Seria 3. - zasady zachowania, praca
Transkrypt
Seria 3. - zasady zachowania, praca
Seria 3. - zasady zachowania, praca 1. Na łodzi o masie M stoi człowiek o masie m. Człowiek idzie wzdłuż łódki i przechodzi odległość l. O ile przesunie się łódka w przeciwną stronę? Siły oporu zaniedbać. Odp. ml M +m 2. Wyznaczyć pracę wciągnięcia ciężaru po równi pochyłej, jeśli masa tego ciężaru wynosi m, długość równi - s, kąt nachylenia do poziomu - α, współczynnik tarcia - f . Odp. W = mgs(sin α + f cos α) 3. Mały wózek stacza się bez tarcia po pochyłym torze zakończonym kołową pętlą o promieniu R. Z jakiej wysokości H, mierzonej od najwyższego punktu pętli, musi staczać się wózek, aby nie oderwać się od pętli na całej jej długości. Odp.: H = R/2 4. Kulka o masie m ześlizguje się bez tarcia po powierzchni kuli o promieniu R. W którym miejscu i z jaką prędkością oderwie się od kuli? Odp. cos α = 2 3 5. Na jaką wysokość liczoną od położenia równowagi wzniesie się wahadło o masie M , gdy utkwi w nim pocisk o masie m lecący z prędkością v. Odp. h = m m+M 2 v2 2g 6. Piłeczka pingpongowa po uderzeniu o podłogę traci 1/k części swojej energii kinetycznej. Znaleźć całkowitą drogę, jaką przebędzie piłeczka zrzucona z wysokości h, aż do chwili zatrzymania się. Współczynnik k > 1. Odp. s = h(2k − 1) 7. Piłka spada z wysokości h na podłogę i odbija się od niej wielokrotnie. Jaką prędkość początkową v0 należy nadać piłce, aby po n odbiciach wzniosła się na pierwotną wysokość, jeżeli wiadomo, że przy każdym odbiciu piłka traci k-tą część swojej energii. Odp. v0 = p 2gh[(1 − 1/k)−n − 1] 8. Deska o masie m i długości l leży na granicy zetknięcia dwóch stołów, na stole pierwszym. Jaką minimalną pracę należy wykonać, aby przesunąć ją ze stołu pierwszego na drugi, jeśli współczynniki tarcia pomiędzy deską a stołem wynoszą f1 i f2 , odpowiednio dla pierwszego i drugiego stołu. Odp. Wmin = mgl 2 (f1 + f2 ) 9. Na podłodze leży łańcuch o masie m i długości l. Jeden z jego końców podnosimy do góry dopóki nie oderwie się od podłogi. Wyznaczyć minimalną wartość pracy jaką należy wykonać, aby podnieść łańcuch z podłogi w polu grawitacyjnym Ziemi w przypadku gdy: a) łańcuch jest jednorodny b) łańcuch jest niejednorodny i jego masa m zależy od odległości 2 x od jednego z końców według wzoru m(x) = m0 xl Odp. Wa = mgl 2 , Wb = m0 gl 3 10. Ciało zsuwa się po powierzchni nachylonej pod kątem α do poziomu. Współczynnik tarcia f zależy od przebytej drogi przez ciało s i f (s) = bs, gdzie b jest dodatnim współczynnikiem. Wyznaczyć drogę s1 przebytą przez ciało do momentu zatrzymania się oraz maksymalną prędkość ciała na drodze s1 . Odp. s1 = 2 tg α b , vmax = sin α q g b cos α 1 11. Łódź podwodna o masie m jest napędzana w taki sposób, że woda jest pobierana na dziobie i wyrzucana przez rufę ze stałą prędkością u względem łodzi. Wydajność pompy jest stała i wynosi µ = dmw /dt. W chwili t = 0 zostaje włączony napęd łodzi. Znaleźć zależność prędkości łodzi od czasu: a) pomijamy opór wody b) opór wody wynosi −kv. µt Odp. a) v = u(1 − e− m ), b) v = µu µ+k (1 − e− (µ+k)t m ) 12. Ciało o masie M , na które działa siła F = a − bx (gdzie a i b to dodatnie stałe, a x to położenie ciała), leży na doskonale gładkiej powierzchni w punkcie x0 = ab . W chwili początkowej t = 0 w ciało uderza lecący równolegle do podłoża pocisk o masie m. Pocisk przeszywa ciało na wylot, zmniejszając przy tym swoją prędkość o połowę. Jaka musi być początkowa prędkość pocisku v0 , aby ciało uderzyło w murek położony w punkcie xmur = 3 ab ? q Odp. v0 = 4 a2 M bm2 13. Pocisk o masie m, lecący równolegle do podłoża, trafił w leżące na murku o wysokości h ciało o masie M i utkwił w nim. Jaka była prędkość początkowa pocisku, jeżeli po zderzeniu ciało wraz z pociskiem spadło w odległości d od murku? O ile zmieniła się energia układu na skutek zderzenia? Odp. v = d(M +m) m q g 2h , 2g +m)d ∆E = − M (M4hm 14. Na sznurku o długości l zawieszono ciało o masie m. Jaką minimalną prędkość początkową należy nadać ciału, aby zatoczyło w powietrzu pełne koło? √ Odp. v = 5gl 15. Pocisk uderza w klocek zawieszony na nierozciągliwej lince o długości l i przechodzi przez niego na wylot, zmniejszając przy tym swoją prędkość o połowę. Jaka musi być początkowa prędkość pocisku, aby klocek na lince zatoczył w powietrzu pełne koło? Stosunek masy klocka do masy pocisku wynosi α. √ Odp. v = 2α 5gl 16. Dwie kule zderzają się, po czym poruszają się wzdłuż jednej prostej. Jedna z kul przed zderzeniem była w spoczynku, a druga poruszała się z prędkością v0 . Kula poruszająca się ma masę trzykrotnie mniejszą od kuli spoczywającej. Wyznacz: a) prędkość kul po zderzeniu idealnie sprężystym, b) prędkość kul po zderzeniu idealnie niesprężystym, c) ubytek energii podczas zderzenia idealnie niesprężystego. Odp. ua = v0 2 , ub = v0 4 , ∆E = 43 E0 17. Cząstka o masie m1 i prędkości v1 zderza się doskonale sprężyście z inną cząstką o masie m2 = 3m1 , znajdującą się w spoczynku (v2 = 0). Po zderzeniu cząstka o masie m2 porusza się pod kątem Θ2 = 45o względem pierwotnego kierunku cząstki o masie m1 . Znajdź kąt odchylenia Θ1 masy m1 oraz końcowe prędkości cząstek u1 i u2 . √ 1 v Odp. u1 = 41 10v1 , u2 = 2√ 2 1 18. Ciało o masie M spada z wysokości H. W połowie wysokości zostaje trafione poziomo lecącym pociskiem, który wbija się w nie niesprężyście. Masa pocisku wynosi m, a jego prędkość wynosi v. Obliczyć prędkość układu w momencie upadku na Ziemię. Odp. vk = r m m+M 2 v2 + M m+M 2 gH + gH 2 Zasada zachowania momentu pędu 19. Największa odległość planety od Słońca wynosi R1 a najmniejsza R2 . Ile wynosi moment pędu planety? Masa Słońca M , masa planety m. 20. Największa odległość komety Halleya od Słońca h = 35, 4Rzs (Rzs - odległość pomiędzy Ziemią i Słońcem ), a najmniejsza l = 0, 59Rzs . Ile wynosi prędkość komety, gdy jest najbliżej Słońca, a ile gdy znajduje się w punkcie najbardziej odległym od Słońca? 21. Pręt o długości l i masie M leży na gładkiej powierzchni. W koniec pręta uderza prostopadle do niego z prędkością v punkt o masie m. Pręt jest umocowany tak, że może się obracać wokół osi prostopadłej do niego przechodzącej przez jego drugi koniec. a) zderzenie jest doskonale sprężyste. Znaleźć prędkość punktu i prędkość kątową pręta po zderzeniu. b) zderzenie jest niesprężyste. Znaleźć prędkość kątową układu po zderzeniu. 22. Na brzegu talerza o masie M i promieniu R obracającego się wokół osi prostopadłej i przechodzącej przez jego środek, porusza się żuczek o masie m w kierunku ruchu wskazówek zegara. Prędkość żuczka względem ziemi v. Talerz obraca się w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara z prędkością kątową ω. Jak zmieni się prędkość kątowa talerza, jeśli żuczek w pewnej chwili zbliży się do środka talerza na odległość R/5, zmieni kierunek swojej prędkości i zacznie poruszać się w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara z prędkością 3 razy większą? 23. Jaką pracę musi wykonać miotacz młotem, jeżeli po nabraniu prędkości kątowej ω, pragnie ściągnąć do siebie młot z odległości r1 na odległość r2 od osi obrotu? Zakładamy, że cała masa młota m skupiona jest w kuli znajdującej się na jego końcu. r4 Odp. W = 21 mω 2 ( r12 − r12 ) 2 3