aij można wyznaczyć różnymi metodami. Przedstawiona
będzie jedna z nich. Jeżeli powyższą zależność sprowadzimy do
wspólnego mianownika i przyrównamy liczniki do siebie, otrzymamy:
A11(s+3)2+A21(s+1)(s+3)+A22(s+1)=2s+4
czyli
(A11+A21)s2+(6A11+4A21+A22)s+9A11+3A21+A22=2s+4
stąd:
=0
A11 + A21

6 A11 + 4 A21 + A22 = 2
9 A11 + 3 A21 + A22 = 4 
Rozwiązując ten układ równań dowolną metodą (np. Cramera)
otrzymamy:
1 1 0
W = 6 4 1 = 1+ 3 = 4
9 3 1
0 1 0
1 0 0
1 1 0
WA11 = 2 4 1 = 2;WA21 = 6 2 1 = −2;WA22 = 6 4 2 = 4
4 3 1
9 4 1
9 3 4
Stąd:
WA11
2 1
1
A11 =
= = ; A21 = − ; A22 = 1
W
4 2
2
W rezultacie otrzymujemy rozkład na ułamki proste
1
1
−
1
2
2
F (s) =
+
+
s + 1 s + 3 ( s + 3) 2
Ponieważ
k −1


1
t
si t
−1
L 
=
⋅e
k 
 ( s − si )  (k − 1)!
więc po dokonaniu na ułamki proste otrzymujemy natychmiast
transformatę odwrotną w postaci
p
αi
f (t ) = L [F ( s )] = ∑∑
−1
i =1 j =1
Aij
( j − 1)!
t
j −1
⋅e
si t
Metoda Residuów
Przez residuum funkcji F(s) w biegunie s=si rozumiemy współczynnik Ai1
rozwinięcia funkcji F(s) w szereg Laurenta w otoczeniu punktu s=si, tzn.
rozwinięcia
Ain
F (s) = ∑
n
(
s
−
s
)
n
i
gdzie n przyjmuje wartości od - ∞ do + ∞.
Część sumy dla n>0 nazywamy częścią główną rozwinięcia. Współczynnik
Ai1 jest tożsamy ze współczynnikiem występującym w metodzie rozkładu
na ułamki proste i w zależnościach następnych.
Metoda residuów jest ogólniejsza od metody rozkładu na ułamki proste,
gdyż ma zastosowanie także do transformat nie będących funkcjami
wymiernymi. Fundamentalnym wzorem tej metody jest
L [ F ( s )] = ∑ res[ F ( s )e ]
−1
st
i
s = si
gdzie si – bieguny funkcji F(s)
Jeśli F(s) jest funkcją wymierną, to
[
res F ( s )e
s = si
st
]
α i −1

1
d
α i st 
=
lim  α i −1 F ( s )( s − si ) e 
(α i − 1)! s→si  ds

W przypadku, gdy biegun jest jednokrotny otrzymamy:
res[ F ( s )e ] = res[ F ( s ) ( s − si ) e ]
si t
st
s = si
Przykład:
Znaleźć
s = si
a
L [
]
( s + b)( s + c)
−1
metodą residuów.
Rozpatrywana transformata ma dwa bieguny pojedyncze: s1=-b, s2=-c
Residua w tych biegunach obliczamy ze wzoru powyżej otrzymując:
a st
a −bt
res[ F ( s )e ] = lim
e =
e
s →−b s + c
s = s1
c −b
a −ct
st
res[ F ( s )e ] =
e
s = s2
b−c
st
Na naszych zajęciach nie będziemy wykorzystywać metody residuów i
ograniczymy się do metody rozkładu na ułamki proste.
Na dzisiaj
DZIĘKUJĘ ZA UWAGĘ!