Układy równa´n liniowych - Polsko
Transkrypt
Układy równa´n liniowych - Polsko
Algebra Układy równań liniowych Aleksandr Denisiuk [email protected] Polsko-Japońska Wyższa Szkoła Technik Komputerowych zamiejscowy ośrodek dydaktyczny w Gdańsku ul. Brzegi 55 80-045 Gdańsk Algebra – p. 1 Układy równań liniowych Najnowsza wersja tego dokumentu dostepna ˛ jest pod adresem http://users.pjwstk.edu.pl/~denisjuk/ Algebra – p. 2 Przykład układu równań liniowych Przykład 1. ( ax + by = c, dx + ey = f. Algebra – p. 3 Ogólny układ równań liniowych Definicja 2. Układem równań liniowych nazywa sie˛ układ: a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn = b1 , a x + a x + · · · + a x = b , 21 1 22 2 2n n 2 ................................... am1 x1 + am2 x2 + · · · + amn xn = bm . (1) • aij — współczynniki układu 1, • bj — wyrazy wolne, • rozwiazaniem ˛ układu nazywamy uporzadkowan ˛ a˛ n-tk˛e liczb (x01 , x02 , . . . , x0n ), które po podstawieniu w miejsce xi , do równań układu 1 daja˛ równości prawdziwe. Algebra – p. 4 Układ jednorodny Definicja 3. Układ równań liniowych nazywamy jednorodnym, gdy wszystkie wyrazy wolne tego układu sa˛ równe zeru a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn = 0, a x + a x + · · · + a x = 0, 21 1 22 2 2n n .................................. am1 x1 + am2 x2 + · · · + amn xn = 0. (2) • dla dowolnych wyrazów wolnych układ 2 nazywa sie powiazanym ˛ z układem 1 Algebra – p. 5 Macierze układu Definicja 4. Tabela wpółczynników a11 a12 . . . a1n a 21 a22 . . . a2n A= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . am1 am2 . . . amn nazywa sie˛ macierza˛ układu 1. Definicja 5. Tabela wpółczynników i wyrazów wolnych a11 a12 . . . a1n b1 a 21 a22 . . . a2n b2 Ã = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . am1 am2 . . . amn bm nazywa sie˛ macierza˛ rozrzerzona˛ układu. Algebra – p. 6 Wektory wyrazów wolnych, niewiadomych i rozwiaza ˛ ń b1 b2 Definicja 6. Columna b = .. nazywa sie˛ wektorem wyrazów wolnych . bm układu 1. x1 x2 nazywa sie˛ wektorem niewiadomych. Definicja 7. Columna x = . . . xn x01 0 x2 0 Definicja 8. Columna x = ˛ ń. .. nazywa sie˛ wektorem rozwiaza . x0n Algebra – p. 7 Uwaga o zapisie wektorów • Dla oszcz˛edności miejsca wektory zapisywane sa˛ również Uwaga 9. jako wiersze: ◦ b = b1 b2 . . . bm ◦ x = x1 x2 . . . xm ◦ x0 = x0 x0 . . . x0 m 1 2 • Żeby podkreślić, że to sa˛ wektory-kolumny, czasami używa sie˛ nawisów kwadratowych lub klamrowych oraz przecinków: o i n h ◦ b = b1 b2 . . . bm = b1 , b2 , . . . , bm o i n h ◦ x = x1 x2 . . . xm = x1 , x2 , . . . , xm o i n h ◦ x0 = x0 x0 . . . x0 = x0 x0 . . . x0 m m 1 2 1 2 Algebra – p. 8 Klasyfikacja układów — ilość rozwiaza ˛ ń Definicja 10. Układ 1 nazywa sie˛ • sprzecznym, jeżeli on nie ma rozwiaza ˛ ń, • określonym, jeżeli on ma dokładnie jedno rozwiazanie, ˛ • nieokreślonym, jeżeli on ma wiecej ˛ niż jedno rozwiazanie. ˛ Przykład 11. ( x1 − 2x2 = 1, • x1 − 2x2 = −1. ( x1 + x2 = 1, • x1 − x2 = 0. ( x1 + x2 = 1, • 2x1 + 2x2 = 2. Algebra – p. 9 Klasyfikacja układów — kształt macierzy Definicja 12. Układ 1 (oraz macierz układu) nazywa sie˛ • kwadratowym, jeżeli m = n (ilość równań zgadza sie˛ z ilościa˛ niewiadomych), • diagonalnym (przekatnym), ˛ jeżeli w macierzy poza główna˛ przekatn ˛ a˛ sa˛ same zera, aij = 0 dla j 6= j , • schodkowym (trójkatnym), ˛ jeżeli w macierzy pierwsze niezerowe elementy kolejnych niezerowych wierszy, znajduja˛ sie˛ w coraz dalszych kolumnach. Przykład 13. Na tablicy Algebra – p. 10 Układy równoważne Definicja 14. Dwa układy sa˛ równoważne, jeżeli zgadzaja˛ sie˛ zbiory ich rozwiaza ˛ ń. • każde da sprzeczne układy sa˛ równoważne • dla niesprzecznych układów U1 i U2 koniecznie i wystarczy żeby każde rozwiazanie ˛ U1 było rozwiazaniem ˛ U2 i każde rozwiazanie ˛ U2 było rozwiazaniem ˛ U1 Przykład 15. Na tablicy Algebra – p. 11 Przekształcenia elementarne Definicja 16. Układ U2 jest otrzymany z układu U1 za pomoca˛ przekształcenia elementarnego, jeśli 1. wszystkie równania układu U2 oprócz równania i sa˛ niezmienne, a równanie i zostało pomnożono przez niezerowa˛ liczbe˛ α, 2. wszystkie równania układu U2 oprócz równań i i j sa˛ niezmienne, a równania i i j zostały zamienione miejscami, 3. wszystkie równania układu U2 oprócz równania j sa˛ niezmienne, a do równania j zostało dodane równanie i, mnożone przez czynnik α. Algebra – p. 12 Przekształcenie elementarne 1 na macierzy a11 a12 . . . a1n b1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ai1 ai2 . . . ain bi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . am1 am2 . . . amn bm a11 a12 . . . a1n b1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . αai1 αai2 . . . αain αbi , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . am1 am2 . . . amn bm α 6= 0. Algebra – p. 13 Przekształcenie elementarne 2 na macierzy a11 a12 . . . a1n b1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ai1 ai2 . . . ain bi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . aj1 aj2 . . . ajn bj . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . am1 am2 . . . amn bm a11 a12 . . . a1n b1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . aj1 aj2 . . . ajn bj . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ai1 ai2 . . . ain bi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . am1 am2 . . . amn bm Algebra – p. 14 Przekształcenie elementarne 3 na macierzy a11 a12 . . . a1n b1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ai1 a . . . a b i2 in i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . aj2 ... ajn bj aj1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . am1 am2 . . . amn bm a11 a12 ... a1n b1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a a . . . a b i1 i2 in i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... . aj1 + αai1 aj2 + αai2 . . . ajn + αain bj + αbi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... am1 am2 ... amn bm Algebra – p. 15 Twierdzenia Twierdzenie 17. Przekształcenia elementarne sa˛ odwracale Twierdzenie 18. Jeżeli układ U2 został otrzymany z układu U1 za pomoca˛ przekształceń elementarnych, to te dwa układy sa˛ równoważne Twierdzenie 19. Każdy układ może zostać sprowadzony do postaci schodkowej za pomoca˛ przekształceń elementarnych Twierdzenie 20 (Metoda eliminacji Gaussa). Każda macierz może zostać sprowadzona do postaci schodkowej za pomoca˛ przekształceń elementarnych Twierdzenie 21. Każdy układ (każda macierz) może zostać sprowadzona do postaci schodkowej tylko za pomoca˛ przekształceń elementarnych 2 i 3. Algebra – p. 16 Układ w postaci schodkowej ā11 x1 + · · · · · · · · · · · · + ā1n xn = b̄1 , ā2k xk + · · · · · · · · · + ā2n xn = b̄2 , ā3l xl + · · · · · · + ā3n xn = b̄3 , ························· ārs xs + · · · + ārn xn = b̄r , 0 = b̄r+1 , ········· 0 = b̄m , (3) Definicja 22. Zmienne x1 , xk , xl , . . . , xs , gdzie ā11 ā2k ā3l . . . ārs 6= 0, nazywane se˛ zmiennymi głównymi, pozostałe zmienne sa˛ wolne (swobodne). Algebra – p. 17 Analiza układu schodkowego Twierdzenie 23. Układ 1 jest niesprzecznym wtedy i tylko wtedy, dgy równoważny jemu układ schodkowy 3 nie zawiera równań postaci 0 = b̄t , gdzie b̄t 6= 0. Jeżeli warunek ten jest spełniony, to zmiennym wolnym można nadać dowolne wartości. Zmienne główne zostana˛ przez nie jednoznacznie określone z układu 3. Twierdzenie 24. Niesprzeczny układ 1 jest określony wtedy i tylko wtedy, dgy w równoważnym jemu układzie schodkowym 3 spełniono jest r = n. Twierdzenie 25. Niesprzeczny i nieokreślony układ ma nieskończenie wiele rozwiaza ˛ ń. Wniosek 26. Układ 1, w którym m = n jest określony wtedy i tylko wtedy, dgy w równoważnym jemu układzie schodkowym 3 a11 a22 . . . ann 6= 0. Wniosek 27. Układ 1, w którym m = n jest określony wtedy i tylko wtedy, dgy powiazany ˛ z nim układ jednorodny ma tylko zerowe rozwiazanie. ˛ Wniosek 28. Niesprzeczny układ 1, w którym n > m jest nieokreślonym. Algebra – p. 18 Przykład 5x1 + 3x2 + 5x3 + 12x4 = 10, 2x1 + 2x2 + 3x3 + 5x4 = 4, x1 + 7x2 + 9x3 + 4x4 = 2; Algebra – p. 19 Wyznacznik macierzy 2 × 2 Definicja 29. a b a b det = = ad − cb c d c d a 11 a12 Definicja 30. Wyznacznik nazywa sie˛ wyznacznikiem układu a21 a22 ! ( a11 x1 + a12 x2 = b1 , a21 x1 + a22 x2 = b2 , Algebra – p. 20 Wzory Cramera — układ 2 × 2 Twierdzenie 31. Rozwiazanie ˛ układu ( a11 x1 + a12 x2 = b1 , a21 x1 + a22 x2 = b2 , dane jest wazorem b 1 b2 x1 = a11 a21 a12 a22 , a12 a22 a 11 a21 x2 = a11 a21 b1 b2 . a12 a22 Algebra – p. 21 Wzory Cramera — układ jednorodny Twierdzenie 32. Rozwiazanie ˛ układu ( a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 = 0, a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 = 0, dane jest wzrem a a 12 13 x1 = , a22 a23 a a 11 13 x2 = − , a21 a23 a a 11 12 x3 = . a21 a22 Algebra – p. 22 Wyznacznik macierzy 3 × 3 Definicja 33. a11 a12 a13 a a a 11 12 13 det a21 a22 a23 = a21 a22 a23 = a31 a32 a33 a31 a32 a33 = a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a21 a32 a13 − − a31 a22 a13 − a21 a12 a33 − a32 a23 a11 Algebra – p. 23 Wzory Cramera — układ 3 × 3 Twierdzenie 34. Rozwiazanie ˛ układu dane jest wzorem b 1 b2 b3 x1 = a 11 a21 a31 a12 a22 a32 a12 a22 a32 a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 = b1 , a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 = b2 , a x + a x + a x = b . 31 1 32 2 33 3 3 a13 a23 a33 , a13 a23 a33 a 11 a21 a31 x2 = a 11 a21 a31 b1 b2 b3 a12 a22 a32 a13 a23 a33 , a13 a23 a33 a 11 a21 a31 x3 = a 11 a21 a31 a12 a22 a32 a12 a22 a32 b1 b2 b3 a13 a23 a33 Algebra – p. 24