Jp(C), Yg(£) funkcje Bessela I i II rodzaju rzę du fi, argumentu f, Ipii

M E C H A N I K A TEORETYCZNA
I S T O S O W A N A 4, 15 (1977) C ' V j ^ W S O VtC
>-V =
: : . \ "
­ . .•
A
. SUMOWANIE NIEKTÓRYCH SZEREGÓW BESSELA­FOURIERA WYSTĘ PUJĄ CYC
H ..... W ZAGADNIENACH PRZEWODNICTWA CIEPLNEGO M I C H A Ł C I A Ł K O W S K I ; (POZNAŃ) Oznaczenia Jp(C), Yg(£) funkcje Bessela I i II rodzaju rzę du fi, argumentu f, Ipii), Kp­(£) zmodyfikowane funkcje Bessela I i II rodzaju rzę du fi, argu­
mentu f, rj(i) funkcja Heviside'a, <5(£) dystrybucja Diraca, ip współczynnik charakteryzują cy rodzaj warunku brzegowego (liczba Biota), . . . fi współczynnik okreś lają y c kształt ciała, Fo liczba Fouriera (bezwymiarowy czas), £ bezwymiarowa współrzę dna punktu. W wielu zagadnieniach przewodnictwa cieplnego rozwią zanie odpowiedniego problemu wyraża się poprzez funkcje Bessela. I tak np. rozkład temperatur w płycie nieograniczonej (o zerowej temperaturze jednej powierzchni) oraz symetryczny rozkład temperatur w walcu nieograniczonym moż emy wyrazić w postaci bezwymiarowej nastę pują cy
m wzorem: :
ĆO (1) m F o ) = ­ 1±1_ • V 2
2 4%(^)e­^Q f e < 0 ; l > v
+ Щ )/л т А ­1Ы '.. bę dą cy
m rozwią zaniem równania przewodnictwa cieplnego „ . ,.y> . £ №
+ У
2
8& 2
d & 1­2/3 д & +
J~~ ~dT' 2 dFo~l)łl
F o e < 0 ; + c o > , £ e < 0 ; l > F o e < 0 ; + o o > z warunkami: — warunek począ tkowy Щ
,0) = ^ , £ е < 0 ; 1 > , — warunek brzegowy Fo) as
v
•'== Щ
£ F o ) | | , = 1
F o 6 (0; +oo), y> = const. Parametr fi wystę pują y c w równaniu przewodnictwa cieplnego charakteryzuje kształt ciała п р . : fi = ­ 1 / 2 — kula, fi = 0 —walec, fi = 1/2 — p ł y t a . 476 M. GAŁKOWSKI Dla wartoś ci parametru в w rozwią zaniu (1), równanie okreś lają e c wartoś ci własne stowarzyszonego zagadnienia brzegowego ma postać (2) ­
J
f
i
^ = ^ ~ Ja­i(fi) V>' (
Kolejne pierwiastki równania (2) oznaczamy przez fi ^, m = 0, 1 , 2 , . . . . D l a przejrzy­
stoś ci zapisu bę dziemy opuszczać indeks в przy wartoś ci własnej / 4 f . Równanie (2) wynika z powyż szego warunku brzegowego i dla rozważ anego równania przewodnictwa moż emy napisać go również w formie }
№ в Ш
+ У >&А (г Ц
I-
0 lub yj„_ (fi) + tpjpifi) ш
t
o. Wynika stą d, że równanie (2) obejmuje wszystkie trzy postacie warunków brzegowych: a) warunek brzegowy I rodzaju Jp(fi) = 0, y> ­» +oo, b) warunek brzegowy II rodzaju Je­i(fi) = 0, y> = 0, c) warunek brzegowy II rodzaju fiJa­i(ft)+fJe(/*) = 0, у > 0. Dalej pokaż emy, że znajomość pierwiastków równania (2) pozwala na wyznaczanie sum pewnych szeregów trygonometrycznych (gdyż funkcje Bessela rzę du połówkowego wyraż ają się przez funkcje trygonometryczne) oraz sum pewnych szeregów zawierają cych funkcje Bessela rzę du zerowego. Wyprowadzone wzory rozszerzymy na sumowanie innych szeregów otrzymanych przez wykorzystanie zwią zków pomię dzy funkcjami Bessela argumentu rzeczywistego i urojonego. Przedstawimy też sumowanie szeregu w postaci 00 V JU Je(timS)Je(jU Q) (fil + s) (ul + y> + 2 p » Ц _ j (fi ) ' m
2
m
2
który jest w szczególnym przypadku transformatą Laplace'a (dla a = s) szeregu (1). Podobne szeregi wystę pują również przy nadaniu rozkładów temperatur dla bardzo małych liczb Fouriera okreś lonych wzorem (1); mianowicie dla F o < 1 mamy 00 2
f
,
2
0
0 2
(fi +y, +2(3y>)Je­tifiJ ~ F o A J m=0 m=0 (fi + y> + 28 f) [fil +AjjJB_1 (ft ) 2
2
m
m
W metodzie sumowania szeregów wykorzystujemy wzory zachodzą ce dla dystrybucji Diraca. 1. Szereg podstawowy Ponieważ układ funkcji Bessela {Jp(fi Ł)}, gdzie fi są okreś lone wzorem (2), jest zupełny, przeto dla dystrybucji д = Ó(£ ­Q) ma miejsce zwią zek ([1], s. 244) m
O) srt­n) . 2
2
6W
У ^
Н
m
Щ
e e < 0 ; SUMOWANIE NIEKTÓRYCH SZEREGÓW BESSELA­FOURIERA 477 Ze wzglę du na symetrię funkcji delta mamy również co 2
(jii+ip +2py)J^ {/i ) 1
m = 0 m
Ponieważ (5) fAbnt­Q)dł = jy), o to biorąc / ( £ ) = CI (aĘ ) mamy B
(6) / a d ­ ) l/^el) (f| = е / д в е ). e
o Zwią zek (6), na mocy (3), przyjmuje postać « л (7) 2 („ \ ~ m=0 00 d
1 2 t V
rr / ŁYI Ja(MmQ)Jp(HmC) — 0 ^О т е )­4[^С "т й ] m=0 lub ­ ­ 7 1 л
£ ) (8) gdzie oo (9) а д , <>) =
2
2
, Т
y
й
Т
^ Ж
о
е
т
У jest szeregiem podstawowym. Zwią zek (8) traktujemy jako równanie róż niczkowe z niewiadomą funkcją i poszukujemy jego rozwią zania w formie (io) н (е ,о ) в
= и (с ,е )Ш
в
)> stąd równanie okreś lają e c funkcję u {C, Q) jest w postaci B
( И ) д щ
W* W)
1 1 p) M . ClAŁKOWSKI
478 Nastę pnie wykorzystując zwią zek (wyznacznik Wroń skiego funkcji Ip(a£) i XffigjS (12) W
Ą
W
l
­
P
^
^
­
^
.
^ redukujemy (11) do postaci (13) M * . ri­Ą (e9]­^n(eOW.
e ) ­ W ) J = o. Rozwią zanie równania (13) jest nastę pują ce
: (14) u (S,Q) = CI (aS) + Kp(a^, p
C—stała!
ll
1 Zatem (15) H (i, Q) = I (ao)[CI (aS)+K (ai)]. p
p
?
fi
Szereg (9) jest szeregiem symetrycznym wzglę dem f i Q, wobec tego otrzymujemy (16) Я Д
! , g) = r (£­e)L (C,Q,y,a) j
+ r (Q­£)L (o,C, ,a), 1
]
1
f , e < 0 ; l > , V
e
gdzie £ , ( £ , o, y>, a) = I (aQ)[C(a, rp)I (aS) + K (aS)]. Stałą С okreś limy kładąc teraz we wzorze (9) £ = 1, czyli fi
(17) fi
p
_
2 У [С /Д а ) + А >(в )]/,,(« ) = 2 _ V ( i
е
Jp(jtm)J/)(MmQ) 2
V
m = 0 Korzystając z ortogonalnoś ci funkcji Bessela z warunkiem (2), po przemnoż eniu obustronnym równania (17) przez QJjj(ji o) i scałkowaniu w granicach od 0 do 1 otrzy­
mujemy ' m
R
[C^(a) + ^(a)]{flJ ( M )/ j_ (a)­ M /^(a)/^_ ( a )} ?
L
m
/
1
L
m
1
i
m
= Jp(fi„), a uwzglę dniając (2) (18)
С
(а ^­Ш
1 +
1 W szczególnym przypadku dla warunku brzegowego I rodzaju, (18a) W) C = Q
~^ } + ­r^r- Д
<
т
dla warunku brzegowego II rodzaju. D l a warunku brzegowego II rodzaju w szeregu podstawowym (9) wykorzystujemy zwią zek (2). Zatem 9, [ ­ W ­ W +
a
Li(l, o, f, a) = —=—/. I
J ^
. . . w
h
{
a
)
\ '
l SUMOWANIE NIEKTÓRYCH SZEREGÓW BESSELA­FOURIERA Całkując zwią zek (16) z wagą f
(19) 1
+l
fl?+ H (i,o)di= e f)
JP L (i,Q, ,a)dS ls
1
+i
+ J P LdQ, rr :
­..».jv.
: :
,
V
1
, .
.
.
Q, y>, a)], , . . . . L ( l , e, V , a) = aIa(ao)[C(a, y))I (ai)­K (ai)] 3
­
+ V
i, V, a)dl = ­stf+P^LiiS, Ы . . .У Л . seto v vt 0 Ъ о ­ o gdzie ;
W granicach od Ó do f, mamy
1
J (C, , d)= 1
+
479 0+1
p+1
= g^(ag) / Д а ) Z drugiej strony (20) 2
IdS, Q, W, a) ­ 2y 2 ( t f ^ W ^ W / ­ ^ = . ­ co 2
ta
+1J
2» У ^ P+i(^)Jfi(MmQ) 2
W
ZJ {pl+y + 2
2Py)(ixl+a )ix J$_M M
Analogicznie г 7x(f, g, у , « ) = J ef.*^(f, 1 = ­ т [ ^ + ^
О + 1
Я ^ з ( е , г , v , « ) ] . . • a z drugiej strony JdS, Q, V»«) = V
V
­
4 * 04 + Y> + 2,%)(/4 + aV|­i(/O 2
m = 0 2
i/4, + W + Щ
) G"m + a )l*mJj)­1 (/O 2
Stąd widać, że funkcje Ji(£_, e,y>,d) i ^ ( f , o, ip, a) są symetryczne wzglę dem zmien­
nych f i Jdi, Q, y, d) = Ą io,
1, y>, a) oraz Ą ig,
Ј, y>, а ) = Wobec tego 00 120a) 2
2w V tŚ o г >Ж
fi+1J
Ј i)(j*mQ)Ji)+i(t*n,Ј).. + У + Ш № + а Щ
2
2
­М , Q , ę ,a). 480 M . ClAŁKOWSKI W szczególnym przypadku dla I warunku brzegowego (ip ­* co) i /9 = 0, podstawiając w (20a) f = 1 otrzymamy '• 1 (21) 1 2
l*m(A+a )JAl*m) a
2 h(ao) 1 Ш
m = 0 w granicach od 0 do Q oraz Ji ( Ј , Q, y>, a) Całkując teraz J (i, Q , y , a) z wagą z wagą & w granicach od 0 do f, otrzymujemy symetryczny wzór wzglę dem zmiennych t
+ 1
00 П
K у . ~
} W
2
У (^
^
2
+
1
^
+
l(/Umg)^
+ Г + Ш
т
(< +
1
( / M m l ) 2
+ а )^­М = rj(i­Q)J (i, Q, y>, a)+r)(Q­$)J (C, 2
2
Q, ip, a), gdzie 9, W, a) = j Q , y>, a)dl = ^ [ | ^ ­ + (O£Y L (Q, f, tp, a ) J . +1
2
Stąd J (C,Q,f,a) = J (o,C,f,a) 2
oraz 2
J (Q, C,y>,a) = J (£, o,y>,a), 2
2
L (M, Q, ip, d) = ^ ( f l g ) [ C ( a , ip)Ip (a£)­Kp (aC)] 2
+1
I +1
(\ o
w a ) ­ ­ = +1
W g g j ^Г
a Л a / ^ _ ! ( a ) + ^ ( a ) Kładąc w (22) £ = 1 otrzymujemy zależ ność -
00 (22а ) 2f 2
2
t*l(tó + y + 2Pf)(ju , + 2
a )Jl_ (jł ) 1
2
m
a [ 2/5 + 2 a a/^_, (a)+ipl^a) \ ' lal > 0. • W szczególnoś ci dla warunku brzegowego II rodzaju (ip = 0) (22b) 2JTi 0 г
Jf>+l(l*mQ)Jp+l(pJ 2
2
2
+а )У /1( ы
/
т
) _ 1 _1 a
2 .2/3+2 W > 0, 481 SUMOWANIE NIEKTÓRYCH SZEREGÓW BESSELA­FOURIERA a dla I warunku brzegowego uzyskujemy (­J ­i(fi ) e
= / s + i C O ) . m
00 2 У
( 2 3 )
> ZJM
m=0 m= 0 2 (
2
j ­ , = 2
­
a
(/4+0 )VI(/O
w
L 2/3 + 2 а /Д
/9 = 0, >
, 0
а ) J stąd dla Q = 1 co l I l
+ a ) m = 0 ш
2
a L 2 2
а / ( а ) 0
1 Г _1_ i _ _ ctg/ш , a~~ ~a [~3 a 2
+
p = —, 2
\a\ > 0 . Obliczając granicę wyraż eń po prawej stronie zależ noś i c (23a) dla a ­* 0 otrzymamy 1
• T'
1 R
p=
­~2 co (23b) m = 0 1
• 1 R
=
4 5 ' ^ У Oczywiś cie wartoś ci własne ц są rуż ne dla rуż nych wartoś ci parametru B. Posługując się wzorem (22) moż emy obliczyć np. sumę szeregu typu т
CO (24) +1
2 2 V _ tfey ^4­i(A«»e)Vi(A« g) Z , ( M + a ) ( ^ + 6 ) ( . + " + 2 ^ ) ^ _ 0
M
Z
f
2
2
2
2
2
1
/
2
v
1
U m
) ' wykorzystując zwią zek • 1 nl + a
1 fii + b 2
2
2
b ­a
2
1 1 fi ul + b 2
2
1 1 ~b ­a /г / Д + а
2
2
2
2 т
Zatem (24a) 2y> ZJ ( 1+a ) (fi ,+b ) O J + + Т в г р ) Jf_ j Щ
2
2
2
2
v
И
= , ]_ {rj(C­Q)[L ($, Q, y>, b)­L ($, Q, %p, a)] + 2
г
2
2
+ V(o­*£)[L (e> S> W> b)­L (g, f, y>,a)]}. 2
2
W szczegуlnoś ci dla warunku brzegowego I rodzaju 2
(25)
J5"
\ Т Й +Л Ь О ) _ 2
2
2
J (vi+a )(jA +b )J +,J/LtJ m 6 Mechanika Teoretyczna 4 e
2
~a ­b [ Ы
ф ) 8
У
i(ag)l al (a) J' a
482 M . ClAŁKOWSKI a dla о = 1 tgha ~a (25а ) 2JT m=0 1 2
1 ^ T ' =
1 2
2
2
(tf + a )(?t +b ) n
tghfe b 2 b ­a
m
al (a) bl (b) ctgha ctghft 0
/5 = 0, 1 1 2
~~~a~ ~~Ъ
\a\ > O, , 0
T
T ~~'a '
l_ 2 ' P \b\ > 0. Przechodząc w zwią zku (25a) do granicy przy b ~* 0 otrzymamy wzуr (23a). Przed­
stawione wzory moż emy również wykorzystać do obliczenia sum szeregуw stanowią cych transformaty Laplace'a naprę ż ń e termicznych stycznych c ( Ј , Fo) i promieniowych o>(Ј, Fo), wywołanych działaniem pola temperatury (1) w walcu nieskoń czonym. Wyra­
ż ają się one wzorami: (
в ы *,
OO
F
O
)
l ]
=
2 У
^4 m = 0 , C Z . + V)^lC"m) L £ }
И
L
^ ­ f«mff + 4 ­ OM]\ ­
J) v
/о
- rrrr/1 ,г /--Л - " T V
1
J
^ ^ ­ ­T­
oraz X[<*M, Fo)] = s [\/s J2?j 2/ y, 2 N7^ ^ г )J» ) + y/ е (­K* L Г л с о V
_ £ л р ц » ! ) ] ! V
s
s
0
= H J s[]/s Ii(\/s)+y>T (]/7) 0
Sumy tych szeregów są przypadkami szczegуlnymi wyprowadzonych wzorуw. Jako ilustrację zastosowania otrzymanych zależ noś i cobliczymy rozkład temperatur (1) w walcu nieskoń czonym dła F o <^ 1. Wówczas funkcję е х р ( ­ ^ т Р о ) moż emy zastą pić trzema pierwszymi wyrazami jej rozwinię cia w szereg MacLaurina. Zatem i m = u tOm) j j^mFo ! Q 4 F o )
2! 1! 2
F o v
i Л >С "ш
. С
И
т + У
2
) Л
Ј ) С
2
2
2
Fo Z­i (11 + у )А (/* ) т
2
(/4+у )­Л ("т ) „ 2 Fo ^ 1 ­ / Fo т
" « ) 2 |
in = o 1 ­ / F o " SUMOWANIE NIEKTÓRYCH SZERJEGÓW BESSELA­FOURIERA 483 Wykorzystując teraz wzуr (20a) otrzymamy 00 v 2 ­ "'
2 (pl + f^ftmJliftm) , , r*mFo (^Fo)
~ Т Г ~ — 2 ! — = +
+
= 1 ­
+
2 Fo~ 4£ )[« U­)"* [ « и м ( l/Fb) м \
л ­
с , l | / F o j **U ) ] i | / F o 1
а = 2 '
gdzie D
/ J «_ \ _ v _ _ U ^ l 1
i/Fo" j " 2J №
1
У ­У у
l/f 2J \ 2 | / F o / 2 ((4Л + DO
" _1_ y " U l / F b ) ((4Л + 3)!)* (
+ | / 2 " " Z 1/2 A = 0 n
/ l « \ _ у
2
( )
\ 2 / F o ­ ) 1 у
ł
\ | / F o " / ~ Z " 2
((4Л +2)!) (
M 2 V/ F 0 ) j / ^ Z ((4A:+1)!)
+ 2 J _ y ' ' \ 2 ]/Fo / ( ( 4 Л + 3 ) ! ) Vi 2J fc=0 \4fc + 4 / l a \ *+ / l a \ 4
/ f a \ _ у
la
t
i l/Fb / " |/?o" L Z 1
' 3
Uj/ gJ \ 2 j / F o ) (4A:+3)! (4fc+4; / 4fe
2
1 у
\ 2 l / F Q ­ ) 1/2 ZJ " (4А :+2)! (4А :+3)!
fc=0 4
U l / F o / (
T / 2 ^ !f W + ­• 4 k
I l a \
/ l a a \ \ * / +
3 U | / F o ) n fc
K
Г
4
| a \ + / l a \ *+
4 \ 2 J / F O / (4*+!)! ; 4 484 M . C l A Ł K O W S K I 44+1 ^ ( ­ D *W
\ ] / F o / j/JFo *_o
v £g \
2^Fo") F O (4Ar+2)!i­
( 4 / c + l)!
;
4 A : + 2 + 4k + 2 |/2
r
2 (4А ­4­2)! \4*: + 3 (4A: + 3)! fc=0 i/2 Z
1 }
' fc=o (4Л )! / _ i a _ Г \ 2 | / F o / (4fc+l)! J ' W celu zwię kszenia dokładnoś ci wzorów, funkcję exp( — ^ F o ) moż emy zastą pić dla F o <^ 1 wię kszą liczbą wyrazów rozwinię cia jej w szereg Mac Laurina. Dalej postę po­
wanie jest analogiczne do powyż szego. 2. Szeregi o sumach wyraż onych przez zwyczajne funkcje Bessela Zastosowanie wyprowadzonych wzorów moż emy znacznie poszerzyć, wykorzystując zwią zki zachodzą ce pomię dzy funkcjami Bessela argumentu rzeczywistego i urojonego. Dla zmodyfikowanych funkcji Bessela argumentu urojonego mamy nastę pują e c zwią zki: ni • • ' [J№ )­iY№ )]­
Weź my teraz pod uwagę nastę pują e c wyraż enia wystę pują e c po prawych stronach wzorów (16), (20) i (22). Podstawiając ai w miejsce a otrzymujemy (26) (27) L (S, Q, f, ai) = 2
(28) тс 2 Jf>+i(aC) J (aQ) Ma) Y j (ai) ­ J , (c|) Y (a) ­
J (a) re aJ^i^ + yJei' Я ­
B+l
B+
B
e+
B
485 SUMOWANIE NIEKTÓRYCH SZEREGÓW BESSELA­FOURIERA W szczególnoś ci dla £ = 1 (26a)
(l,e,V,aO M
a
&
) = ­,~
2 . J . ( e ) + r t ( a ) Ll
( 1
_ ^
1
(27a) Ldl, ,V,ai)­ (28a) £ ( l , e , V . e ' ) = ­ ^ ( e g ) ­
e
> 3
f + * 1 aJ ,_ (a) + yJp(a)' f
l
Otrzymaliś my w ten sposób sumy nastę pują cyc
h szeregów: Г
2 9
Л Ъ
„2 V _ Jp(MmS)Jp(HmQ) _ = v(S~e)Li(i, (3(Ti J +1J
+1
ZJ № ­a*)№ + * + v
20y>)p Ji_M m
= ­ч (Ј­е ) ^ l^+^ L (i,Q,y>, +1
at)] ­ V(Q ­
3
i) Jr{&+ "
+
E
^
oo Г 31) } ( E ,
s,?,«)]
. ­•_ j ' '
2
j.• ..
P+lJ
2 V ?
C,y,ai), ^ Mn9)Jn (rtmi) 2
2™ V —­
W
Q,y>,ai)+rj(Q­f)Li(g, (°C) tl+l(rtmQ)Jfl+l(rimC) 2
2
4 (p ­a )(^ m — O m
2
+ f + 2 M ^ ­ i ^
m
) ę
2
^
2 20 + 2 + (С р У
+1
Ь (С ,о ,г р ,а А ­
2
Ł2/9+2 y^ [
I +i
+ (i y L ( i, ,ai)^ Q
2
Q>
f
W szczególnym przypadku, gdy f = 1, wzory powyż sze mają stosunkowo prostą postać. Weź my jeszcze pod uwagę wyraż enie (24a). Podstawiając b ­ a \ mamy Jf)+ 1 O m e)/ <3+lPmЈ) 2 2J № ­а *)№ +у г * + 2 Р №
(U) W
m=0 М 1 2д 2 {>?(f­~e).Ua(fi + rj(Q­£)[L (Q, 2
Dla I warunku brzegowego . , V 2
Ę ,ip,a
)­L (g, 2
C,y>,ai)]}. ­> oo) oraz Ј = 1 wzór (32) przyjmie postać 00 (
V . a)­L (S, Q, y>, ai)] + _ jg+iCKgg)
_ J =
­ V i (ag) _ W fog) 486 M . G A Ł K O W S K I Podstawiając z kolei do (32a) w miejsce a wielkość \/i a dochodzi się do funkcji Kelvina. W szczególnoś ci dla в = 0 na podstawie powyż szych wzorów otrzymuje się zależ ność ? V m\
1 J
JiiPmO) _ J =
Z W + ^ / i W (bera­beia)ber (ag) + (bera+beia)bei (ag) t
3
, / 2 a " ' m = 0 x
2
2
b e r a + b e i a а w granicy dla a ­» 0 OO 2
V Jii/tmO) = g ( 216 ­ g ) (33a) 2
m = 0 Dokonując analogicznych podstawień w zwią zkach (20a) i (30), przez ich odję cie i dodanie stronami otrzymamy 00
2 У
r _ 1 | | О ~ a L JoiPmO) ber a • ber ag + bei a­bei ag b e r a + b e i a 4
Z ł / O* + a )//„Л О
4
2
2
OO 1
2 V
1 Pm'Jo(PmQ) bei a­beiap — bera^beiac Om+^/iCwm) " 2
2
ber a + bei a ' m=0 gdzie funkcje ber ag, bei ag i ber ag, bei ag są funkcjami Kelvina odpowiednio rzę du zero i jeden. x
x
3. Uwagi koń cow
e W wielu przypadkach technicznych mamy do czynienia nie z pełnym walcem, kulą , kulą wydrą­
czy symetrycznie ogrzewaną (chłodzoną) płytą lecz z walcem wydrą ż onym
ż oną i niesymetrycznie ogrzewaną (chłodzoną) płytą. Zjawisko jednowymiarowego prze­
wodnictwa cieplnego dla tych ciał moż na ująć jednym wspólnym równaniem róż niczko­
wym: (34) ^
=
™ + ± f ­ M _ ,
|
e
<
l
i
;
1
>
,
S
L
>
0
, F o e < 0 ; + o o ) , z warunkami: — warunek począ tkowy # ( i , 0 ) = l , f e < ! , ; l > , — warunek brzegowy na powierzchni wewnę trznej [
(
g|
F 0 )
, Fo)] ' = 0, F o 6 (0; oo),
V
= const, l
— warunek brzegowy na powierzchni zewnę trznej (
[ ^ g ' /
0
)
+4>№ > Fo)]^ = 0; i
F o e (0; oo); y> = const. 2
SUMOWANIE NIEKTÓRYCH SZEREGÓW BESSELA­FOURIERA 487 Rozwią zanie równania (34) z podanymi warunkami wyraża się wzorem 00 m = 0 gdzie funkcja a (fł ^) p
jest funkcją walcową w postaci m
1
l*m ifi­ 1 (Mm) + У >2 fiKMm) a współczynniki A są okreś lone wzorem m
i A
-
S l
<*fi­l (Mm) + ! J ~" 0>­1 O m ! l ) у
! > | O m ) ­
O fi­ 1 (Mm) <Tf>+ 1 O m ) ~ OfiiPm ! l ) + O fi­ 1 O m ! l ) 0>+ I O m
oraz równanie okreś lają e c wartoś ci własne ma postać <*fi№ i) _ _И _ C / 3 ­ l O f l ) Vi ' Układ funkcji Op jest układem ortogonalnym i zupełnym. Zatem dystrybucję Diraca moż emy wyrazić przez funkcje {<ip(ji l;)} analogicznie do (3) i (4). Postę pując podobnie jak poprzednio uzyskamy wzory sumacyjne dla szeregów zawierają cych funkcje Op([i !;). Przy rozwią zywaniu dwuwymiarowych zagadnień przewodzenia ciepła w walcu nie­
skoń czonym mamy do czynienia czę sto z sumowaniem szeregów Bessela­Fouriera zawiera­
ją cych funkcje Bessela rzę du całkowitego n. D l a takich funkcji równanie okreś lają e c
liczby fi ma postać m
m
m
_*G0»,JL (35) t
Л
„ = 0 , 1 , 2 , . . . . v O )
Kolejne pierwiastki równania oznaczamy przez /uff, m = 0 , 1 , 2 , Postę pując analogicznie jak w przypadku funkcji Я Д ! , Q) uzyskamy równanie dla szeregu podsta­
wowego Я Д ! , p) w postaci ( 3 6 )
f
i r ­ w
f
"
+
0
x w 2 T ­
'
и
>
0
­
Z drugiej zaś strony co у Л
О
У е К О
т
0
! ) L _ _ m=0 Rozwią zanie równania (36) jest nastę pują ce
: (37) я „(£, ) = ( f ­ e ) L i ­ > ( i , e , * в ) + ч ( е ­ 0 Д " > ( е , 1 , у , в ) , e
4
M . GAŁKOWSKI 488 gdzie IMQ) L^,Q,W,a)=
Ш
• к м ш )+к {а с )ш
п
(
+ /: f\,
r
л al„(a) + wl {a) Zwią zek (37) może być wykorzystany dla znalezienia sum innych szeregów po dokona­
niu identycznych operacji jak w czę ś i c pierwszej pracy. Tutaj rolę parametru odgrywa całkowita liczba n. Przy rozpatrywaniu symetrycznych rozkładów temperatur w walcu nieskoń czonym, kuli i płycie nieograniczonej (z warunkiem począ tkowym #(1,0) = 1 i brzegowym jak w czę ś i c pierwszej pracy), bezwymiarowy rozkład temperatur moż na wyrazić wzorem n
oo
Щ
, Fo) = У
2 J
2
,Л \—j 7 — г , f e<0; 1>, Fo 6<0; oo), 2
a wartoś ci własne stowarzyszonego zagadnienia brzegowego okreś al równanie J-p(ft)
=
J±
Wtedy dla wartoś ci własnych okreś lonych powyż szym wzorem należy zmienić w wypro­
wadzonych poprzednio wzorach znak wskaź nika rzę du przy funkcjach Bessela na prze­
ciwny. Przedstawione w pracy wzory moż na również uzyskać przez róż niczkowanie szeregów podstawowych. Takie postę powanie przedstawione jest w pracy [2] (dla fi = 0, n = 0, w­+ co) i [6] (dla fi = 0, n > 0, w ­> oo). Zaletą wyprowadzonych wzorуw jest ich ogуlność w sensie warunków brzegowych (ujmują wszystkie trzy warunki brzegowe), jak rуwnież moż liwość sumowania szeregów trygonometrycznych wystę pują cyc
h przy rozwią zywaniu zagadnień brzegowych z zakresu przewodnictwa cieplnego. Literatura cytowana w tekś cie 1. A. N. TICHONOW, A. A. SAMARSKI, Równania fizyki matematycznej, PWN, Warszawa 1963. 2. S. WOELKE, Summation of certain Bessel series occuring in elasticity problems, Arch. Mech. Stos., 3
(1970). 3. N. W. Mc LACHLAN, Funkcje Bessela dla inż ynierów, PWN, Warszawa 1964. 4. J. MUSIELAK, Wstę p do analizy funkcjonalnej, PWN, Warszawa 1976. 5. H. MESCHKOWSKI, Reihen entwicklungen in der mathematischen Physik, BI Hochschultaschenbiiche
Band 51, Mannheim 1963. 6. K . GRYSA, Rozkład temperatury i naprę ż eń
w walcu kołowym, wywołany ruchomym niesymetrycznym
ogrzewaniem pobocznicy, praca doktorska, Poznań 1975. Р е з ю
м е С У М М И Р О В А Н И Е Н Е К О Т О Р Ы Х Р Я Д О В Б Е С С Е Л Я ­Ф У Р Ь Е В Ы
В З А Д А Ч А Х Т Е П Л О П Р О В О Д Н О С Т И В р
в ы с т у п а
ч и т ь с у м
д е л е н и ю
а б о т
ю щ и
м у р
с у м
е п
х в
я д о
м ы
р е д
з а
в д
р я
с т а в л е н м е т о д с у м м
д а ч а х 1е п л о п р о в о д н
л я ф у н к ц и й Б е с с е л я
д о в с ц и л и н д р и ч е с к
и р о в а н и
о с т и . В
п о р я д к
и м и ф у
я н е к
з а в и с
о в 0 и
н к ц и я
о т о р ы
и м о с т
0,5. М
м и д р
х р
и о
о ж
у г и
я д о в
т з н а
н о и
х п о
С Т У П А Ю
Щ
И Х Б е с с е л я ­Ф у р ь е с п а р а м е т р о м , ч е н и я п а р а м е т р а , м о ж н о п о л у ­
с п о л ь з о в а т ь э т о т м е т о д и к о п р е ­
р я д к о в . SUMOWANIE NIEKTÓRYCH SZEREGÓW BESSELA­FOURIERA 489 S u m m a r y SUMMATION OF CERTAIN FOURIER­BESSEL SERIES OCCURRING IN HEAT TRANSFER PROBLEMS The method of summation of some Bessel­Fourier series with a parameter occurring in heat­transfer problems is described. Depending on the value of the parameter, the sums of zero and half order Bessel functions are obtained. The methods of derivation of the formulae for the Bessel functions of other orders are also given. P O L I T E C H N I K A P O Z N A Ń S K
A Praca została złoż ona w Redakcji dnia 28 stycznia 1977 r.