1. Działania na zbiorach, iloczyn kartezjański, relacje

1. Działania na zbiorach, iloczyn kartezjański, relacje równoważności
Zadanie 1.1. Podać elementy zbioru X oraz wyznaczyć P(X), jeśli
(1) X = {a, b, c},
(2) X = ∅,
(3) X = {∅},
(4) X = {a, {a}, {{a}}}.
Zadanie 1.2. Udowodnić, że następujące warunki są równoważne
(i) A ⊂ B,
(ii) A ∪ B = B,
(iii) A ∩ B = A,
(iv) A \ B = ∅,
(v) A ∪ (B \ A) = B.
Zadanie 1.3. Niech A, B, C będą zbiorami. Wykazać, że zachodzą równości
(1) A ÷ B = B ÷ A,
(2) A ÷ B = (A ∪ B) \ (A ∩ B),
(3) A ÷ (B ÷ C) = (A ÷ B) ÷ C.
S
T
Zadanie 1.4. Dla X 6= ∅ znaleźć P(X) i (P(X) \ {∅}).
Zadanie 1.5. Czy jeśli A × B = B × A, to A = B?
Zadanie 1.6. Wyznaczyć zbiory A ∪ B, A ∩ B, A \ B, B \ A i A ÷ B, jeśli
(1) A = {x ∈ R : x2 − 3x < 0}, B = {x ∈ R : x2 − 4x + 3 > 0};
(2) A = {x ∈ R : |x − 1| < 2}, B = {x ∈ R : |x − 1| + |x − 2| < 3}.
Zadanie 1.7. Przyjmując, że punkty na płaszczyźnie są uporządkowanymi parami (a, b) liczb rzeczywistych, gdzie a jest odciętą, zaś b jest rzędną punktu, narysować zbiory A × B i B × A, jeśli
(1) A = {x ∈ R : 1 < x < 3}, B = {x ∈ R : 0 < x < 1},
(2) A = {x ∈ R : 1 < x}, B = {x ∈ R : 0 ≤ x ≤ 1},
(3) A = {x ∈ R : x < −1 ∨ x > 1}, B = {x ∈ R : −2 < x < −1 ∨ 0 < x < 1}.
Zadanie 1.8. Niech A = {(x, y) ∈ R2 : |x| + |y| < a}, B = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 < a2 }, C = {(x, y) ∈
R2 : max{|x|, |y|} < a} dla pewnego a > 0. Wykazać, że A ⊂ B ⊂ C.
Zadanie 1.9. Niech relacja R ⊂ Z × Z będzie określona formułą
aRb ⇐⇒ 7 | a − b.
Wykazać, że R jest relacją równoważności i opisać jej klasy równoważności.
Zadanie 1.10. Niech X 6= ∅ i niech D będzie ustalonym podzbiorem X. Sprawdzić, że
xSy :⇐⇒ (x = y) ∨ (x, y ∈ D),
x, y ∈ X,
jest relacją równoważności w X i wyznaczyć X/S.
Zadanie 1.11. Dla ustalonego zbioru X w zbiorze P(X) wprowadzamy relację
ARB ⇐⇒ A ÷ B jest skończony.
Czy jest to relacja równoważności?
Zadanie 1.12. Niech R1 , R2 ⊂ X 2 będą dwoma relacjami równoważności. Udowodnić, że
R1 ⊂ R2 ⇐⇒ ∀x∈X [x]R1 ⊂ [x]R2 .
Zadanie 1.13. Niech R ⊂ P(X) będzie taką rodziną, że
• ∅
S 6∈ R,
• R = X,
• A, B ∈ R, A 6= B =⇒ A ∩ B = ∅.
Udowodnić, że istnieje relacja równoważności R ⊂ X 2 taka, że R = X/R.
1
2. Funkcje, rodziny indeksowane, liczność zbiorów
Zadanie 2.1. Zbadać, czy niżej podane relacje R ⊂ R × R są funkcjami (zmiennej x lub y)
(1) xRy ⇐⇒ x + y = 1,
(2) xRy ⇐⇒ x2 = y 3 ,
(3) xRy ⇐⇒ x4 = y 4 .
S
T
Zadanie 2.2. Niech X 6= ∅ 6= Y będą dowolnymi zbiorami. Znaleźć Y X i Y X .
Zadanie 2.3. Niech X 6= ∅. Dla A ∈ P(A) określamy funkcję charakterystyczną zbioru A jako
(
1,
gdy x ∈ A
χA
.
X 3 x 7−→
0,
gdy x ∈
/A
(1) Wykazać, że odwzorowanie P(X) 3 A 7−→ χA ∈ {0, 1}X jest bijekcją.
(2) Wyrazić funkcje χA∪B , χA∩B i χA÷B za pomocą funkcji χA i χB .
Zadanie 2.4. Niech X, Y, Z będą zbiorami, zaś f : X −→ Y i g : Y −→ Z — odwzorowaniami. Czy
(1) jeśli g ◦ f jest iniekcją, to f jest iniekcją,
(2) jeśli g ◦ f jest surjekcją, to g jest surjekcją?
Zadanie 2.5. Dane są funkcje f, g : R −→ R. Pokazać, że
(1) jeśli f ◦ g = f i f jest iniekcją, to g jest identycznością,
(2) jeśli g ◦ f = f i f jest surjekcją, to g jest identycznością.
Sprawdzić, czy założenie iniektywności (odp. surjektywności) funkcji f w (1) (odp. (2)) jest potrzebne.
Zadanie 2.6. Odwzorowanie f : N −→ N spełnia warunek
∀A, B ⊂ N : f (A \ B) = f (A) \ f (B).
Czy f musi być iniekcją, surjekcją, bijekcją?
Zadanie 2.7. Niech X będzie zbiorem oraz f : X −→ X odwzorowaniem spełniającym warunek
∀A ⊂ X : f (f (A)) ⊂ A.
Czy f musi być bijekcją?
Zadanie 2.8. Dany jest ciąg (En )∞
n=0 skończonych podzbiorów R i ciąg odwzorowań
f1
f2
E0 ←− E1 ←− E2 ←− . . . .
Wykazać, że istnieje ciąg (xn )∞
n=0 ⊂ R taki, że
∀n∈N0 xn ∈ En , fn+1 (xn+1 ) = xn .
Zadanie 2.9. Niech At := {(x, y) ∈ R2 : x = ty 2 }, t ∈ R. Wyznaczyć
[
\
At ,
At .
t∈R
t∈R
2
Zadanie 2.10. Niech Aq := {x ∈ R : x < q}, Bq := {x ∈ R : q < x3 }. Wyznaczyć
[
(Aq ∩ Bq ).
q∈Q
Zadanie 2.11. Ile elementów może liczyć zbiór A÷(B÷C), jeśli A, B, C są zbiorami dwuelementowymi?
Zadanie 2.12. Niech X będzie zbiorem czteroelementowym. Ile relacji równoważności można zadać na
zbiorze X?
Zadanie 2.13. Wykazać, że trójka (P(X), ÷, ∩) jest pierścieniem przemiennym przy dowolnym zbiorze
X.
2
3. Kresy, indukcja, przestrzenie metryczne
Zadanie 3.1. Niech x, y ∈ R, x > 0. Wykazać, że istnieje liczba n ∈ N taka, że nx > y.
Zadanie 3.2. Niech x, y ∈ R, x < y. Wykazać, że istnieje liczba q ∈ Q taka, że x < q < y.
Zadanie 3.3. Niech A, B ⊂ R będą niepustymi zbiorami ograniczonymi z góry, λ ≥ 0. Sprawdzić, czy
(1) sup(A + B) = sup A + sup B,
(2) sup(λ · A) = λ sup A,
(3) sup A = − inf(−A).
k+n
Zadanie 3.4. Wykazać, że zbiory A := k+n
kn : k, n ∈ N , B :=
kn : k, n ∈ N, k < n są ograniczone
oraz wyznaczyć ich kresy górny i dolny.
Zadanie
T 3.5. Dana niech będzie rodzina (An )n∈N niepustych i ograniczonych od góry podzbiorów R,
A := n∈N An , B := {sup An : n ∈ N}. Załóżmy, że A 6= ∅. Wykazać, że
(1) zbiór A jest ograniczony od góry,
(2) zbiór B jest ograniczony od dołu,
(3) sup A 6 inf B,
(4) nawet przy dodatkowym założeniu An+1 ⊂ An , n ∈ N, nie musi zachodzić równość sup A = inf B.
Zadanie 3.6. Niech A := {p ∈ Q+ : p2 < 2}, B := {p ∈ Q+ : p2 > 2}. Wykazać, że zbiór A nie zawiera
liczby największej, zaś zbiór B nie zawiera liczby najmniejszej.
Zadanie 3.7. Wykazać następujące twierdzenia za pomocą indukcji matematycznej
(1) (1 + x)n > 1 + nx, 0 6= x > −1, n ∈ N, n > 1.
(2) Jeśli x1 , x2 , . . . , xn > 0, n ∈ N, spełniają warunek x1 x2 · · · xn = 1, to x1 + x2 + · · · + xn > n,
przy czym równość zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy x1 = x2 = · · · = xn = 1.
(3) 1k + 2k + · · · + nk = Wk+1 (n), n ∈ N, k ∈ N, gdzie Wk jest wielomianem stopnia k o współczynnikach wymiernych. Znaleźć Wk+1 przynajmniej dla k = 1, 2, 3, 4.
Zadanie 3.8. Wykazać, że zbiór liczb algebraicznych jest przeliczalny.
Zadanie 3.9. Zbadać, które z poniższych funkcji są metrykami na R:
|x − y|
, x, y ∈ R.
1 + |x − y|
Zadanie 3.10. Wykazać, że każdy otwarty podzbiór R jest sumą co najwyżej przeliczalnej rodziny
parami rozłącznych przedziałów otwartych.
d1 (x, y) := (x − y)2 ,
d2 (x, y) := |x − 2y|,
d3 (x, y) :=
Zadanie 3.11. Czy zbiór Q jest otwarty (odp. domknięty) w R? Znaleźć int Q, Q, int(R \ Q) oraz R \ Q.
Zadanie 3.12. Niech X będzie przestrzenią metryczną, E ⊂ X.
(1) Wykazać, że X \ int E = X \ E.
(2) Czy int(int E) = int E?
(3) Czy int E = E?
Zadanie 3.13. Skonstruować ograniczony podzbiór R posiadający dokładnie trzy punkty skupienia.
Zadanie 3.14. Czy każdy punkt dowolnego zbioru otwartego E ⊂ R jest jego punktem skupienia?
Odpowiedzieć na to samo pytanie dla domkniętych podzbiorów R.
Zadanie 3.15. Niech X będzie przestrzenią metryczną, E ⊂ X. Wykazać, że E = E ∪ E 0 .
Zadanie 3.16. Niech X będzie przestrzenią metryczną i niech E ⊂ X. Wykazać, że E 0 jest domknięty
oraz że E 0 = (E)0 . Czy E 0 = (E 0 )0 ?
Zadanie 3.17. Niech E będzie zbiorem wszystkich liczb x ∈ [0, 1], dla których istnieją rozwinięcia
dziesiętne zawierające tylko cyfry 4 i 7.
(1) Czy zbiór E jest przeliczalny?
(2) Czy zbiór E jest gęsty w [0, 1]?
(3) Czy zbiór E jest domknięty?
(4) Czy zbiór E jest doskonały?
Zadanie 3.18. Czy istnieje w R niepusty zbiór doskonały rozłączny z Q?
Zadanie 3.19. Wykazać, że zbiór maksimów właściwych funkcji f : R −→ R jest co najwyżej przeliczalny.
3
4. Liczby rzeczywiste i zespolone
Zadanie 4.1. Niech b, d ∈ R>0 . Wykazać, że
a
c
a
a+c
c
< =⇒ <
< .
b
d
b
b+d
d
Zadanie 4.2. Wykazać, że
v
u n
n
uY
n
1X
n
t
Pn
ak , ak ∈ R>0 , k = 1, . . . , n, n ∈ N,
6
a
6
k
1
n
k=1 ak
k=1
k=1
przy czym równości zachodzą wtedy i tylko wtedy, gdy a1 = a2 = · · · = an . Liczby w powyższej
nierówności nazywamy odpowiednio średnią harmoniczną, średnią geometryczną i średnią arytmetyczną.
Zadanie 4.3. Korzystając z nierówności między średnimi wykazać, że
1
1
2
1
+
+ ··· +
> , n ∈ N.
n n+1
2n
3
Zadanie 4.4. Wykazać, że jeśli a1 , a2 , . . . , an ∈ R spełniają warunek a1 + a2 + · · · + an = −n, to
na1 + na2 + · · · + nan > 1.
Zadanie 4.5. Niech n ≥ 1, a1 , . . . , an , b1 , . . . , bn ∈ R, {a1 , . . . , an } = {b1 , . . . , bn }. Wykazać, że
a1
an
+ ··· +
≥ n.
b1
bn
p
√
√
√ p√
√ p
√ √ p√
3
3
7 − 5,
7 + 3,
5 + 2−
5 − 2 są wymierne.
Zadanie 4.6. Sprawdzić, czy liczby 7− 3,
Zadanie 4.7. Wykazać, że funkcja
f (x) =
ax + b
,
cx + d
gdzie a, b, c, d ∈ R, ad − bc 6= 0, jest iniekcją.
Zadanie 4.8. Niech f : R −→ R będzie określona następująco
(
2x+1
,
gdy x 6= −2
f (x) := x+2
.
2,
gdy x = −2
(1) Sprawdzić, czy f jest surjekcją.
(2) Czy f jest iniekcją?
(3) Jeśli f jest bijekcją, to wyznaczyć f −1 .
Zadanie 4.9. Sprawdzić iniektywność funkcji
(0, 1) 3 x 7→ x +
1
∈ R.
x
Zadanie 4.10. Zbadać iniektywność i surjektywność funkcji
f
R 3 x 7−→ x + {x} ∈ R,
gdzie {x} oznacza część ułamkową liczby x ∈ R.
Zadanie 4.11. Przedstawić w postaci a + ib, a, b ∈ R, oraz obliczyć moduły następujących liczb zespolonych
(1) 1−i
1+i ,
2
(2) 1−3i
,
√
(3) (1 + i 3)6 ,
5
1+i
.
(4) 1−i
Zadanie 4.12. Niech a, b ∈ C. Wykazać, że |a + b|2 + |a − b|2 = 2(|a|2 + |b|2 ).
z−a Zadanie 4.13. Niech a, z ∈ C, |a| < 1. Wykazać, że |z| < 1 wtedy i tylko wtedy, gdy 1−āz
< 1.
Zadanie 4.14. Niech z, w ∈ C. Wykazać, że
||z| − |w|| 6 |z − w| 6 |z| + |w|.
4
5. Ciągi liczbowe
Zadanie 5.1. Niech (an )∞
n=1 ⊂ R będzie ciągiem takim, że limn→∞ an = ∞. Wykazać, że pewien wyraz
tego ciągu jest kresem dolnym zbioru jego wyrazów.
Zadanie 5.2. Niech (xn )n∈N ⊂ R∗ będzie ciągiem takim, że limn→∞ xn = 0. Wykazać, że
sin xn
lim
= 1.
n→∞ xn
Zadanie 5.3. Niech a, k ∈ R, a > 1, k > 0. Wykazać, że
nk
= 0.
n→∞ an
lim
Zadanie 5.4. Obliczyć
12 + 22 + · · · + n2
,
n→∞
n3
p
n2 + n − n ,
(d) lim
1 + 2 + ··· + n
,
n→∞
n2
Pn4
k
(c) lim P k=1 2 ,
2
n→∞
n
k=1 k
p
p
3
3
(e) lim n
n3 + n2 + n − n3 + n2 − n ,
(b) lim
(a) lim
n→∞
(g) lim sin
n→∞
r
(i) lim
n
n→∞
√
(n−1)!
(k) lim n
n→∞
n→∞
√ n + 1 − sin n ,
1 + |x|n +
X
k=1
x2
,
4
√
(f) lim
n→∞
36n + 2n −
(h) lim n sin2
n→∞
x ∈ R,
p
n!
(j) lim
n→∞
1
,
n! + k
(l) lim
36n − 1 (3n + 2n ) ,
1
cos n,
n
n! + n2001 + 2011n ,
p
n→∞
√
n4 + 1 − n2
n
X
sin k.
k=1
Zadanie 5.5. Wykazać zbieżność ciagu (an )n∈N oraz znaleźć jego granicę, jeśli
√
√
a1 = 2, an+1 = 2 + an , n ∈ N.
Zadanie 5.6. Niech a, b, c, d ∈ R będą takie, że cn + d 6= 0 dla dowolnego n ∈ N i niech
an + b
, n ∈ N.
an =
cn + d
Wykazać, że istnieje liczba n0 = n0 (a, b, c, d) ∈ N taka, że ciąg (an )∞
n=n0 jest rosnący, gdy ad − bc > 0,
zaś malejący, gdy ad − bc < 0.
Zadanie 5.7. Wykazać, że ciąg (an )n∈N , gdzie
an + an+1
, n ∈ N,
2
jest ograniczony, ciąg (a2n+1 )n∈N jest rosnący, ciąg (a2n )n∈N jest malejący oraz że
n−2 !
1
1
1− −
an = λn a + (1 − λn )b, λn =
,
n ∈ N.
3
2
a1 := a,
a2 := b > a,
an+2 :=
Zadanie 5.8. Naszkicować wykres funkcji
2nx + 3nx x + x2
.
n→∞
3nx + 1
Zadanie 5.9. Wykazać, że ze zbieżności ciągu (an )n∈N ⊂ R wynika zbieżność (|an |)n∈N . Czy prawdziwa
jest implikacja odwrotna?
f (x) = lim
Zadanie 5.10. Ciąg (an )n∈N ⊂ R ma tę własność, że jego podciągi (a2n )n∈N , (a2n+1 )n∈N oraz (a3n )n∈N
są zbieżne. Wykazać zbieżność ciągu (an )n∈N .
Zadanie 5.11. Niech t ∈ [0, 1] i niech
t
1
x1 = y1 := , xn+1 := (t + x2n ),
2
2
Zbadać zbieżność ciągów (xn )n∈N i (yn )n∈N .
5
yn+1 :=
1
(t − yn2 ),
2
n ∈ N.
6. Liczba e. Granice górna i dolna
Zadanie 6.1. Ciąg (an )n∈N ⊂ R jest zbieżny do a ∈ R \ Z. Wykazać, że
1
lim
([a1 ] + [a2 ] + · · · + [an ]) = [a].
n→∞ n
Zadanie 6.2. Niech
n+1
1
yn := 1 +
, n ∈ N.
n
Wykazać, że ciąg (yn )n∈N jest malejący i ograniczony od dołu oraz limn→∞ yn = e.
Zadanie 6.3. Niech
(
Am :=
1
1+
m
)
k
: m + 1 6 k 6 2m ,
2n
[
Bn :=
Am
m=n
i niech αn := min Bn , βn := max Bn , n ∈ N. Zbadać zbieżność ciągów (αn )n∈N , (βn )n∈N oraz wyznaczyć
ich ewentualne granice.
Zadanie 6.4. Obliczyć
p
n
lim
n→∞
n
1 X 2
bke c.
n→∞ n2
n + (−1)n ln n,
lim
k=1
Zadanie 6.5. Wykazać, że istnieje granica
γ := lim
n→∞
!
n
X
1
− ln n ,
k
k=1
1
zwana stałą Eulera .
Zadanie 6.6. Niech an oznacza liczbę zer na końcu liczby n!. Wykazać, że
1
an
= .
lim
n→∞ n
4
Zadanie 6.7. Znaleźć granice górną i dolną dla ciągu (an )n∈N określonego wzorami
1
1
a1 := 0, a2n := a2n−1 , a2n+1 := + a2n , n ∈ N.
2
2
Zadanie 6.8. Wykazać, że dla dowolnych ciągów (an )n∈N , (bn )n∈N ⊂ R
lim sup(an + bn ) 6 lim sup an + lim sup bn ,
n→∞
n→∞
n→∞
o ile tylko suma po prawej stronie nie ma postaci ∞ − ∞.
Zadanie 6.9. Wyznaczyć granice górną i dolną ciągu (xn )n∈N , jeśli
n
1
nπ
xn = (−1)n 1 +
cos
, n ∈ N.
n
4
Zadanie 6.10. Niech ciąg (an )n∈N ⊂ R spełnia warunek
Zbadać zbieżność ciągu
√
n
0 ≤ an+m ≤ an am ,
an
n∈N
n, m ∈ N.
.
Zadanie 6.11. Niech a, b ∈ R, 0 < a < b, i niech
√
x0 = a, y0 = b, xn+1 = xn yn ,
yn+1 =
1
(xn + yn ),
2
n ∈ N.
Zbadać zbieżność ciągów (xn )n∈N i (yn )n∈N .
1Leonhard Euler (ur. 15 kwietnia 1707 w Bazylei, zm. 18 września 1783 w Petersburgu) –– matematyk i fizyk szwajcarski.
6
7. Szeregi liczbowe
Zadanie 7.1. Obliczyć sumę n początkowych wyrazów, zbadać zbieżność szeregów (i ewentualnie obliczyć ich sumę)
(a)
∞
X
1
,
n
2
n=1
(b)
∞
X
1
,
2−n
n
n=2
(c)
∞
X
1
,
ln 1 +
n
n=1
(d)
∞
X
1
ln 1 − 2 .
n
n=2
Zadanie 7.2. Podać przykład szeregu zbieżnego (odp. rozbieżnego), którego zbieżność (odp. rozbieżność)
wynika z kryterium Cauchy’ego, a jednocześnie kryterium d’Alemberta2 nie rozstrzyga o tym, czy dany
szereg jest zbieżny, czy nie.
Zadanie 7.3. Zbadać zbieżność szeregów
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
∞
X
√
n=1
∞
X
n=1
∞
X
n+1−
√
n+1−
n
√
n,
√
n
,
(g)
(h)
√
( n n − 1)n ,
n=1
∞
X
(1 + 2n )−1 ,
n=1
∞
X
n−n ,
(i)
(j)
(k)
n=1
∞
X
n2
,
2n
n=1
(l)
∞
X
(n!)k
, k ∈ N,
(kn)!
n=1
n
∞
X
1 2
1
,
ln n cos
n
n
n=1
∞
X
na
, a, x ∈ R>0 ,
xn
n=1
∞
X
n!xn
, x ∈ R+ ,
nn
n=1
∞
X
1
, p, q ∈ R>0 ,
p
n lnq n
n=2
∞
X
√
a n , a ∈ (0, 1),
(m)
(n)
(o)
(p)
(q)
(r)
n=1
∞
X
cos n
p
,
√
2
n=1 n( √n − n n − n)
∞
X
n3 ( 2 + (−1)n )n
,
3n
n=1
∞
X
(n!)2 (2n)!
,
(4n)!
n=1
(n+1)!
∞ X
n!
,
n! + 1
n=1
∞
X
(1 + xn )n
,
n2 2n2
n=1
∞
X
xnbxc
, x ∈ R.
2n
n=1
Zadanie 7.4. Niech szeregi
∞
X
a2n ,
n=1
∞
X
b2n ,
an , bn ∈ R,
n=1
będą zbieżne. Wykazać, że zbieżne są też szeregi
∞
X
|an bn |,
n=1
∞
X
(an + bn )2 ,
n=1
∞
X
|an |
.
n
n=1
Zadanie 7.5. Niech szeregi
∞
X
n=1
zn ,
∞
X
zn2 ,
zn ∈ C,
n=1
będą zbieżne i niech Re zn ≥ 0, n ≥ 1. Wykazać, że szereg
∞
X
|zn |2
n=1
jest zbieżny.
Zadanie 7.6. Niech a2n−1 := 2−2n , a2n := 2−2n+1 , n ∈ N. Znaleźć
an+1
lim sup
an
n→∞
oraz zbadać zbieżność (i ewentualnie podać sumę) szeregu
∞
X
an .
n=1
2Jean Le Rond d’Alembert (ur. 16 listopada 1717 w Paryżu, zm. 29 października 1783 w Paryżu) — filozof, fizyk i
matematyk francuski.
7
Zadanie 7.7. Niech (an )n∈N ⊂ R. Wykazać, że przynajmniej jeden z szeregów
∞
∞
X
X
sin an ,
cos an
n=1
n=1
jest rozbieżny.
P
Zadanie 7.8. Niech an > 0, sn = a1 + · · · + an i szereg
an jest rozbieżny.
P an
jest
rozbieżny.
(1) Wykazać, że szereg
1+an
(2) Wykazać, że
an+1
an+k
sn
(7.1)
+ ··· +
>1−
, n, k ∈ N,
sn+1
sn+k
sn+k
P an
i wywnioskować stąd, że szereg
sn jest rozbieżny.
(3) Wykazać, że
1
1
an
6
− , n ∈ N,
(7.2)
2
sn
sn−1
sn
P an
i wywnioskować stąd, że szereg
jest
zbieżny.
s2n
P an
P an
(4) Co można powiedzieć o zbieżności szeregów
1+nan i
1+n2 an ?
Zadanie 7.9. Dla jakich z ∈ C zbieżny jest szereg
∞
X
(z n + z n+1 + · · · + z 2n )?
n=1
Zadanie 7.10. Jaka może być suma szeregu
∞ σ(n)
X
i
σ(n)
n=1
w zależności od permutacji σ zbioru liczb naturalnych?
Zadanie 7.11. Zbadać zbieżność szeregów
∞
X
1
cos nx, x ∈ R,
n
n=1
n
∞ X
1
1
√
(b)
1−
,
n
(2n − 1) n + 1
n=1
∞
n
X
X
(−1)k (k + 1)
√
(c)
(−1)n+1
,
k+1
2
n−k+1
n=1
k=0
∞
X
nπ
(d)
(ln(n + 1) − ln n) cos
,
2
n=1
(a)
(e)
(f)
(g)
(h)
8
∞
X
(−1)n
n=1
∞
X
(−1)n
n=1
∞ X
1+
n=1
∞
X
n2
n
,
+1
ln n
,
n
1
1
+ ··· +
2
n
sin n
,
n
sin(na) sin(n2 a)
, a ∈ R.
n
n=1
8. Przestrzenie zwarte. Przestrzenie spójne
Niech (X, d) będzie przestrzenią metryczną i niech E, F ⊂ X.
• Zbiory E, F nazywamy oddzielonymi, jeśli E ∩ F = E ∩ F = ∅.
• Przestrzeń X nazywamy ośrodkową, jeśli zawiera przeliczalny podzbiór gęsty.
• Rodzinę V otwartych podzbiorów przestrzeni X nazywamy bazą dla X, jeśli dla dowolnego punktu
x ∈ X i dla dowolnego otwartego zbioru G ⊂ X takiego, że x ∈ G istnieje zbiór V ∈ V taki, że
x ∈ V ⊂ G.
• Punkt p ∈ X nazywamy punktem kondensacji zbioru E, jeśli każde otoczenie punktu p zawiera
nieprzeliczalnie wiele punktów zbioru E. Zbiór punktów kondensacji zbioru E oznaczamy E k .
Zbiór A ⊂ Rn nazywamy wypukłym, jeśli tx + (1 − t)y ∈ A dla dowolnych punktów x, y ∈ A oraz
liczby t ∈ (0, 1).
Jeśli nie jest powiedziane inaczej, w zbiorze R (i jego podzbiorach) rozważamy metrykę euklidesową.
Zadanie 8.1. Wykazać, że klasyczny zbiór Cantora jest zwartym zbiorem doskonałym nie zawierającym
żadnego przedziału.
Zadanie 8.2. Wykazać, że z dowolnego pokrycia otwartego zbioru
1 1
0, 1, , , . . .
2 3
można wybrać podpokrycie skończone.
Zadanie 8.3. Skonstruować zwarty podzbiór liczb rzeczywistych, którego zbiór punktów skupienia jest
przeliczalny.
Zadanie 8.4. Podać przykład otwartego pokrycia odcinka (0, 1), które nie posiada skończonego podpokrycia.
Zadanie 8.5. Rozważmy zbiór Q jako przestrzeń metryczną z metryką euklidesową. Niech E := {p ∈
Q : 2 < p2 < 3}. Wykazać, że zbiór E jest domknięty i ograniczony, ale nie jest zwarty w Q. Czy E jest
otwarty w Q?
Zadanie 8.6. Niech (X, d) będzie przestrzenią metryczną.
(1) Wykazać, że dwa dowolne niepuste rozłączne zbiory domknięte w X są oddzielone.
(2) Wykazać, że dwa dowolne niepuste rozłączne zbiory otwarte w X są oddzielone.
(3) Niech p ∈ X, δ > 0. Wykazać, że zbiory A := {q ∈ X : d(p, q) < δ} i B := {q ∈ X : d(p, q) > δ}
są oddzielone.
(4) Wykazać, że przestrzeń X jest spójna wtedy i tylko wtedy, gdy nie jest sumą dwóch niepustych
zbiorów oddzielonych.
(5) Wykazać, że każda spójna przestrzeń metryczna zawierająca co najmniej dwa punkty jest nieprzeliczalna.
Zadanie 8.7. Czy domknięcia oraz wnętrza zbiorów spójnych są spójne?
Zadanie 8.8. Niech A, B ⊂ Rn będą niepustymi zbiorami oddzielonymi. Przypuśćmy, że a ∈ A, b ∈ B
i określmy
p(t) := (1 − t)a + tb, t ∈ R.
Niech A0 := p−1 (A), B0 := p−1 (B).
(1) Wykazać, że A0 i B0 są oddzielonymi podzbiorami R.
(2) Wykazać, że istnieje liczba t0 ∈ (0, 1) taka, że p(t0 ) ∈
/ A ∪ B.
(3) Wykazać, że każdy wypukły podzbiór Rn jest spójny.
Zadanie 8.9. Wykazać, że przestrzeń Rn jest ośrodkowa.
Zadanie 8.10. Wykazać, że każda przestrzeń ośrodkowa posiada bazę przeliczalną.
Zadanie 8.11. Niech (X, d) będzie przestrzenią metryczną, w której każdy nieskończony podzbiór posiada punkt skupienia. Wykazać, że X jest ośrodkowa.
Zadanie 8.12. Wykazać, że każda zwarta przestrzeń metryczna K posiada przeliczalną bazę i jest wobec
tego ośrodkowa.
9
Zadanie 8.13. Niech X będzie przestrzenią metryczną, której każdy podzbiór nieskończony posiada
punkt skupienia. Wykazać, że X jest zwarta.
Zadanie 8.14. Niech E ⊂ Rn będzie zbiorem nieprzeliczalnym. Wykazać, że zbiór E k jest doskonały,
zaś zbiór E \ E k jest co najwyżej przeliczalny.
Zadanie 8.15. Wykazać, że każdy domknięty podzbiór Rn jest sumą zbioru doskonałego (być może
pustego) i zbioru co najwyżej przeliczalnego. Ponadto, taki rozkład jest jedyny.
Zadanie 8.16. Wykazać, że każdy domknięty przeliczalny podzbiór Rn ma punkty izolowane.
10
9. Funkcje ciągłe
Zadanie 9.1. Niech X, Y będą przestrzeniami metrycznymi, f ∈ C(X, Y ), E ⊂ X. Wykazać, że f (E) ⊂
f (E). Pokazać, na przykładzie, że inkluzja może być właściwa.
Zadanie 9.2. Niech E ⊂ R będzie zbiorem domkniętym, f ∈ C(E). Wykazać, że istnieje funkcja g ∈ C(R)
taka, że f = g|E . Pokazać na przykładzie, że założenie o domkniętości zbioru E jest istotne.
Zadanie 9.3. Dla x ∈ Q∗ istnieje dokładnie jedna para liczb (m, n) ∈ Z∗ × N taka, że m, n są wzajemnie
pierwsze oraz x = m/n. Dla x = 0 przyjmujemy (m, n) := (0, 1). Wykazać, że funkcja f : R −→ R dana
wzorem
(
0,
gdy x ∈ R \ Q
f (x) := 1
,
gdy
x= m
n
n
jest ciągła w każdym punkcie niewymiernym i jest nieciągła w każdym punkcie wymiernym, chociaż ma
w nim granice jednostronne.
Zadanie 9.4. Niech (X, d) będzie przestrzenią metryczną. Dla ∅ 6= E ⊂ X niech
ρE (x) := inf d(x, y),
y∈E
x ∈ X.
Wykazać, że
(1) ρE (x) = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy x ∈ E,
(2) ρE jest jednostajnie ciągła na X.
Zadanie 9.5. Zbadać ciągłość funkcji
(a) f (x) = (
xbxc, x ∈ R,
x2 − 3,
gdy x ∈ Q
(b) f (x) =
. W R rozwiązać równanie f (f (x)) = 1.
x + 1,
gdy x ∈ R \ Q
Zadanie 9.6. Obliczyć granice
√
9 + 2x − 5
p
,
(a) lim √
x→8 3 x −
x/2
√
9 + 2x − 5
p
(b) lim √
,
x→∞ 3 x −
x/2
(c) lim−
x→0
x2
1
,
+ 221/x
(d) lim+
x→0
x2
1
.
+ 221/x
Zadanie 9.7. Niech
fn (x) :=
xn+1 − (n + 1)x + n
,
n2 (x − 1)2
|x| < 1, n ∈ N,
i niech an := limx→1 fn (x), n ∈ N, f (x) := limn→∞ fn (x). Obliczyć limn→∞ an i limx→1 f (x).
Zadanie 9.8. Niech E ⊂ R będzie zbiorem zwartym, f : E −→ R. Wykazać, że f ∈ C(E) wtedy i tylko
wtedy, gdy wykres funkcji f jest zwartym podzbiorem R2 .
Zadanie 9.9. Niech E ⊂ R będzie zbiorem ograniczonym i niech f ∈ C(E) będzie funkcją jednostajnie
ciągłą. Wykazać, że funkcja f jest ograniczona.
Zadanie 9.10. Niech f ∈ C(R) będzie odwzorowaniem otwartym. Wykazać, że funkcja f jest monotoniczna.
Zadanie 9.11. Niech f ∈ C([0, 1], [0, 1]). Wykazać, że istnieje punkt x ∈ [0, 1] taki, że f (x) = x.
Zadanie 9.12. Niech f ∈ C(R) i niech dla każdej liczby x ∈ R istnieje liczba n ∈ N, taka, że
fn (x) := (f ◦ · · · ◦ f )(x) = 1.
| {z }
n
Wykazać, że f (1) = 1.
Zadanie 9.13. Czy istnieje nieciągła funkcja f : R −→ R taka, że dla dowolnego przedziału P funkcja
f |P ma własność Darboux?
Zadanie 9.14. Niech P będzie dowolnym przedziałem otwartym, f : P −→ R będzie funkcją wypukłą.
Wykazać, że f ∈ C(P ).
11
Zadanie 9.15. Niech P będzie dowolnym przedziałem otwartym i niech f ∈ C(P ) spełnia nierówność
x+y
f (x) + f (y)
(9.3)
f
6
, x, y ∈ P.
2
2
Wykazać, że funkcja f jest wypukła. Czy założenie o ciągłości jest konieczne?
Zadanie 9.16. Wykazać, że różna od stałej funkcja okresowa f ∈ C(R) posiada okres zasadniczy. Czy
założenie o ciągłości funkcji jest istotne?
Zadanie 9.17. Niech f, g : R −→ R będą funkcjami ciągłymi i okresowymi. Wykazać, że jeśli
lim (f (x) − g(x)) = 0,
x→∞
to f = g.
Zadanie 9.18. Wykazać, że każda funkcja f ∈ C(R) spełniająca równanie
(9.4)
f (x + y) = f (x) + f (y),
x, y ∈ R,
jest postaci f (x) = ax dla pewnego a ∈ R.
Zadanie 9.19. Niech f : R −→ R będzie funkcją ciągłą w 0 i 1 dodatkowo spełniającą warunek
f (x) = f x2 , x ∈ R.
Wykazać, że f jest funkcją stałą.
12
10. Ciągi i szeregi funkcyjne
Zadanie 10.1. Wykazać, że każdy jednostajnie zbieżny ciąg funkcji ograniczonych jest jednostajnie
ograniczony.
Zadanie 10.2. Niech (fn )n∈N , (gn )n∈N będą ciągami jednostajnie zbieżnymi na E ⊂ R.
(a) Wykazać, że ciąg (fn + gn )n∈N jest jednostajnie zbieżny na E.
(b) Jeśli ponadto funkcje fn , gn są ograniczone, n ∈ N, to ciąg (fn gn )n∈N jest jednostajnie zbieżny na
E. Pokazać na przykładzie, że założenie o ograniczoności funkcji fn , gn , n ∈ N, jest istotne.
Zadanie 10.3. Niech (fn )n∈N będzie punktowo zbieżnym ciągiem funkcji jednakowo ciągłych określonych
na zbiorze zwartym K ⊂ R. Wykazać, że ciąg ten jest zbieżny jednostajnie na K.
Zadanie 10.4. Zbadać zbieżność punktową, lokalnie jednostajną i jednostajną ciągu funkcyjnego (fn )n∈N ,
jeśli
p
√ x + 1/n − x , x > 0,
(a) fn (x) = n
(b) f1 = sin, fn+1 = f1 ◦ fn , n ∈ N,
(c) fn (x) = min{max{x − n, 0}, max{n + 2 − x, 0}}, x ∈ R,
(d) fn (x) = {nx} := nx − bnxc, x ∈ R.
Zadanie 10.5. Wyznaczyć obszar zbieżności, jej rodzaj i ciągłość funkcji granicznej w obszarze zbieżności
dla szeregów
(a)
∞
X
(1 − x)xn ,
n=1
(b)
∞
X
x + (−1)n n
,
x2 + n2
n=1
(c)
∞
X
x
,
(1
+
x2 )n
n=1
(d)
∞
X
x2n
.
(1 + nx2 ) ln n
n=2
Zadanie 10.6. Niech
(10.5)
∞
X
1
.
1
+
n2 x
n=1
Wyznaczyć zbiór A := {x ∈ R : szereg (10.5) jest zbieżny}.
Czy szereg (10.5) jest zbieżny bezwzględnie w A?
Czy szereg (10.5) jest zbieżny jednostajnie w A?
Czy suma szeregu (10.5) jest funkcją ciągłą na A?
Czy suma szeregu (10.5) jest funkcją ograniczoną na A?
P
Zadanie 10.7. Niech
potęgowy
an z n ma promień zbieżności 1 i niech an ∈ R, an & 0.
P szereg
n
Wykazać, że szereg
an z jest zbieżny dla z ∈ T \ {1}.
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
Zadanie 10.8. Podać przykłady szeregów potęgowych o promieniu zbieżności równym 0 i +∞.
Zadanie 10.9. Wyznaczyć promień zbieżności oraz zbadać zbieżność na okręgu o środku w 0 i promieniu
zbieżności szeregów potęgowych
∞
∞
X
X
1 n
1 n
√ z ,
z
,
p
∈
R,
(c)
p
n
n
2
n=1
n=0
∞
∞
p
X
X
(2n + 1)!! n
(b)
sin(π n2 + 1)z n , (d)
z ,
(2n + 2)!!
n=0
n=0
∞
X
zn
, a > 0,
n + an
n=0
∞
X
ln n n
(f)
z ,
n+1
n=1
(a)
(e)
∞
X
1 n2
z ,
n
2
n=0
∞
X
1 (n2 )
.
(h)
n z
(g)
n=0
2
P
Zadanie
10.10. Co można powiedzieć o promieniu zbieżności r szeregu
(an + bn )xn jeśli szeregi
P
P
n
n
an x i
bn x mają, odpowiednio, promienie zbieżności ra i rb ?
P∞
Zadanie 10.11. Niech n=1 an z n , an ∈ R, będzie szeregiem zbieżnym w kole K(r) dla pewnego r > 0.
Załóżmy, że
∞
X
a1 >
n|an |rn−1 .
n=2
Wykazać, że funkcja
K(r) 3 z 7−→
∞
X
n=1
jest iniekcją.
13
an z n