WPPT, Analiza Matematyczna

WPPT, Analiza Matematyczna - Lista 25
Z
xy d(x, y), gdzie R = [0, 2] × [1, 3].
280. Korzystając z definicji wyznaczyć całkę
R
281. Niech

0 jeśli x, y ∈ Q



1 jeśli x ∈ Q, y ∈ R \ Q
f (x, y) =
2 jeśli x ∈ R \ Q, y ∈ Q



3 jeśli x, y ∈ R \ Q
Wyznaczyć
Z
Z
f (x, y) d(x, y)
f (x, y) d(x, y)
i
R
dla
R = [a, b] × [c, d].
R
282. Niech R = [a, b] × [c, d]. Funkcja f : R → R jest niemalejąca względem każdej ze zmiennych przy
ustalonej drugiej zmiennej. Pokazać, że f jest całkowalna na R.
283. Załóżmy, że f jest funkcją ciągłą na zbiorze zwartym S ⊂ Rn . Pokazać, że powierzchnia z = f (X),
X ∈ S, ma zerową objętość w Rn+1 .
284. a) Niech f będzie funkcją ograniczoną na zbiorze ograniczonym S ⊂ Rn . Załóżmy, że f (X) = 0
poza zbiorem o zerowej objętości. Pokazać, że
Z
f (X) dX = 0.
S
Z
g(X) dX istnieje. Niech h będzie funkcją ograniczoną na S taką, że h(X) = g(X)
b) Załóżmy, że
S
poza zbiorem o zerowej objętości. Pokazać, że h jest całkowalna na S oraz
Z
Z
h(X) dX =
g(X) dX
S
S
Z
f (x, y) d(x, y), jeśli R = [0, 2] × [0, 2], a f (x, y) = [x + y].
285. Obliczyć całkę
R
(
1,
gdy x ∈ Q
286. Funkcja f (x, y) =
, określona jest na kwadracie R = [0, 1] × [0, 1]. Po2y, gdy x ∈ R \ Q


Z1 Z1
kazać, że  f (x, y)dy  dx = 1, lecz f nie jest całkowalna na R.
0
0
Z d
f (x) dx i
g(y) dy.
a
c
Z
Z
a) Pokazać, że istnieją całki
f (x) d(x, y) i
g(y) d(x, y), gdzie R = [a, b] × [c, d].
R
ZR
b) Pokazać, że istnieje całka
f (x) g(y) d(x, y).
R
! Z
!
Z
Z b
d
c) Pokazać, że
f (x) g(y) d(x, y) =
f (x) dx
g(y) dy .
Z
b
287. Załóżmy, że istnieją całki
R
Z
288. Załóżmy, że
a
b
f (x) dx istnieje. Rozpatrując całkę
a
udowodnić nierówność
c
Z 2
f (x)−f (y) d(x, y), gdzie R = [a, b]×[a, b],
R
 b
2
Z
Zb
 f (x) dx ¬ (b − a) f 2 (x) dx.
a
a