Fizyka cząstek elementarnych

Transkrypt

Tadeusz Lesiak
1
WYKŁAD VII
Elektrodynamika
kwantowa
T.Lesiak
2
Krótka historia oddziaływań
elektromagnetycznych
 1900-1930 r. powstanie mechaniki kwantowej i fundamentów kwantowej teorii pola;
idea fotonu –kwantu pola elektromagnetycznego.
 1930 r. W rachunkach opisujących procesy elektromagnetyczne pojawiają się pierwsze
rozbieżności (wyniki nieskończone dla masy i ładunku elektronu) np. dla rachunków
oddziaływań elektronu z polem e.m. (W.Heisenberg, W.Pauli, R.Oppenheimer).
Pojawia się idea renormalizacji tj. przedefiniowania parametrów teorii e.m.
 1948-1951 r. powstanie elektrodynamiki kwantowej (QED, Quantum Electrodynamics),
teorii renormalizowalnej (wolnej od nieskończoności) poprzez modyfikację
pojęć masy i ładunku elektronu, będącej „pierwszą kwantową teorią pola”;
trzy niezależne podejścia : J.Schwinger, R.Feynman, S.Tomonaga (Nobel 1965);
F.Dyson dowodzi iż wszystkie trzy formalizmy są równoważne.
QED - teoria cechowania oparta
o abelową grupę symetrii U(1)
T.Lesiak
3
Słowo o renormalizacji
 Istnieje wiele wielkości (własności atomów i cząstek), które można obliczyć
w ramach QED i we wszystkich przypadkach otrzymuje się wynik nieskończony.
 Rozważmy dwie takie wielkości:
 Przypuśćmy, iż znana jest z doświadczenia SKOŃCZONA wartość dla W1expt.
 Wartość W2 można przewidzieć teoretycznie:
 Tak przewidziana wartość W2 okazuje się przy tym zgodna z doświadczeniem.
 Wystarczy przy tym zastosować dwie wielkości znane z doświadczenia z dużą
dokładnością: ładunek elektryczny i masę elektronu.
 Ich wartości są skończone, a przewidywania teoretyczne prowadzą do nieskończonych wartości.
 Jeśli jednak zaakceptować ten fakt i zastosować do obliczeń wszelkich innych wielkości QED wartości
eksperymentalne masy i ładunku elektronu  dla wszystkich obserwabli QED otrzymuje się wartości
skończone i zgodne z doświadczeniem i to z wielką precyzją.
 W równaniach QED elektron występuje jako fundamentalny, niepodzielny ładunek elektryczny o zerowej
rozciągłości  pole w jego otoczeniu jest nieskończone.
 Elektron oddziałuje z wytworzonym przez siebie polem, uzyskując dzięki temu energię własną, która
przyjmuje wartość nieskończoną  nieskończoności powstają bo elektron jest zawsze otoczony polem.
T.Lesiak
4
Elektrodynamika kwantowa
 Elektronowi odpowiada pole fizyczne, którego kwantami są elektrony i ich
antycząstki tj. pozytony.
 Kwantem pola elektromagnetycznego jest foton.
 Podstawową metodą rachunkową QED jest rachunek zaburzeń oparty na
technice diagramów Feynmana.
 Oddziaływania elektronów/pozytonów z fotonami są opisane przez
wymianę fotonów (kwantów pola elektromagnetycznego).
 Każdy wierzchołek diagramu Feynmana oznacza elementarny akt emisji lub
absorpcji fotonu.
T.Lesiak
5
 Elementarne procesy oddziaływań elektromagnetycznych:
Wymiana leptonu nie powoduje zmiany zapachu leptonu lub kwarka.
 Elementarny wierzchołek elektron - foton:
Uwaga: proces absorpcji lub emisji fotonu przez elektron nie zachodzi
dla cząstki swobodnej (ze względu na zachowanie czteropędu).
Wkład do amplitudy:
Jeśli foton jest wirtualny (stanowi linię wewnętrzną),
to przyczynek od jego propagatora (q2 – czteropęd fotonu):
T.Lesiak
6
Rachunek zaburzeń w QED
 Całkowita amplituda danego procesu = suma (nieskończenie) wielu diagramów Feynmana,
uwzględniająca wszelkie możliwe stany pośrednie. W praktyce w sumowaniu uwzględnia się
wkłady od diagramów z coraz większą ilością wierzchołków oddziaływania.
 Rachunek perturbacyjny – amplituda stanowi szereg potęgowy w stałej sprzężenia:
 QED: rozwinięcie perturbacyjne daje bardzo dobre wyniki. Powód: stała sprzężenia jest mała.
dobre przybliżenie amplitudy stanowi często już
pierwszy człon rozwinięcia – przybliżenie Borna (LO).
T.Lesiak
7
 Podstawowe procesy elektromagnetyczne
Rozpraszanie Rutherforda: rozpraszanie kulombowskie dwóch
elektronów poprzez wymianę pojedynczego wirtualnego fotonu.
Obliczmy wkłady do amplitudy:
• Wierzchołki = iloczyn sprzężeń:
• Propagator fotonu
Różniczkowy przekrój czynny:
Przyczynek do rozpraszania kulombowskiego kolejnego
rzędu – poprzez wymianę dwufotonową.
Wkład do przekroju czynnego:
T.Lesiak
8
Rozpraszanie Bhabhy
W najniższym, wiodącym
rzędzie rachunku zaburzeń
wkład od dwóch diagramów
(interferencja dwóch amplitud).
Promieniowanie hamowania (bremsstrahlung)
Emisja rzeczywistego fotonu przez elektron
przyspieszany w polu jądra atomowego o ładunku Ze
T.Lesiak
9
Kreacja par e+e- w polu jądra atomowego
Energia progowa fotonu na produkcję pary
w polu jądra atomowego o ładunku Ze
Energia „własna” elektronu
Pojedynczy „goły” elektron emituje,
a następnie pochłania wirtualny foton
T.Lesiak
Pojedynczy „goły” elektron emituje wirtualny foton,
który następnie fluktuuje do pary e+e-.
Ta ostatnia anihiluje z kolei do wirtualnego fotonu,
który zostaje pochłonięty przez elektron
10
Energia „własna” elektronu c.d.
 Elektron nieustannie emituje oraz (re)absorbuje wirtualne fotony
oraz (pośrednio) pary elektron-pozyton.
 Te kwantowe fluktuacje prowadzą do mierzalnych efektów tzw. polaryzacji próżni
(ekranowanie ładunku elektrycznego, biegnąca stała sprzężenia…)  patrz poniżej.
 Linie elektronowe na diagramach Feynmana odpowiadają „gołym” elektronom tzn.
elektronom bez samooddziaływania (bez „chmury” wirtualnych cząstek z wykładu 1).
 Wielkości „gołe” – masa m0 oraz ładunek q0 są niemierzalne.
 „Prawdziwe” cząstki, których parametry, takie jak masa czy ładunek, mierzymy to cząstki
„gołe”, „ubrane” w chmurę cząstek wirtualnych powstającą w procesach opisanych przez
diagramy „energii własnej”.
Diagramy „energii własnej” dają wkład do masy i ładunku elektronu,
mierzonych eksperymentalnie
T.Lesiak
11
Energia „własna” elektronu c.d.
Masa i ładunek elektronu stają się nieskończone po uwzględnieniu
diagramów energii własnej dostatecznie wysokiego rzędu.
•
Wkłady od diagramów pętlowych mają postać
•
Ze względu na brak ograniczenia od góry na k, w obliczeniach pojawią się logarytmiczne
rozbieżności.
•
 Goła masa (m0) i goły ładunek (q0) zawsze występują w obliczeniach z bezwymiarowym
czynnikiem I, stanowiącym rozbieżną całkę:
•
Procedura renormalizacji uwalnia QED od problemu nieskończoności poprzez
przedefiniowanie masy i ładunku elektrycznego elektronu (zastąpienie wartości „gołych”
tymi mierzalnymi eksperymentalnie, jak pokazano powyżej).
T.Lesiak
(k-4-pęd wirtualnego elektronu).
12
Biegnąca stała sprzężenia
 Miarą „siły” oddziaływania elektromagnetycznego jest bezwymiarowa stała
struktury subtelnej Sommerfelda, związana z ładunkiem elektronu (e):
 Konsekwencja procedury renormalizacji w QED – logarytmiczna zależność stałej
sprzężenia α od skali energetycznej charakterystycznej dla danego pomiaru.
Renormalizacja  „biegnąca” stała sprzężenia
Stała sprzężenia staje się „biegnąca” wskutek obecności wirtualnych par e+-e-,
które prowadzą do ekranowania gołego ładunku elektronu.
T.Lesiak
13
 Ładunek „gołego” elektronu jest ekranowany przez dodatnie
ładunki pozytonów pochodzących z wirtualnych par e+ - e-.
 In krótsza jest długość fali (λ~1/p)
fotonu który sonduje elektron tym na
mniejszych odległościach jest
próbkowany goły ładunek elektronu
 elektron „widzi” efektywnie większy
ładunek elektronu (wkład od polaryzacji
próżni jest mniejszy.
 Na dużych odległościach (tj. dla
małych pędów) efekty ekranowania
są znaczące i efektywny ładunek
jest mniejszy od gołego ładunku.
T.Lesiak
14
 Elektromagnetyczna efektywna stała sprzężenia zależy od przekazu pędu (q).
 Ilościowo, tę zależność można wyliczyć, stosując równanie grupy renormalizacji (RGR).
 RGR prowadzi do rozwinięcia stałej sprzężenia α w szereg w potęgach zmiennej ln(q2/μ2):
Funkcja beta, opisująca jak zmienia się
stała sprzężenia wraz ze zmianą skali
Gdzie:
μ - referencyjna energia (tzw. skala renormalizacji),
e – ładunek elektronu,
β – funkcja odgrywająca podstawową rolę w RGR ( β0 - przybliżenie 1-pętlowe).
W granicy q20 biegnąca
stała sprzężenia odpowiada
stałej struktury subtelnej
oraz pomiarowi ładunku na
dużych odległościach.
T.Lesiak
W granicy q2mZ2 biegnąca
stała sprzężenia jest o kilka
procent większa i odpowiada
pomiarowi ładunku na małych
odległościach.
15
Podsumowując:
T.Lesiak
16
Moment magnetyczny elektronu
 Równanie Diraca stanowi relatywistyczny opis elektronu, jako
punktowej cząstki o spinie ½ oraz o momencie magnetycznym:
g – czynnik gyromagnetyczny; magneton Bohra:
)
 Wielki sukces teorii Diraca: zgodne z doświadczeniem przewidywanie:
 ALE: QED przewiduje niewielkie odchylenie od tej wartości:
od tej
Diagramy Feynmana kolejnych rzędów rachunku
zaburzeń względem stałej α, wykorzystywane do
obliczenia momentu magnetycznego elektronu.
Moment magnetyczny elektronu mierzy się
doświadczalnie badając oddziaływanie tej cząstki
z zewnętrznym polem magnetycznym.
T.Lesiak
17
Moment magnetyczny e- oraz µ Obliczenia teoretyczne uwzględniają poprawki radiacyjne wyższych rzędów łącznie
z wkładami od znanych ciężkich cząstek (bozonów pośredniczących, bozonu Higgsa…)
oraz od cząstek przewidywanych przez rozszerzenia modelu standardowego
(np. supersymetria).
 Ich rezultat podaje się zwykle w postaci zmiennej:
 Obliczenia teoretyczne: dokładność rzędu 8 x 10-11:
 Błąd doświadczalny rzędu 3 x 10-11 :
 Głównym źródłem niepewności teoretycznej jest błąd doświadczalny wyznaczania stałej α.
 Dla mionu – ciekawa i słynna anomalia:
e.m.
słabe
silne
Być może ważny sygnał zjawisk
spoza modelu standardowego
T.Lesiak
18
Rozpraszanie e+e-µ+µ Najprostszy, podstawowy proces rozpraszania w QED.
 Formuła na przekrój czynny dla tego procesu może być
wydedukowana z analizy wymiarowej:
1) dwa wierzchołki  / 2
2) [] = [length]2=[energy]-2  / s-1
Całkowity przekrój czynny:
Czynnik 4/3 powstaje wskutek
wycałkowania po kątach oraz
uśrednienia po stanach spinowych.
T.Lesiak
19
Rozpraszanie e+e-µ+µRóżniczkowy przekrój czynny:
θ - kąt rozproszenia µ- w układzie środka
masy liczony względem kierunku
padającego elektronu (w LAB).
φ – kąt azymutalny
T.Lesiak
20
Rozpraszanie elastyczne
lepton-proton
 Rozpraszanie elektron-proton można opisać
poprzez wymianę wirtualnego fotonu.
 Najważniejsza zmienna kinematyczna:
kwadrat czteropędu fotonu =
=kwadrat zmiany czteropędu elektronu
 Powróćmy do analogii cząstki wiązki jako sondy próbkującej
strukturę wewnętrzną cząstek tarczy:
•
Małe Q2 – niski pęd fotonu; „miękki” foton: jego długość fali de Broglie’a jest duża
w stosunku do rozmiaru protonu. Foton sonda nie jest w stanie rozróżnić żadnej
wewnętrznej struktury protonu, „widzi” go jako obiekt punktowy.
•
Średnie Q2 – długość fali porównywalna z rozmiarem protonu; foton zaczyna widzieć
proton jako obiekt złożony, ale jeszcze nie rozróżnia szczegółów jego struktury.
•
Duże Q2 – długość fali de Broglie’a znacznie mniejsza od rozmiarów protonu;
foton może doskonale rozróżniać wewnętrzną strukturę protonu, o ile ona istnieje.
T.Lesiak
21
lepton-proton
 Różniczkowy przekrój czynny na elastyczne
rozproszenie elektronu na punktowym protonie
bez uwzględniania spinu elektronu.
 Uwzględniając dodatkowo odrzut protonu
 Uwzględniając dodatkowo spin elektronu
 wzór Motta
 Uwzględniając dodatkowo
spin protonu
T.Lesiak
22
lepton-proton
 Jeśli proton byłby obiektem rozciągłym o rozkładzie gęstości
ładunku elektrycznego (x,y,z), to wzór Motta trzeba pomnożyć
przez kwadrat modułu czynnika postaci (form factor).
 Dokładniej:
GE (GM) - elektryczny (magnetyczny) czynnik postaci
 Czynnik postaci ma prostą interpretację
fizyczną – jest transformatą Fouriera
przestrzennego rozkładu gęstości ładunku 
Normalizacja:
 F(q2) jest malejącą funkcją q2
 F(q2) mierzy prawdopodobieństwo tego, że elektron „zobaczy” proton jako całość
podczas rozpraszania; przy wielkich q2 jest to bardzo mało prawdopodobne.
T.Lesiak
23
lepton-proton
 Co dają pomiary?
 Formuła dipolowa = dobra porametryzacja
zależności czynnika postaci od q2
 Odpowiada ona, poprzez transformatę
Fouriera eksponencjalnej zależności
gęstości ładunku od odległości r.
 Fizycznie oznacza to, że wraz ze wzrostem q2,
foton- sonda „widzi” coraz mniej ładunku protonu.
 BARDZO WAŻNE: dla punktowej cząstki-tarczy
F(q2) = const
(transformata Fouriera funkcji delta Diraca = funkcja stała)
Foton-sonda widzi zawsze cały ładunek protonu.
„brak zależności od skali”
T.Lesiak
24
Rozpraszanie nieelastyczne
lepton-proton
 Rozpraszanie elastyczne - do jego opisu wystarcza jedna zmienna kinematyczna Q2
Pełny wzór na przekrój czynny na rozpraszanie elastyczne:
 Rozpraszanie nieelastyczne – potrzeba dwóch
zmiennych kinematycznych: Q2 oraz 
Przekrój czynny na rozpraszanie nieelastyczne na obiektach
rozciągłych modyfikuje się przez wprowadzenie dwóch funkcji
struktury (structure functions) W1(,Q2) i W2(, Q2)
– nieelastycznych odpowiedników czynnika postaci.
 Dwie funkcje struktury  uwzględniają dwa stany polaryzacji fotonu
 Ważna zmienna = masa powstałego układu hadronowego(W) – miara nieelastyczności zderzenia:
T.Lesiak
25
Rozpraszanie nieelastyczne
lepton-proton
 Stanford, USA, 1969 r., eksperyment SLAC-MIT; rozpraszenie
nieelastyczne wiązki elektronów o energii 7-18 GeV na tarczy wodorowej.
Podejście inkluzywne – rejestracji podlegają jedynie rozproszone
elektrony (i to pod kątem 6-100).
 W miarę wzrostu nieelastyczności zderzenia
(zmiennej W) zależność przekroju czynnego od q2
staje się coraz bardziej płaska; w dodatku funkcja
struktury W2 przestaje zależeć od q2 – zaczynają
być widoczne punktowe składniki protonu – partony.
Strzelając pociskiem sondą w punktowe obiekty widać to samo, niezależnie od długości fali
T.Lesiak
26
Model kwarków-partonów
Autorzy: R.Feynman, S.Bjorken.
Nukleon jest złożony ze swobodnych, punktowych kwarków o spinie ½
Głęboko nieelastyczne rozpraszanie elektronu na nukleonie jest
niekoherentną sumą elastycznych rozproszeń na kwarkach.
Funkcje struktury mają prostą i głęboką interpretację fizyczną:
Wprowadźmy dwie nowe bezwymiarowe zmienne:
Uwaga: dla rozpraszania elastycznego
(jest tylko jedna zmienna kinematyczna
T.Lesiak
27
Zamiast funkcji struktury W1 i W2, wygodnie jest wprowadzić nieco inne F1 i F2
Głęboko nieealastyczne rozpraszanie
elektron-nukleon
elastyczne rozpraszanie
elektron-kwark
 fi(x) – rozkład prawdopodobieństwa, że kwark o zapachu i niesie ułamek pędu
nukleonu x - jest on wewnętrzną cechą nukleonu,
Relacja Callana-Grossa
dla cząstek o spinie 1/2
T.Lesiak
28
Obserwacja doświadczalna:
Funkcje struktury F1 i F2 zależą
jedynie od x (zmiennej
bezwymiarowej) , nie zależą od Q2
– skalowanie (scaling) Bjorkena
Jeśli przekrój czynny zależy wyłącznie od zmiennych bezwymiarowych to zjawisko
dotyczy obiektów punktowych – brak w nim skali o wymiarze długości.
Kwarki różnicują się na:
Walencyjne (valence) – nadające liczby kwantowe
Morskie (sea) – tworzące pary wirtualnych qq
T.Lesiak
29
Przykład – funkcja struktury protonu:
Widać też z bilansu pędu gluony – powinno być:
A wychodzi około 50% - drugą połowę niosą gluony.
 Partony = kwarki i gluony
T.Lesiak
30
T.Lesiak
31
Łamanie skalowania Bjorkena
Małe Q2
Duże Q2
Funkcja struktury F2 MALEJE z Q2 dla
dużych, ustalonych wartości x gdyż w tym
obszarze dominują kwarki walencyjne.
Funkcja struktury F2 ROŚNIE z Q2 dla
małych, ustalonych wartości x gdyż w tym
obszarze dominują gluony (kreujące miękkie
pary kwark-antykwark).
T.Lesiak
32
Backup
T.Lesiak
33

Fizyka cząstek elementarnych

Transkrypt

Podobne dokumenty

Wywiad został przeprowadzony z wybitnym polskim fizykiem

Stefan Pokorskito polski fizyk teoretyk, który specjalizuje się w teorii

Klasy jakości powietrza według normy ISO 8573.1 Obowiązująca

Podstawowe stałe fizyczne