ALGEBRA M2 Lista 2 Zadania standardowe: 1,2,3,4,6,7,9 Zad.1

ALGEBRA M2
Lista 2
Zadania standardowe: 1,2,3,4,6,7,9
Zad.1. Znaleźć wzory analityczne na przekształcenie ϕ ∈ L(R1 [x]), którego macierz w
bazie B = {1 + x, −x} ma postać
1 0
1 2
,
0 2
0 1
Zad.2. Niech w ∈ R3 będzie niezerowym wektorem. Uzasadnić, że odwzorowanie
ϕ : R3 → R3 określone wzorem ϕ(v) = w × v jest przekształceniem liniowym. Znaleźć
obraz i jądro tego przekształcenia. Wyznaczyć jego macierz w bazie standardowej jeśli
w = (1, 1, 1).
Zad.3. Przekształcenie ϕ ma w bazie A = {v1 , v2 , v3 } macierz


1 2 3
 4 5 6 
1 1 0
Znaleźć macierz tego przekształcenia w bazie B = {2v1 , v2 + v3 , −v1 + 2v2 − v3 }.
Zad.4. Przekształcenie ϕ ma w bazie kanonicznej przestrzeni R3 [x] macierz


1 −1
1
1
 −1
1 −1
1 


 1 −1
1 −1 
1
1 −1
1
Znaleźć macierz tego przekształcenia w bazie B = {1, 1 − x, 1 − x + x2 , 1 − x + x2 − x3 }.
Zad.5. Znaleźć macierz przekształcenia przestrzeni R2 w siebie, polegające na obrocie
wszystkich wektorów zaczepionych w punkcie (0, 0) o kąt α (uzasadnić, że jest to przekształcenie liniowe).
Zad.6. Pokazać, że odwzorowanie ϕ : M2 (R) → M2 (R) polegające na pomnożeniu
każdej macierzy przez macierz
1
2
3 −1
jest przekształceniem liniowym. Znaleźć macierz tego przekształcenia w bazie kanonicznej.
Zad.7. Pokazać, że jeżeli A = {v1 , . . . , vn } oraz B = {w1 , . . . , wn } są bazami w
przestrzeni liniowej V i P jest macierzą przejścia z bazy A do bazy B, to macierz
P −1 jest macierzą przejścia z bazy B do bazy A.
Zad.8. Pokazać, że jeżeli A = {v1 , . . . , vn }, B = {w1 , . . . , wn } oraz C = {u1 , . . . , un }
są bazami w przestrzeni liniowej V i P jest macierzą przejścia z bazy A do bazy B, a
macierz Q jest macierzą przejścia z bazy B do bazy C, to macierz P Q jest macierzą
przejścia z bazy A do bazy C.
1
Zad.9. Niech będzie dane przekształcenie liniowe: D : Rn [x] → Rn [x] zadane wzorem
Df = f 0 gdzie n ∈ N. Znaleźć macierze przekształceń D, D2 , . . . , Dn+1 w bazie kanonicznej A = {1, x, x2 , . . . , xn }, gdzie Dk jest k-krotnym złożeniem D z samym sobą.
Stosując macierz przejścia z bazy do bazy, wyznaczyc macierze tych przekształceń w
bazie B = {1, 1 + x, 1 + x + x2 , . . . , 1 + x + x2 . . . + xn }.
Zad.10. Niech będzie dane przekształcenie
liniowe: ϕ : Rn [x] → Rn+1 [x] zadane
Rx
wzorem ϕ(f ) = g, gdzie g(x) = 0 f (t)dt, dla n ∈ N. Znaleźć macierz przekształcenia ϕ w bazach kanonicznych obu przestrzeni. Stosując macierze przejścia, wyznaczyć macierz przekształcenia ϕ w bazach: C = {1, 1 + x, . . . , 1 + x + . . . + xn } oraz
D = {1, 1 + x, . . . , 1 + x + . . . + xn+1 }.
Zad.11. Pokazać, że zbiór L(V ) przekształceń liniowych przestrzeni liniowej V nad
ciałem K w siebie, wraz z operacjami dodawania, składania i mnożenia przez liczby z
ciała K jest algebrą z jednością.
Zad.12. Dobrać bazy w R3 oraz w R2 tak, aby przekształcenie liniowe ϕ(x, y, z) =
(x + y, −y + z) miało w tych bazach macierz
1 0 0
0 2 0
Zad.13. Wykazać, że jeżeli ϕ ∈ L(V ), gdzie dimV = n, to rząd przekształcenia ϕ jest
równy rzędowi jego macierzy w dowolnej bazie.
Zad.14. Wykazać, że jeżeli ϕ−1 jest przekształceniem odwrotnym do ϕ ∈ L(V ) i MB (ϕ)
jest macierzą przekształcenia ϕ w bazie B, to (MB (ϕ))−1 jest macierzą przekształcenia
ϕ−1 w bazie B.
Zad.15. Niech ϕ ∈ L(R2 [x]) będzie przekształceniem o macierzy


1 0 0
 0 1 0 
α 0 1
gdzie α ∈ R. Znaleźć przekształcenie odwrotne do ϕ (podać wzór analityczny).
2