(a) ∑ 1 - Informacje dla uzytkowników serwera antenor.pol.lublin.pl

Zadania do samodzielnego rozwiązania
Zadanie 1. Obliczyć sumy następujących szeregów:
∞
X
1
(a)
,
(3n + 1)(3n + 4)
n=1
∞
X
2
,
(b)
n(n
+ 2)
n=1
∞
X
1
(c)
,
n(n + 1)(n + 2)
n=1
∞
X
2n + 1
(d)
,
2 (n + 1)2
n
n=1
∞
X
3n + 2n
.
(e)
6n
n=1
1
12
3
2
1
4
1
3
2
Zadanie 2. Zbadać, które z poniższych szeregów spełniają warunek konieczny zbieżności:
n
n
∞ ∞ X
X
2n + 1
n+2
,
nie
(d)
,
(a)
n+5
5n + 2
n=1
n=1 r
∞
∞
X
X
(0, 3)n
n−1
3
,
nie
,
(b)
(e)
8n + 3
5n − 1
n=1
n=1
∞ p
∞
p
X
X
√
√
( n2 + n − n2 + 2),
( n + 6 − n + 2).
(c)
(f)
nie
n=1
tak
tak
tak
n=1
Zadanie 3. Stosując test majoranty – minoranty lub test porównawczy, zbadać zbieżność
szeregów:
∞
∞
X
X
1
3n + 22
(g)
(a)
z
n
(2n
+
1)22n
5
n=1
n=1
∞
√
∞
X 2 + 4 + 6 + · · · + 2n
X
n
(h)
(b)
z
n3
1 + n2
n=1
n=1
∞
∞
X
X
1
1
q p
(i)
√
(c)
z
n n+6
n=1
n (n + 1)
n=1
∞
1
∞
X
X
1
n
e
√
r
(d)
(j)
2 + 3n
n
n
n=1
n=1
∞
∞
X
X
log n
sin nπ
√
(e)
z
√
(k)
2
3
n · n
3n4 + n3 + 2
n=1
n=1
√
∞
∞
X log n
X1
1
z
(f)
(l)
sin
2
n
n
n
n=1
n=1
1
z
r
r
r
z
z
2
Zadanie 4. Stosując test d’Alemberta, zbadać zbieżność szeregów:
∞
∞
X
X
n!
n5
(a)
(f)
z
nn
2n + 3n
n=1
n=1
∞
∞
X (2n)!
X 2n n!
(b)
r
(g)
2
(n!)
nn
n=1
n=1
∞
∞
X
X
3n
(n!)2
(c)
(h)
z
(2n)!
2n2
n=1
n=1
∞
∞
X
X
(2n)!
n3n
(i)
(d)
z
2 en
(3n)!
(n!)
n=1
n=1
∞
∞
X
X
n10 2n
(n + 1)5n
r
(j)
(e)
3n+3
(n + 1)n
n=1
n=1
Zadanie 5. Stosując test Cauchy’ego,
n
∞ X
n
(a)
z
5n + 2
n=1
n
∞ X
3n + 2
r
(b)
2n + 3
n=1
∞
X
2n + 3n
(c)
z
7n
n=1
n2
∞
X
n
n
(d)
2
n+1
n=1
z
zbadać zbieżność szeregów:
n(n−1)
∞ X
n+1
(e)
n−1
n=2
r
∞
X
1
z
(f)
lnn n
n=2
∞
X
9n
(g)
r
n2
(h)
n=1
∞
X
n+2
n
5
n
5n
n=1
Zadanie 6. Sprawdzić, który z poniższych szeregów
warunkowo, a który rozbieżny.
∞
X
(−1)n
√
r
(a)
n
n
n=1
∞
X
(−1)n
(b)
zw
5n + 1
n=1
n
∞
X
n+7
(c)
(−1)n
zb
3n + 5
n=1
n−1
∞
X
3
(d)
(−1)n+1 n
zb
8
n=1
z
z
z
z
r
z
√
∞
X
n
ln (n + 1)
n=1
n
∞ X
3n + 1 2
(j)
2n + 1
n=1
∞
X
n
2(−1) −n
(k)
(i)
(l)
n
n=1
∞
X
3n
n + 2n
n=1
z
r
z
r
jest zbieżny bezwzględnie, który
∞
X
cos nπ
n
n=1
∞
X cos nπ
√
(f)
n n
n=1
n
∞
X
n+3
(g)
(−1)n
n+5
n=1
∞
X
(−1)n
√
(h)
√
n+1+ n
n=1
(e)
zw
zb
r
zw