Macierze - obliczanie wyznacznika macierzy z użyciem permutacji

Transkrypt

Macierze - obliczanie wyznacznika macierzy
z użyciem permutacji
I LO im. F. Ceynowy w Świeciu
Radosław Rudnicki
[email protected]
17.03.2009 r.
– Typeset by FoilTEX –
Macierze - obliczanie wyznacznika...
17.03.2009 r.
Streszczenie
Celem wykładu jest wprowadzenie pojęcia macierzy oraz podstawowych
operacji na macierzach i zapoznanie słuchaczy z własnościami tychże operacji. Macierze są obiektami matematycznymi o bardzo szerokich zastosowaniach w matematyce, zarówno szkolnej, jak i wyższej. Stosuje się je
między innymi do rozwiązywania układów równań liniowych postaci
ax + by
cx + dy
= c1
= c2 .
Jednak w wykładzie tym, interesującymi dla nas będą fakty dotyczące
macierzy i operacji na nich, a nie zastosowania.
1
17.03.2009 r.
Definicja macierzy
Definicja 1. Niech m, n ∈ N. Macierzą o wymiarach m × n o współczynnikach rzeczywistych nazywamy każdą funkcję
A : {1, . . . , m} × {1, . . . , n} → R.
Macierz jest zatem funkcją, która przyporządkowuje parze (i, j) liczb naturalnych, gdzie i ∈ {1, . . . , m}, j ∈ {1, . . . , n} liczbę rzeczywistą A(i, j), często
oznaczaną symbolem aij .
2
17.03.2009 r.
Jak rozumieć definicję macierzy?
Macierz o wymiarach m × n możemy traktować jako tablicę o m wierszach i
n kolumnach. We wierszu o numerze i a w kolumnie o numerze j takiej tablicy
umieszczamy wartość funkcji A w punkcie o współrzędnych (i, j), czyli A(i, j),
uzyskując np. dla m = 2, n = 3:
A=
A(1, 1) A(1, 2) A(1, 3)
A(2, 1) A(2, 2) A(2, 3)
,
czyli
A=
a11 a12 a13
a21 a22 a23
.
3
17.03.2009 r.
Przykładowe macierze

3
 −1
7
A=
 4
1

2 −1
√
0 8 2 

2
1 
0
7
4×3
Poniżej macierz kwadratowa, czyli macierz
(m = n = 3)

1 2
B =  − 12 0
4 2
.
a11
a12
a23
a32
a43
=
=
=
=
=
A(1, 1)
A(1, 2)
A(2, 3)
A(3, 2)
A(4, 3)
=
=
=
=
=
3,
2,√
8 2,
2,
7.
o jednakowej liczbie kolumn i wierszy

−1
3 
1
3×3 .
4
17.03.2009 r.
Dodawanie macierzy
Definicja 2. Niech A, B będą macierzami o wymiarach m × n, (m, n ∈ N)
i współczynnikach rzeczywistych. Sumą macierzy A i B nazywamy macierz
C = A + B (o wymiarach m × n) taką, że cij = aij + bij , dla dowolnej pary
liczb i ∈ {1, . . . , m}, j ∈ {1, . . . , n}.
A=
1 2 −1
4 0 3
B=
2×3
C =A+B =
.
9 4 0
6 0 4
8 2 1
2 0 1
2×3
2×3
5
17.03.2009 r.
Mnożenie macierzy przez liczbę
Oznaczmy przez Mm×n(R) zbiór wszystkich macierzy o współczynnikach
rzeczywistych.
Niech A ∈ Mm×n(R), t ∈ R. Wynikiem mnożenia macierzy A przez liczbę t jest
macierz B = tA taka, że dla dowolnej pary liczb i ∈ {1, . . . , m}, j ∈ {1, . . . , n}
mamy równość bij = taij . Na przykład dla
mamy
1
2 3 0
t= ,
A=
,
6 10 4 2×3
2
3
1 2 3 0
1 2 0
B = tA =
.
=
6
10
4
3
5
2
2
2×3
2×3
6
17.03.2009 r.
Mnożenie macierzy przez macierz
Niech A ∈ Mm×n(R), B ∈ Mn×k (R), m, n, k ∈ N.
Definicja 3. Iloczynem macierzy A i B nazywamy macierz C = AB ∈
Mm×k (R) taką, że dla dowolnej pary liczb i ∈ {1, . . . , m}, j ∈ {1, . . . , n}
zachodzi równość
cij =
n
X
air brj ,
r=1
gdzie
n
X
zr = z1 + z2 + z3 + . . . + zn−1 + zn.
r=1
7
17.03.2009 r.
Przykład. [Mnożenie macierzy przez macierz]
A=
AB =
2 3 0
6 1 4


2×3
2 6 3
B= 1 5 2 
−1 0 4 3×3
2 ∗ 2 + 3 ∗ 1 + 0 ∗ (−1) 2 ∗ 6 + 3 ∗ 5 + 0 ∗ 0 2 ∗ 3 + 3 ∗ 2 + 0 ∗ 4
6 ∗ 2 + 1 ∗ 1 + 4 ∗ (−1) 6 ∗ 6 + 1 ∗ 5 + 4 ∗ 0 6 ∗ 3 + 1 ∗ 2 + 4 ∗ 4
C = AB =
7 27 12
9 41 36
2×3
8
2×3
17.03.2009 r.
Istotne uwagi
• Dodawać do siebie można tylko macierze o jednakowych wymiarach, ale
niekoniecznie kwadratowe
• Macierze A i B możemy pomnożyć tylko wtedy, gdy liczba kolumn macierzy
A odpowiada liczbie wierszy macierzy B,
• Mnożenie macierzy na ogół nie jest przemienne (AB 6= BA), a często nawet
niewykonalne jest mnożenie BA, pomimo, że możemy wykonać mnożenie AB,
9
17.03.2009 r.
Ćwiczenia
Ćwiczenie 1. Mając dane macierze A i B znajdź ich sumę C. Pomnóż każdą
spośród macierzy A, B i C przez liczby −2 i 3.
A=
Ćwiczenie 2.
5 7 −8
0 6 8
B=
2×3
18 1 5
12 1 14
2×3 .
Wykonaj mnożenie macierzy
A=
2 3 −1
1 4
3

2×3

0 2
B= 2 1 
7 4 3×2 .
10
17.03.2009 r.
Permutacje
Zmierzamy do określenia wyznacznika macierzy kwadratowej.
Definicja 4. Bijekcją nazywamy każdą funkcję f : X → Y taką, że
i) jeżeli x1 6= x2, to f (x1) 6= f (x2), (f – różnowartościowa)
ii) dla dowolnego y ∈ Y istnieje element x ∈ X taki, że f (x) = y. (f – „na”)
Definicja 5. Niech n ∈ N. Permutacją zbioru {1, 2, . . . , n}, nazywamy
każdą bijekcję f : {1, 2, . . . , n} → {1, 2, . . . , n}.
Permutacje oznaczamy często literkami greckimi σ, τ, . . . (zamiast f, g, . . .),
a zapisujemy w następującej postaci
11
17.03.2009 r.
1
2
...
n
f (1) f (2) . . . f (n)
.
12
17.03.2009 r.
Przykłady permutacji, składanie permutacji
Permutacje składamy w następujący sposób. Składając
f=
1 2 3 4
4 2 1 3
z
g=
1 2 3 4
2 3 4 1
,
uzyskujemy
g◦f =
1 2 3 4
2 3 4 1
1 2 3 4
4 2 1 3
g ◦ f (1) = g(f (1)) = g(4) = 1,
g ◦ f (3) = g(f (3)) = g(1) = 2,
=
1 2 3 4
1 3 2 4
;
g ◦ f (2) = g(f (2)) = g(2) = 3,
g ◦ f (4) = g(f (4)) = g(3) = 4.
Zbiór wszystkich permutacji zbioru {1, 2, . . . , n} oznaczamy symbolem Sn.
13
17.03.2009 r.
Cykle, transpozycje
Definicja 6. Mówimy, że permutacja f ∈ Sn zachowuje liczbę i ∈
{1, 2, . . . , n}, o ile f (i) = i.
Definicja 7. Niech i1, i2, . . . , ik – różne liczby ze zbioru {1, 2, . . . , n}, k ≤
n. Jeżeli permutacja f ∈ Sn zachowuje pozostałe n − k liczb ze zbioru
{1, 2, . . . , n} oraz
f (i1) = i2,
f (i2) = i3,
...,
f (ik−1) = ik ,
f (ik ) = i1,
to mówimy, że f jest cyklem długości k i oznaczamy (i1 i2 . . . ik ). Cykl długości
1 zachowuje każdy element zbioru, a cykl (i j) długości 2 nazywamy transpozycją.
1234
1234
1234
= (1 2 3 4),
= (1 4 3),
= (2 3).
2341
4213
1324
14
17.03.2009 r.
Rozkład permutacji na cykle i transpozycje
Definicja 8. Niech k, l ≤ n Mówimy, że cykle f = (i1 i2 . . . ik ), g =
(j1 j2 . . . jl) są rozłączne, o ile zbiory {i1, i2, . . . , ik }, {j1, j2, . . . , jl} są
rozłączne. Zauważmy, że jeżeli cykle f, g są rozłączne, to g ◦ f = f ◦ g.
Twierdzenie 9. Każda permutacja f ∈ Sn jest złożeniem pewnej liczby cykli
rozłącznych. Przedstawienie permutacji f w postaci złożenia cykli rozłącznych
jest jednoznaczne z dokładnością do porządku czynników (kolejności składania).
1 2 3 4 5 6 7 8 9
Przykład:
= (1 8 9 5)(2 3 6 4 7).
8 3 6 7 1 4 2 9 5
Wniosek 10.
cji.
Każda permutacja z Sn jest złożeniem pewnej liczby transpozy-
15
17.03.2009 r.
Dowód. Zauważmy, że (i1 i2 . . . ik ) = (i1 ik ) · · · (i1 i3)(i1 i2). Teza wniosku
wynika z Twierdzenia 6.
2
Ćwiczenie 3.
• Sprawdzić, że (1 2 3 4) = (1 4)(1 3)(1 2).
16
17.03.2009 r.
Rozkład permutacji na cykle i transpozycje
Uwaga 11. Rozkład permutacji na iloczyn (złożenie) transpozycji nie jest
jednoznaczny. Na przykład, w S4 zachodzą równości
(1 2 3) = (1 3)(1 2) = (2 3)(1 3) =
= (1 3)(4 2)(1 2)(1 4) =
= (1 3)(4 2)(1 2)(1 4)(2 3)(2 3).
Uwaga 12. Przypomnijmy, że rozkład permutacji na cykle rozłączne jest
jednoznaczny z dokładnością do kolejności ich składania.
17
17.03.2009 r.
Parzystość, nieparzystość i znak permutacji
Twierdzenie 13. Jeżeli f = g1g2 . . . gr , r ∈ N jest jednym z rozkładów
permutacji f ∈ Sn na iloczyn transpozycji, to liczba
sgn(f ) = (−1)r ,
nazywana znakiem permutacji f , zależy jedynie od f , a nie zależy od rozkładu.
Zatem parzystość liczby r jest taka sama w każdym rozkładzie permutacji f na
iloczyn transpozycji. Jeżeli również g ∈ Sn, to sgn(g ◦ f ) = sgn(g) sgn(f ).
Definicja 14. Permutację f ∈ Sn nazywamy parzystą, jeśli sgn(f ) = 1.
Jeśli sgn(f ) = −1, to mówimy, że f jest permutacją nieparzystą.
Uwaga 15. Liczba elementów zbioru Sn, tj. permutacji zbioru {1, 2, . . . , n},
wynosi n! = 1 · 2 · . . . · n.
18
17.03.2009 r.
Wyznacznik macierzy
Definicja 16. Niech n ∈ N, A ∈ Mn×n(R). Wyznacznikiem macierzy A
nazywamy liczbę
det(A) =
X
sgn(f ) · af (1)1 · af (2)2 · . . . · af (n)n.
f ∈Sn
Przykład 17. Niech n = 1, A = a11, wówczas S1 = {id{1}} = {
det(A) = sgn(id{1})a11 = a11.
a11 a12
Przykład 18. Niech n = 2, A = a21 a22
, wówczas
2×2
1 2
12
{ 1 2 , 2 1 } = {(1 2)(2 1), (1 2)} =: {f, g} oraz
1
1
} oraz
S2 =
det(A) = sgn(f ) · af (1)1 · af (2)2 + sgn(g) · ag(1)1 · ag(2)2 = a11 · a22 − a21 · a12.
19
17.03.2009 r.


a11 a12 a13
Przykład 19. Niech n = 3, A =  a21 a22 a23  ∈ M3×3(R), wtedy
a31 a32 a33
S3 =
=
123
123
123
123
123
123
,
,
,
,
,
123
132
213
231
312
321
{(1 2)(2 1), (2 3), (1 2), (2 3)(1 2), (2 3)(1 2), (1 3)}
=: {f1, f2, f3, f4, f5, f6}
oraz
det(A) = sgn(f1) · af1(1)1 · af1(2)2 · af1(3)3 + sgn(f2) · af2(1)1 · af2(2)2 · af2(3)3
+ sgn(f3) · af3(1)1 · af3(2)2 · af3(3)3 + sgn(f4) · af4(1)1 · af4(2)2 · af4(3)3
+ sgn(f5) · af5(1)1 · af5(2)2 · af5(3)3 + sgn(f6) · af6(1)1 · af6(2)2 · af6(3)3
20
17.03.2009 r.
det(A) = a11 · a22 · a33 − a11 · a32 · a23 − a21 · a12 · a33
+ a21 · a32 · a13 + a31 · a12 · a23 − a31 · a22 · a13.
21
17.03.2009 r.
Istotne uwagi
• Wyznacznik macierzy definiuje się tylko dla macierzy kwadratowych (o jednakowej liczbie wierszy i kolumn).
• Składanie permutacji na ogół nie jest przemienne, ale składanie rozłącznych
cykli jest przemienne.
• Każdą permutację można w sposób jednoznaczny (z dokładnością do kolejności
składania) przedstawić w postaci złożenia pewnej ilości rozłącznych cykli.
• Każdą permutację można przedstawić w postaci złożenia pewnej ilości transpozycji. Przedstawienie to nie jest jednoznaczne, ale parzystość liczby czynników rozkładu jest taka sama dla każdego z przedstawień.
• Identyczność jest permutacją parzystą, a każda transpozycja jest permutacją
nieparzystą.
22
17.03.2009 r.
Ćwiczenia
• Podaj przykład permutacji f, g ∈ Sn takich, że g ◦ f 6= f ◦ g.
• Przedstaw poniższe permutacje w postaci złożenia rozłącznych cykli
f=
1 2 3 4 5 6 7 8
3 2 4 5 1 6 8 7
,
g=
1 2 3 4 5
4 3 2 5 1
.
• Przedstaw powyższe permutacje w postaci złożenia transpozycji.
• Wypisz wszystkie permutacje zbioru {1, 2, 3, 4}.
• Ile elementów ma zbiór S7?
23
17.03.2009 r.
Ćwiczenia
• Zastanów się kiedy (dla jakich wymiarów) dwie macierze możemy zarówno
dodać do siebie, jak i pomnożyć przez siebie.
• Oblicz wyznacznik macierzy

1
2 3
 2
1 4
A=
 1 −2 2
0 −1 2

1
3 

1 
0 4×4 .
24
17.03.2009 r.
Zadania
Napisać programy (np. w języku Pascal) realizujące algorytmy:
• dodawania macierzy o podanych przez użytkownika wymiarach,
• mnożenia macierzy przez liczbę,
• mnożenia macierzy o podanych przez użytkownika wymiarach,
• obliczania wyznacznika macierzy dowolnego wymiaru.
25
17.03.2009 r.
Bibliografia
• G. Banaszak, W. Gajda, Elementy algebry liniowej cz. I, Wydawnictwa
Naukowo-Techniczne, Warszawa 2002
26

Macierze - obliczanie wyznacznika macierzy z użyciem permutacji

Transkrypt

Podobne dokumenty

ćwiczenia i zadania

Lista zadań 3 – Macierze, Wyznaczniki, Układy Równań

Sylabus przedmiotu „Algebra liniowa w geodezji” I semestr studiów

Instrukcja do ćwiczenia

Algebra Liniowa z Geometrią Zestaw 6 Macierze odwracalne 1

1. Oblicz kilka początkowych potęg podanych macierzy, a następnie

Oferta towarowa

Algebra semestr letni 2014/2015 ramowy plan wykładów 1 - E-SGH