Analiza matematyczna 2, cze sc siódma Nie jest jasne, ile b le dów

Analiza matematyczna 2, cze,ść siódma
Nie jest jasne, ile ble,dów jeszcze zostawilem Państwu do wykrycia. Prosze, w każdym razie o
informacje o nich. Poprawie,! Jeśli ktoś czegoś nie zrozumie, to również prosze, o kontakt, przyczyna,
może być bla,d w tekście.
Zajmiemy sie, teraz miara,. Chodzi o to, że w przypadku funkcji wielu zmiennych cze,sto istnieje
potrzeba rozważania funkcji określonych na dosyć skomplikowanych zbiorach i trzeba umieć określać
wielkość tych zbiorów. Chcemy wie,c uogólnić poje,cie dlugości, pola i obje,tości. Okaże sie, też, że
również prawdopodobieństwo jest miara,. W naste,pnym semestrze przekonamy sie,, że pola i dlugości
rozmaitości dwu– i jednowymiarowych w przestrzeni trójwymiarowej lub wie,cejwymiarowej to też
miary. Poza podaniem możliwie ogólnej definicji miary jest też problem przechodzenia do granicy
pod znakiem calki. Teoria, która, przedstawimy jest z tego punktu widzenia o wiele wygodniejsza od
calki Riemanna. Twierdzenia be,da, mieć proste dowody i be,dzie można je latwo stosować.
Jakieś koszta trzeba jednak ponieść. Jesteśmy zmuszeni do ustalenia dla jakich zbiorów możemy
określać miare,. Miara powinna być nieujemna, zbiór ograniczony powinien mieć skończona, miare,.
Miara sumy zbiorów rozla,cznych powinna być równa sumie ich miar. Ten ostatni warunek powinien
być spelniony również w przypadku przeliczalnej rodziny zbiorów parami rozla,cznych, to podstawa
przechodzenia do granicy (np. pole kola traktować można jako granice, cia,gu wieloka,tów foremnych
wpisanych w to kolo, to samo dotyczy pola ograniczonego lukiem paraboli i jej cie,ciwa,, obje,tości kuli,
pola powierzchni kuli itp.). Przejścia graniczne konieczne sa, nawet w bardzo prostych sytuacjach.
Na pocza,tku XX w. Dehn rozwia,zal trzeci problem Hilberta i okazalo sie,, że sześcianu nie można
„pokroić na kawalki”, z których da sie, zlożyć czworościan foremny. Wiadomo bylo, że np. kwadrat
o polu jeden można pocia,ć na kawalki, z których da sie, ulożyć trójka,t o polu jeden (dla różnych
trójka,tów trzeba cia,ć na różne kawalki, ale można to zawsze zrobić). Wynika sta,d, że do określenia
pola wieloka,ta na plaszczyźnie przejścia graniczne sa, zbe,dne, natomiast w przypadku wielościanu
(nawet foremnego) sa, konieczne.
Zalóżmy teraz, że udalo sie, nam określić miare, na wszystkich podzbiorach prostej, czyli funkcje,
µ: 2
IR
−→ [0, ∞] w taki sposób, że
∞
∞
[
X
1◦ jeśli An ⊆ IR dla n = 1, 2, . . . i Ai ∩ Aj = ∅ dla i 6= j , to µ
An =
µ(An ) ,
n=1
n=1
◦
µ(A) < ∞ dla każdego zbioru ograniczonego A ⊆ IR ,
◦
µ([a, b]) > 0 dla dowolnego przedzialu [a, b] , gdy a < b , czyli gdy przedzial nie jest zdegenero-
2
3
wany,
4◦ jeśli zbiór D jest obrazem zbioru C w pewnym przesunie,ciu, to µ(D) = µ(C) .
Wykażemy za Giuseppe Vitalim, że nasze zalożenie prowadzi do sprzeczności. Używać be,dziemy
w tym dowodzie pewnika wyboru i od razu należy powiedzieć, że wiadomo, że bez pewnika wyboru
konstrukcja ta nie jest możliwa (ale tymi kwestiami zajmować sie, nie be,dziemy).
89
Powiemy, że x ∼ y wtedy i tylko wtedy, gdy x − y ∈ Q .
∼ jest relacja, równoważności, bo:
x ∼ x , gdyż 0 ∈ Q (zwrotność);
x ∼ y ⇔ y ∼ x , gdyż w ∈ Q ⇔ −w ∈ Q (symetryczność),
oraz x ∼ y i y ∼ z ⇒ x ∼ z , gdyż w1 , w2 ∈ Q ⇒ w1 + w2 ∈ Q (przechodniość).
Klase, abstrakcji liczby x oznaczymy jak zwykle przez [x] . Jeśli w ∈ Q , to dla każdego x ∈ IR
mamy [x] = [x + w] . Wynika sta,d, że dla każdej liczby x ∈ IR istnieje liczba y ∈ [0, 1] taka,
że [x] = [y] , inaczej mówia,c każda klasa abstrakcji ma reprezentanta w przedziale [0, 1] . Niech
V ⊂ [0, 1] oznacza jakiś zbiór, który ma z każda, klasa, abstrakcji dokladnie jeden element wspólny.
Zbiór taki istnieje dzie,ki pewnikowi wyboru. Niech Vt = {v + t:
v ∈ V } , czyli Vt oznacza zbiór
V przesunie,ty o t . Zauważmy, że
[
[0, 1] ⊆
Vt ⊂ [−1, 2] .
(vit)
t∈[−1,1]∩Q
Zauważmy również, że jeśli t 6= s sa, liczbami wymiernymi, to Vt ∩ Vs = ∅ : jeśli a ∈ Vt ∩ Vs ,
to istnieja, liczby u, v ∈ V takie, że u + s = v + t czyli u − v = t − s ∈ Q , ale to oznacza,
że u ∼ v , a ponieważ V ma z każda, klasa, abstrakcji relacji ∼ dokladnie jeden element, wie,c
u = v i wobec tego t = s , wbrew zalożeniu. Ze wzgle,du na warunek 4◦ mamy µ(Vt ) = µ(V ) dla
[
Vt ≤ µ([−1, 2]) oraz
każdej liczby t . Wobec tego z warunku 1◦ wynika, że µ([0, 1]) ≤ µ
t∈[−1,1]∩Q
µ
[
Vt
t∈[−1,1]∩Q
=
X
µ(Vt ) i wobec tego 0 < µ([0, 1]) ≤
t∈[−1,1]∩Q
X
µ(Vt ) ≤ µ([−1, 2]) < ∞ .
t∈[−1,1]∩Q
Nie jest to możliwe, bo z lewej nierówności wynika oczywiście, że 0 < µ(Vt ) = µ(V ) i wobec tego
X
µ(Vt ) = ∞ , co przeczy prawej nierówności, bo µ([−1, 2]) < ∞ .
t∈[−1,1]∩Q
Z wykazanego twierdzenia Vitaliego wynika, że jeśli mamy ochote, określić miare, tak, by spelnione byly jednocześnie warunki 1◦ − 4◦ , to musimy koniecznie ograniczyć dziedzine, tej funkcji:
nie możemy określać jej dla wszystkich zbiorów. Z drugiej strony chcemy, by dziedzina miary byla
możliwie duża.
Zdefiniujemy teraz ciala i przeliczalnie addytywne ciala zbiorów.
Definicja ciala i przeliczalnie addytywnego ciala ( σ –ciala) zbiorów
Rodzina F ⊆ 2X podzbiorów przestrzeni X nazywana jest cialem zbiorów wtedy i tylko wtedy, gdy
spelnione sa, jednocześnie warunki:
1◦ ∅ ∈ F ,
2◦ A ∈ F ⇒ X \ A ∈ F ,
3◦ A, B ∈ F ⇒ A ∪ B ∈ F .
Jeśli dodatkowo spelniony jest czwarty warunek:
◦
4 Dla dowolnych A1 , A2 , . . . ∈ F zbiór
∞
[
An ∈ F ,
n=1
90
rodzine, F nazywamy przeliczalnie addytywnym cialem zbiorów.
Przyklady
1. Rodzina 2X jest przeliczalnie addytywnym cialem zbiorów.
2. Rodzina zlożona ze wszystkich podzbiorów skończonych przestrzeni X i ich uzupelnień jest
cialem zbiorów, które nie jest cialem przeliczalnie addytywnym, jeśli X ma nieskończenie wiele
elementów.
3. Rodzina zlożona ze wszystkich podzbiorów skończonych oraz przeliczalnych przestrzeni X i ich
uzupelnień jest cialem przeliczalnie addytywnym.
4. Jeśli F ⊆ 2X jest rodzina, zbiorów, to cze,ść wspólna wszystkich cial zbiorów zawieraja,cych
rodzine, F jest cialem zbiorów – wynika to od razu z definicji ciala zbiorów. To samo jest
prawda, w przypadku cial przeliczalnie addytywnych.
5. Jeśli X jest przestrzenia, topologiczna, (np. metryczna,), to najmniejsze przeliczalnie addytywne
cialo zbiorów zawieraja,ce wszystkie zbiory otwarte jest oznaczana symbolem B(X) i nazywana
rodzina, zbiorów borelowskich ( E.Borel byl francuskim matematykiem, jednym z glównych
twórców teorii miary). Mówia,c o najmniejszym przeliczalnie addytywnym ciele mamy na myśli
najmniejsze w sensie inkluzji, myślimy wie,c o cze,ści wspólnej wszystkich cial przeliczalnie addytywnych zawieraja,cych wszystkie zbiory otwarte.
Zadanko 1.
Wykazać, że B(IRk ) jest rodzina, mocy kontinuum.
Można to zrobić np. definiuja,c kolejno rodziny zbiorów: pierwsza zbiory otwarte, druga – zbiory
otwarte i ich uzupelnienia, trzecia – przeliczalne sumy elementów drugiej itd. Trzeba użyć liczb
porza,dkowych i wykazać, że ta procedura ma koniec, oczywiście stosujemy indukcje, pozaskończona,.
Liczb porza,dkowych nieskończonych trzeba użyć ze wzgle,du na przeliczalne sumowania.
Zadanko 2.
Wykazać, że liczba elementów skończonego ciala zbiorów jest pote,ga, 2 . Czy istnieje
przeliczalne σ –cialo zbiorów? Podać przyklad przeliczalnego ciala zbiorów.
Definicja miary zewne,trznej
Miara, zewne,trzna, nazywamy dowolna funkcje, µ∗ : 2X −→ [0, ∞] , która spelnia naste,puja,ce warunki:
1◦ µ∗ (∅) = 0 ,
2◦ A ⊆ B =⇒ µ∗ (A) ≤ µ∗ (B) ,
S P ∗
3◦ µ∗
An ≤
µ (An ) dla dowolnych zbiorów A1 , A2 , . . . ⊆ X .
Definicja miary (przeliczalnie addytywnej)
Niech F ⊆ 2X be,dzie przeliczalnie addytywnym cialem zbiorów. Miara, (na F ) nazywamy dowolna
funkcje, µ: F −→ [0, ∞] , która spelnia naste,puja,ce warunki:
1◦ µ(∅) = 0 ,
2◦ µ
∞
[
∞
X
An =
µ(An ) dla dowolnych parami rozla,cznych zbiorów A1 , A2 , . . . ∈ F .
n=1
n=1
Czasem warunek 2◦ zaste,powany jest slabszym: ża,damy by byl równość zachodzila, jedynie w
91
przypadku rodzin skończonych. W takich sytuacjach mówimy o skończenie addytywnej mierze dla
odróżnienia od miary, która ma być przeliczalnie addytywna.
Przyklad
Niech µ(A) oznacza liczbe, elementów zbioru A , jeśli A jest zbiorem skończonym. W przypadku
zbioru nieskończonego przyjmujemy µ(A) = ∞ . Jest jasne, że tak zdefiniowana funkcja jest miara,.
Nazywana jest miara, licza,ca, na przeliczalnie addytywnym ciele wszystkich podzbiorów ustalonego
zbioru X .
Twierdzenie o monotoniczności miary.
Jeśli µ jest miara, A, B ∈ F oraz A ⊆ B , to µ(A) ≤ µ(B) .
Dowód. Przyjmujemy A1 = A , A2 = B \ A , An = ∅ dla n = 3, 4, . . . i korzystamy z
równości:
µ(B) = µ
∞
[
∞
X
An =
µ(An ) = µ(A1 )+µ(A2 )+µ(A3 )+· · · = µ(A)+µ(B\A)+µ (∅)+· · · ≥ µ(A).
n=1
n=1
Twierdzenie o przeliczalnej podaddytywności miary
∞
∞
[
X
Jeśli An ∈ F dla n = 1, 2, . . . , to µ
An ≤
µ(An ) .
n=1
n=1
Dowód. Niech Bn = An \ (A1 ∪ A2 ∪ . . . ∪ An−1 ) dla n = 2, 3, . . . i niech B1 = A1 . Dla
każdego n zachodzi równość B1 ∪ B2 ∪ . . . ∪ Bn = A1 ∪ A2 ∪ . . . ∪ An . Zbiory B1 , B2 , . . . sa,
∞
∞
∞
∞
[
[
X
X
parami rozla,czne, zatem µ
An = µ
Bn =
µ(Bn ) ≤
µ(An ) na mocy twierdzenia o
n=1
n=1
n=1
n=1
monotoniczności miary.
Twierdzenie o mierze sumy wste,puja,cego cia,gu zbiorów
∞
[
Jeśli An ∈ F i An ⊆ An+1 dla n = 1, 2, . . . , to µ
An = lim µ(An ) .
n=1
n→∞
Dowód. Niech Bn = An \ An−1 dla n = 2, 3, . . . i niech B1 = A1 . Zachodzi równość
An = B1 ∪ B2 ∪ . . . ∪ Bn . Zbiory B1 , B2 , . . . sa, parami rozla,czne, zatem
∞
∞
∞
[
[
X
µ
An = µ
Bn =
µ(Bn ) = lim µ(B1 ) + µ(B2 ) + · · · + µ(Bn ) = lim µ(An ) .
n=1
n=1
n=1
n→∞
n→∞
Twierdzenie o mierze cze,ści wspólnej zste,puja,cego cia,gu zbiorów
Jeśli An ∈ F i An ⊇ An+1 dla n = 1, 2, . . . i µ(An0 ) < ∞ dla pewnego n0 , to zachodzi równość
∞
\
µ
An = lim µ(An ) .
n=1
n→∞
Dowód. Niech A∞ =
∞
\
∞
\
An =
An , Bn = An0 \ An . Zachodza, inkluzje ∅ = Bn0 ⊆
n=1
n=n0
Bn0 +1 ⊆ . . . oraz równość An0 \ A∞ = Bn0 ∪ Bn0 +1 ∪ . . . , zatem µ(An0 \ A∞ ) = lim µ(Bn ) . Dla
n→∞
92
n ≥ n0 zachodza, równości µ(An0 ) = µ(A∞ ) + µ(An0 \ A∞ ) oraz µ(An0 ) = µ(An ) + µ(An0 \ An ) i
wobec tego
∞
[
µ(An0 ) − µ(An ) = µ(An0 \ An ) = µ(Bn ) −−−−→ µ
Bn = µ(An0 \ A∞ ) = µ(An0 ) − µ(A∞ ) ,
n→∞
n=n0
zatem lim µ(An ) = µ(A∞ ) .
n→∞
Zadanko 3.
Podać przyklad świadcza,cy o tym, że bez zalożenia, że miara co najmniej jednego
ze zbiorów A1 , A2 , . . . jest skończona teza twierdzenia o mierze cze,ści wspólnej zste,puja,cego cia,gu
zbiorów przestaje być prawdziwa.
Zajmiemy sie, teraz ważnym twierdzeniem pozwalaja,cym ograniczyć dziedzine, miary zewne,trznej
tak, by na mniejszej dziedzinie (przeliczalnie addytywnym ciele zbiorów) miara zewne,trzna stala sie,
miara,. Zaczniemy od definicji.
Warunek Carathéodory’ego
Zbiór A spelnia warunek Carathéodory’go wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego zbioru Z ⊆ X
zachodzi równość
µ∗ (Z) = µ∗ (Z ∩ A) + µ∗ (Z \ A).
(car)
∗
Mówimy wtedy, że zbiór A jest µ –mierzalny lub mierzalny w sensie Carathéodory’ego. Rodzine,
zbiorów µ∗ –mierzalnych oznaczać be,dziemy symbolem F(µ∗ ) .
Twierdzenie Carathéodory’ego
Zbiory mierzalne w sensie Carathéodory’ego tworza, przeliczalnie addytywne cialo zbiorów. µ∗ jest
miara, na tym σ –ciele.
Przed podaniem dowodu zwróćmy uwage, na to, że nierówność µ∗ (Z) ≤ µ∗ (Z ∩ A) + µ∗ (Z \ A)
jest prawdziwa zawsze, bo Z = (Z ∩ A) ∪ (Z \ A) . Wobec tego dowodza,c, że dla jakiegoś zbioru A
spelniony jest warunek Carathéodory’ego be,dziemy wykazywać, że µ∗ (Z) ≥ µ∗ (Z ∩ A) + µ∗ (Z \ A) .
Dowód. Mamy µ∗ (Z∩∅)+µ∗ (Z\∅) = 0+µ∗ (Z) = µ∗ (Z) , a to oznacza, że zbiór pusty jest mierzalny w sensie Carathéodory’ego. Jeśli µ∗ (Z) = µ∗ (Z∩A)+µ∗ (Z\A) , to µ∗ (Z) = µ∗ (Z\A)+µ∗ (Z∩
A)
=
= µ∗ (Z \ A) + µ∗ (Z ∩ A) = µ∗ Z ∩ (X \ A) + µ∗ (Z \ (X \ A)) . Dowodzi to, że jeśli zbiór A
jest mierzalny w sensie Carathéodory’ego, to również jego dopelnienie X \ A jest mierzalne w sensie
Carathéodory’ego. Teraz wykażemy, że suma A ∪ B dwóch zbiorów A i B mierzalnych w sensie
Carathéodory’ego jest mierzalna w sensie Carathéodory’ego. Mamy
(car)
µ∗ (Z) ≤ µ∗ (A ∪ B) ∩ Z + µ∗ Z \ (A ∪ B) ≤ µ∗ (A ∩ Z) + µ∗ B ∩ (Z \ A) + µ∗ (Z \ A) \ B ===
B
(car)
= µ∗ (A ∩ Z) + µ∗ (Z \ A) === = µ∗ (Z) .
A
Zalóżmy teraz, że A, B ∈ F(µ∗ ) sa, zbiorami rozla,cznymi. Dla dowolnego zbioru Z zachodzi równość
(car)
µ∗ Z ∩ (A ∪ B) === µ∗ Z ∩ (A ∪ B) ∩ A + µ∗ Z ∩ (A ∪ B) \ A = µ∗ (Z ∩ A) + µ∗ Z ∩ B .
A
W szczególności µ∗ jest skończenie addytywna na F(µ∗ ) (miara sumy dwóch rozla,cznych zbiorów
93
z F(µ∗ ) to suma ich miar).
Ponieważ suma dwóch zbiorów mierzalnych w sensie Carathéodory’ego jest zbiorem mierzalnym w sensie Carathéodory’ego, wie,c również suma dowolnej skończonej liczby zbiorów mierzalnych w sensie Carathéodory’ego ma te, wlasność – latwa indukcja. Jeśli A, B ∈ F(µ∗ ) , to również
A \ B = A ∩ (X \ B) = X \ (X \ A) ∪ B ∈ F (µ∗ ) , zatem również różnica zbiorów mierzalnych
w sensie Carathéodory’ego jest zbiorem mierzalnym w sensie Carathéodory’ego. „Po drodze” wykazaliśmy, że również cze,ść wspólna dwóch zbiorów mierzalnych w sensie Carathéodory’ego jest
zbiorem mierzalnym w sensie Carathéodory’ego.
Zalóżmy teraz, że An ∈ F (µ∗ ) dla każdej liczby naturalnej n . Wykażemy, że zbiór
∞
[
An jest
n=1
mierzalny w sensie Carathéodory’ego. Zaczniemy od przedstawienia sumy
∞
[
An w postaci sumy
n=1
parami rozla,cznych zbiorów mierzalnych w sensie Carathéodory’ego. Niech B1 = A1 , B2 = A2 \A1 ,
B3 = A3 \(A1 ∪A2 ) , B4 = A4 \(A1 ∪A2 ∪A3 ) , . . . Zbiory B1 , B2 , . . . sa, oczywiście parami rozla,czne
∞
[
i mierzalne w sensie Carathéodory’ego. Oczywiście
n=1
An =
∞
[
Bn , również
n=1
m
[
An =
n=1
m
[
Bn dla
n=1
każdej liczby calkowitej m ≥ 1 . Mamy wie,c:
µ∗ (Z) = µ∗ Z ∩ (B1 ∪ B2 ∪ . . . ∪ Bm ) + µ∗ Z \ (B1 ∪ B2 ∪ . . . ∪ Bm ) =
= µ∗ (Z ∩ B1 ) + µ∗ (Z ∩ B2 ) + · · · + µ∗ (Z ∩ Bm ) + µ∗ Z \ (B1 ∪ B2 ∪ . . . ∪ Bm ) ≥
≥ µ∗ (Z ∩ B1 ) + µ∗ (Z ∩ B2 ) + · · · + µ∗ (Z ∩ Bm ) + µ∗ Z \ (B1 ∪ B2 ∪ . . .)
dla każdej liczby naturalnej m . Wobec tego zachodzi
µ∗ (Z) ≥ µ∗ (Z ∩ B1 ) + µ∗ (Z ∩ B2 ) + · · · + µ∗ Z \ (B1 ∪ B2 ∪ . . .) =
=
∞
X
∞
∞
∞
[
[
[
µ∗ (Z ∩ Bn ) + µ∗ Z \
Bn ≥ µ∗ Z ∩
Bn + µ∗ Z \
Bn ≥ µ∗ (Z) ,
n=1
n=1
– przedostatnia nierówność wynika z tego, że
n=1
∞
[
n=1
(Z ∩ Bn ) = Z ∩
n=1
∞
[
Bn i z podaddytywności
n=1
∞
∞
[
[
funkcji µ∗ . Sta,d zaś wynika, że µ∗ (Z) = µ∗ Z ∩
Bn + µ∗ Z \
Bn . To oznacza, że zbiór
n=1
∞
[
n=1
Bn =
∞
[
n=1
An jest mierzalny w sensie Carathéodory’ego. Z powyższych nierówności wynika też,
n=1
∞
∞
∞
∞
[
X
X
[
Bn =
µ∗ Bn
Bn =
µ∗ Z ∩ Bn dla każdego zbioru Z , wie,c również µ∗
że µ∗ Z ∩
n=1
(przyje,liśmy Z =
n=1
n=1
∞
[
n=1
Bn ). Oznacza to, że funkcja µ∗ rozpatrywana na zbiorach spelniaja,cych
n=1
warunek Carathéodory’ego jest miara, (przeliczalnie addytywna,).
94
Miara otrzymana przez zmniejszenie dziedziny miary zewne,trznej µ∗ oznaczana be,dzie symbolem µ .
Stwierdzenie 1.
Jeśli µ∗ (A) = 0 , to A ∈ F (µ∗ ) .
µ∗ (Z) ≤ µ∗ (A ∩ Z) + µ∗ (Z \ A) ≤ µ∗ (A) + µ∗ (Z \ A) = µ∗ (Z \ A) ≤ µ∗ (Z) , zatem
Dowód.
zachodzi równość µ∗ (Z) = µ∗ (A ∩ Z) + µ∗ (Z \ A) , a to oznacza, że A ∈ F(µ∗ ) .
Zanim przejdziemy do konstrukcji najważniejszej – z punktu widzenia tego wykladu – miary
wykażemy jeszcze jedno twierdzenie, które pozwala wykazywać, że w przypadku „porza,dnych” miar
na przestrzeniach metrycznych zbiorów mierzalnych jest sporo, a wlaściwie trudno spotkać zbiory
niemierzalne.
Niech X be,dzie przestrzenia, metryczna, z metryka, % . Jeżeli A, B ⊆ X , to odste,p zbiorów A i
B definiujemy jako dist(A, B) = inf{%(a, b):
a ∈ A, b ∈ B} . Jasne jest, że jeśli A ∩ B 6= ∅ , to
dist(A, B) = 0 , zatem funkcja dist nie jest metryka,. Jeśli p ∈ X , to definiujemy odleglość punktu p
od zbioru A wzorem %(p, A) = dist({p}, A) .
Definicja miary metrycznej
Miara zewne,trzna nazywana jest miara, metryczna, wtedy i tylko wtedy, gdy z tego, że dist(A, B) > 0
wynika, że µ∗ (A ∪ B) = µ∗ (A) + µ∗ (B) .
Twierdzenie o mierzalności zbiorów borelowskich
Jeśli µ∗ jest miara, metryczna, określona, na 2X , to zbiory borelowskie sa, mierzalne w sensie Carathéodory’ego.
Dowód. Wystarczy wykazać, że zbiory otwarte sa, mierzalne w sensie Carathéodory’ego.
Zalóżmy, że zbiór G jest otwarty. Niech Gn = {p ∈ X:
otwartym, wie,c
∞
[
%(p, X \ G) >
1
n}.
Ponieważ G jest zbiorem
Gn = G . Mamy też Gn ⊆ Gn+1 . Niech Dn = Gn+1 \ Gn dla n = 1, 2, . . . oraz
n=1
D0 = G1 . Z tej definicji wynika od razu, że zbiory D0 , D1 , D2 , . . . sa, parami rozla,czne oraz, że
ich suma, jest zbiór G . Jeśli |i − j| ≥ 2 , to dist(Di , Dj ) ≥
|i−j|−1
(i+1)(j+1)
> 0.
Jeśli µ∗ (Z) = ∞ , to ponieważ ∞ = µ∗ (Z) ≤ µ∗ (G ∩ Z) + µ∗ (Z \ G) ≤ ∞ , wie,c zachodzi
równość µ∗ (Z) = µ∗ (G∩Z)+µ∗ (Z \G) . Zalóżmy teraz dla odmiany, że µ∗ (Z) < ∞ . Zachodza, wzory
µ∗ (Z ∩ D1 ) + µ∗ (Z ∩ D3 ) + · · · +µ∗ (Z ∩ D2n+1 ) = µ∗ (Z ∩ D1 ) ∪(Z ∩D3 ) ∪ . . .∪ (Z ∩ D2n+1 ) ≤ µ∗ (Z)
oraz µ∗ (Z ∩D0 )+µ∗ (Z ∩D2 )+· · ·+µ∗ (Z ∩D2n ) = µ∗ (Z ∩D0 )∪(Z ∩D2 )∪. . .∪(Z ∩D2n ) ≤ µ∗ (Z) .
Wynika z nich, że
∞
X
µ∗ (Z ∩ Dn ) ≤ 2µ∗ (Z) < ∞ . Mamy też G \ Gn = Dn ∪ Dn+1 ∪ . . . , zatem
n=0
µ∗ Z ∩ (G \ Gm ) ≤
∞
X
n=m
µ∗ (Z ∩ Dn ) −−−−−→ 0 (reszta szeregu zbieżnego da,ży do 0 ). Z nierówności
m→∞
1
n
> 0 i metryczności miary zewne,trznej µ∗ wynika, że
µ∗ (Z ∩ Gn ) + µ∗ (Z \ G) = µ∗ (Z ∩ Gn ) ∪ (Z \ G) ≤ µ∗ (Z) , zatem
dist(Z ∩ Gn , Z \ G) ≥
95
µ∗ (Z) ≤ µ∗ (Z ∩ G) + µ∗ (Z \ G) = µ∗ (Z ∩ Gm ) ∪ (Z ∩ (G \ Gm )) + µ∗ (Z \ G) ≤
≤ µ∗ (Z ∩ Gm ) + µ∗ Z ∩ (G \ Gm ) + µ∗ (Z \ G) = µ∗ (Z ∩ Gm ) ∪ (Z \ G) + µ∗ Z ∩ (G \ Gm ) ≤
≤ µ∗ (Z) + µ∗ Z ∩ (G \ Gm ) −−−−−→ µ∗ (Z) .
m→∞
Sta,d wynika od razu, że µ∗ (Z) = µ∗ (Z ∩ G) + µ∗ (Z \ G) , a to oznacza, że zbiór G jest mierzalny.
Dowód zostal zakończony.
Mamy już narze,dzia pozwalaja,ce na skonstruowanie naturalnej miary w przestrzeni IRk . W zeszlym roku omówiony byl pocza,tek konstrukcji w przypadku k = 1 . Nie zaje,liśmy sie, wtedy w ogóle
kwestiami przeliczalnej addytywności miary. Namiastka, bylo stwierdzenie, że suma przeliczalnie
wielu zbiorów miary 0 jest zbiorem miary 0 oraz stwierdzenie, że jeśli przedzialy niezdegenerowane
Ij pokrywaja, jakiś przedzial P , to suma dlugości przedzialów Ij jest nie mniejsza niż dlugość
przedzialu P . Uogólnimy teraz te stwierdzenia dopuszczaja,c wymiar wie,kszy niż 1 oraz zbiory
mierzalne, wie,c nieomal dowolne.
Definicja cze,ściowego porza,dku w IRk
Niech x, y ∈ IRk . Definiujemy: x ≺ y wtedy i tylko wtedy, gdy xi < yi dla i = 1, 2, . . . , k oraz
x y wtedy i tylko wtedy, gdy xi ≤ yi dla i = 1, 2, . . . , k .
Jest rzecza, oczywista,, że relacje ≺ oraz to relacje cze,ściowego porza,dku w przestrzeni
k –wymiarowej.
Definicja przedzialu k –wymiarowego
Zalóżmy, że p ≺ q . Przedzialem k –wymiarowym otwartym o końcach p, q ∈ IRk nazywamy zbiór
tych x ∈ IRk , dla których zachodzi nierówność podwójna p ≺ x ≺ q . Oznaczamy go symbolem
(p, q)k . Przedzialem domknie,tym o końcach p, q ∈ IRk nazywamy {x ∈ IRk :
p x q} ,
oznaczamy go symbolem [p, q]k
Jeśli k = 2 , to przedzialami otwartymi sa, prostoka,ty bez brzegu o bokach równoleglych do osi
ukladu wspólrze,dnych, przedzialy domknie,te to prostoka,ty z brzegami o bokach równoleglych do
osi ukladu wspólrze,dnych. W przypadku k = 3 mamy do czynienia z prostopadlościanami, których
krawe,dzie sa, równolegle do osi ukladu wspólrze,dnych. Oczywiście przedzialy otwarte k –wymiarowe
sa, zbiorami otwartymi w IRk , natomiast przedzialy domknie,te sa, zbiorami domknie,tymi, a ponieważ
sa, też ograniczone wie,c sa, zbiorami zwartymi.
Definicja zawartości ( k –wymiarowej obje,tości) przedzialu
Zawartość przedzialu R
♣
o końcach p, q to liczba vol(R) = (q1 − p1 )(q2 − p2 ) . . . (qk − pk ) .
Stosować be,dziemy te, definicje, zarówno w odniesieniu do przedzialów domknie,tych jak i do
otwartych.
Definicja k –wymiarowej miary zewne,trznej Lebesgue’a
P
= inf
{Rj }j – rodzina przedzialów pokrywajaca zbiór A .
j vol(Rj ):
`∗k (A)
♣
Pytanie: za ile lat ktoś przetlumaczy slowo rectangle na np. rektangiel ?
96
P
Rj jest nieprzeliczalna, to
j vol(Rj ) = ∞ , bo co najmniej jeden ze zbiorów
vol(Rj ) ≥ n1 musi być nieprzeliczalny (nam starczylby nieskończony), wie,c jeśli `∗k (A) < ∞ ,
Jeśli rodzina
Rj :
to dla każdej liczby ε > 0 istnieje przeliczalna rodzina przedzialów {Rj } pokrywaja,ca zbiór A taka,
P
∗
∗
że
j vol(Rj ) < `k (A) + ε . Jeśli `k (A) = ∞ , to możemy każdy z przedzialów pokrywaja,cych zbiór
A zasta,pić zawieraja,cym go przedzialem otwartym a z pokrycia przedzialami otwartymi można –
jak wiadomo – wybrać podpokrycie przeliczalne, zreszta, można zalożyć od razu, że te nieco wie,ksze
przedzialy otwarte maja, końce w Qk , a takich przedzialów jest przeliczalnie wiele. Oznacza to, że
w definicji można rozpatrywać tylko pokrycia przeliczalne. Ponieważ zawartość przedzialu otwartego równa jest zawartości przedzialu domknie,tego (o tych samych końcach), wie,c można zasta,pić
przedzialy otwarte domknie,tymi nie zmieniaja,c sumy ich zawartości. Oznacza to, że w definicji
miary `∗k można rozważać jedynie przedzialy domknie,te. Można też ograniczyć sie, do przedzialów
P
∗
otwartych. Jeśli bowiem ε > 0 i
n vol(Rn ) ≤ `k (A) + ε , przy czym przedzialy numerowane
en
sa, liczbami naturalnymi, to zaste,puja,c przedzial Rn wspólśrodkowym przedzialem otwartym R
ε
en ) < vol(Rn ) + n+1
en } przedzialów otwartych taka, że
takim, że vol(R
otrzymujemy rodzine, {R
,
2
P
P
∗
e
n vol(Rn ) ≤ `k (A) + 2ε . Wynika sta,d, że kres dolny sum
n vol(Rn ) jest niezależny od tego, czy
rozpatrujemy tylko przedzialy otwarte, czy tylko przedzialy domknie,te, czy też przedzialy wszystkich
możliwych rodzajów.
Stwierdzenie 2.
`∗k
jest miara, zewne,trzna, na IRk .
Dowód.
`∗k (∅) = 0 , bo dowolna rodzina przedzialów jest pokryciem zbioru pustego. Jeśli
A ⊆ B , to każde pokrycie zbioru B przedzialami jest również pokryciem zbioru A , zatem `∗k (A) ≤
`∗k (B) . Niech teraz A1 , A2 ,. . . oznaczaja, dowolne podzbiory przestrzeni IRk . Niech {Rn,m }m∈IN
P
ε
∗
oznacza taka, rodzine, przedzialów pokrywaja,ca, zbiór An , że
m vol(Rn,m ) ≤ `k (An ) + 2n . Wtedy
[
rodzina {Rn,m }n,m∈IN pokrywa zbiór
An , zatem
n∈IN
`∗k
[
An ≤
P
n,m∈IN
vol(Rn,m ) ≤
P
`k ∗ (An ) +
ε
2n
=
P
`k ∗ (An ) + ε .
n∈IN
Ponieważ nierówność ta ma miejsce dla każdej liczby ε > 0 , wie,c `∗k
[
P
An ≤ `∗k (An ) .
n∈IN
Stwierdzenie 3.
Niech p ≺ q i niech dla każdego j ∈ {1, 2, 3, . . . , k} dane be,da, liczby
pj = xj,0 < xj,1 < xj,2 < . . . < xj,mj = qj .
Niech rw oznaczaja, punkty przestrzeni IRk numerowane k –wskaźnikami w = (w1 , w2 , . . . , wk ) przy
czym wj ∈ {0, 1, . . . , mj } a kolejnymi wspólrze,dnymi punktu rw sa, liczby x1,w1 , x2,w2 , . . . , xk,wk .
Niech R be,dzie rodzina, wszystkich takich przedzialów [rw , rw0 ]k , że dla każdego j ∈ {1, 2, 3, . . . , k}
zachodzi równość wj0 − wj = 1 . Wtedy:
97
[
wne,trza przedzialów z rodziny R sa, parami rozla,czne,
R = [p, q]k i
X
vol(R) = vol([p, q]k ) .
R∈R
R∈R
Dowód. Zacznijmy od wyjaśnienia: w treści tego stwierdzenia opisany zostal formalnie podzial przedzialu k –wymiarowego na mniejsze przedzialy powstaja,cy w wyniku podzielenia każdej
krawe,dzi „dużego” przedzialu na mniejsze przedzialy, j –ta, krawe,dź [pj , qj ] podzielono punktami
xj,1 , xj,2 , . . . , xj,mj −1 na mj mniejszych przedzialów jednowymiarowych, w wyniku tego wyjściowy
przedzial zostal podzielony na m1 ·m2 ·. . .·mk przedzialów. Każdy przedzialy z rodziny R to produkt
postaci [x1,i1 , x1,i1 +1 ]×[x2,i2 , x2,i2 +1 ]×. . .×[xk,ik , xk,ik +1 ] . Sta,d wynikaja, wszystkie cze,ści tezy tego
stwierdzenia. Wne,trza przedzialów z rodziny R sa, parami rozla,czne, bo jeśli przedzialy sa, różne, to
na którejś wspólrze,dnej wyste,puja, różne przedzialy jednowymiarowe, wie,c ich wne,trza sa, rozla,czne.
xj , czyli j –ta wspólrze,dna punktu x ∈ [p, q]k , należy do któregoś jednowymiarowego przedzialu
(jednego lub dwóch, wybieramy jeden), wie,c x jest elementem produktu tak wybranych jednowymiarowych przedzialików, wie,c [p, q]k jest suma, przedzialów rodziny R . Dzie,ki rozdzielności mnożenia
wzgle,dem dodawania zachodzi równość
mj
k
k X
Y
Y
vol [p, q] =
(qj − pj ) =
(xj,i+1 − xj,i ) =
j=1
j=1 i=0
X
k
Y
(xj,ij +1 − xj,ij ) =
{i1 ,i2 ,...ik }∈I j=1
X
vol(R)
R∈R
gdzie I = {0, 1, . . . , m1 − 1} × {0, 1, . . . , m2 − 1} × . . . × {0, 1, . . . , mk − 1} .
Stwierdzenie 4.
`∗k jest miara, zewne,trzna, metryczna, na IRk .
Dowód. Zalóżmy, że dist(A, B) = δ > 0 . Ponieważ `∗k jest miara, zewne,trzna,, wie,c `∗k (A ∪
B) ≤ `∗k (A) + `∗k (B) . Trzeba wykazać nierówność przeciwna,. Niech ε be,dzie dowolna, liczba, do[
datnia,. Zalóżmy, że R jest rodzina, k –wymiarowych przedzialów taka,, że A ∪ B ⊆
R i
R∈R
X
vol(R) ≤ `∗k (A∪B)+ε . Możemy każdy przedzial z rodziny R podzielić na przedzialy o średnicach
R∈R
δ
2
i usuna,ć z powstalej rodziny przedzialy rozla,czne ze zbiorem A∪B .
X
X
Otrzymujemy rodzine, R0 przy czym
vol(R) ≤
vol(R) ≤ `∗k (A ∪ B) + ε . Żaden przedzial z
(przeka,tnych) mniejszych niż
R∈R0
R∈R
0
rodziny R nie przecina jednocześnie A i B , wie,c R0 rozpada sie, na dwie rozla,czne rodziny: R0A i
R0B , pierwsza zlożona jest z przedzialów przecinaja,cych zbiór A , a druga – z przecinaja,cych zbiór
B . Wynika sta,d, że
A⊆
[
R,
B⊆
R∈R0A
`∗k (A) + `∗k (B) ≤
X
R∈R0A
vol(R) +
[
R oraz
R∈R0B
X
vol(R) =
R∈R0B
X
vol(R) ≤ `∗k (A ∪ B) + ε .
R∈R0
Wobec tego, że ε jest tu dowolna, liczba, dodatnia, możemy napisać: `∗k (A) + `∗k (B) ≤ `∗k (A ∪ B) .
Miara zewne,trzna `∗k ograniczona do zbiorów mierzalnych w sensie Carathéodory’ego nazywana
98
jest k –wymiarowa, miara, Lebesgue’a, a zbiory mierzalne w sensie `∗k – zbiorami mierzalnymi w
sensie Lebesgue’a. Przeliczalnie addytywne cialo podzbiorów przestrzeni IRk mierzalnych w sensie
Lebesgue’a oznaczać be,dziemy przez Lk . Z twierdzenia o mierzalności zbiorów borelowskich dla
miary metrycznej i z tego, że `∗k jest miara, metryczna, wynika, że wszystkie zbiory borelowskie w
IRk sa, mierzalne w sensie Lebesgue’a, czyli Lk ⊇ B(IRk ) . W rzeczywistości ta inkluzja równościa,
nie jest – to wniosek z twierdzenia Vitali’ego. Prawdziwe jest:
Twierdzenie charakteryzuja,ce zbiory mierzalne w sensie Lebesgue’a
Niech A ⊆ IRk . Naste,puja,ce warunki sa, równoważne
0◦ zbiór A ⊆ IRk jest mierzalny w sensie Lebesgue’a;
1◦ dla każdej liczby dodatniej ε istnieje zbiór otwarty G ⊆ IRk taki, że A ⊆ G oraz `∗k (G\A) < ε ;
2◦ istnieje zbiór G typu Gδ (tzn. cze,ść wspólna przeliczalnej rodziny zbiorów otwartych) taki, że
A⊆G
`∗k (G \ A) = 0 ;
i
3◦ dla każdej liczby ε > 0 istnieje zbiór domknie,ty F ⊆ IRk taki, że F ⊆ A oraz `∗k (A \ F ) < ε ;
4◦ istnieje zbiór F typu Fσ (tzn. suma przeliczalnej rodziny zbiorów domknie,tych) taki, że
F ⊆A
`∗k (A \ F ) = 0 .
i
Dowód. Niech A1 = A ∩ B(0, 1) , A2 = A ∩ B(0, 2) \ B(0, 1) , A3 = A ∩ B(0, 3) \ B(0, 2) ,
. . . Jeśli A jest zbiorem mierzalnym, to również zbiory A1 , A2 , . . . sa, mierzalne, bo kule otwarte sa,
mierzalne w sensie Lebesgue’a, a dodaja,c i odejmuja,c zbiory mierzalne otrzymujemy w wyniku zbiory
mierzalne. Niech ε > 0 . Wykażemy, że dla każdej liczby naturalnej n istnieje zbiór otwarty Gn ⊇ An
taki, że `k (Gn \An ) <
ε
2n
. W definicji miary zewne,trznej `∗k można rozważać jedynie pokrycia zbioru
An przedzialami k –wymiarowymi otwartymi. Istnieja, wie,c przedzialy otwarte Rn,j , których suma
P
S
ε
ε
∗
Gn = j Rn,j pokrywa zbiór An takie, że
j vol(Rn,j ) ≤ `k (An ) + 2n = `k (An ) + 2n . Mamy
P
P
wie,c `k (An ) ≤ `k (Gn ) ≤ j `k (Rn,j ) ≤ j vol(Rn,j ) ≤ `k (An ) + 2εn ≤ `k B(0, n) + 2εn < ∞ .
Wobec tego, że zbiory An i Gn ⊇ An sa, mierzalne i wie,kszy z nich ma miare, skończona, możemy
S
napisać `k (Gn \ An ) = `k (Gn ) − `k (An ) ≤ 2εn . Przyjmujemy teraz G = n Gn . Jasne jest, że
P
P ε
◦
`k (G \ A) ≤
zostal wywnioskowany z mierzalności
n 2n = ε . Warunek 1
n `k (Gn \ An ) ≤
zbioru A .*
Teraz zakladamy, że dla pewnego zbioru A spelniony jest warunek 1◦ . Niech Gn oznacza zbiór
T
otwarty taki, że `k (Gn \ A) < n1 i Gn ⊇ A . Niech G = Gn . Oczywiście G jest zbiorem typu Gδ .
Mamy też `∗k (G \ A) ≤ `∗k (Gn \ A) <
1
−−−→ 0 ,
n −
n→∞
◦
zatem `∗k (G \ A) = 0 .
Zalóżmy teraz, że spelniony jest warunek 2 . Zbiór G jest mierzalny, bo jest borelowski. Zbiór G\A
jest mierzalny, bo `∗k (G \ A) = 0. Wobec tego zbiór A = G \ (G \ A) też jest mierzalny.
Warunek 1◦ jest spelniony dla zbioru IRk \ A wtedy i tylko wtedy, gdy warunek 3◦ jest spelniony
dla zbioru A . Analogicznie warunek 2◦ jest spelniony dla zbioru IRk \ A wtedy i tylko wtedy, gdy
*
Zbiory An byly rozważane jedynie dlatego, że korzystaliśmy z równości µ(Gn \An )=µ(Gn )−µ(An ) , wie,c musieliśmy
wiedzieć, że µ(Gn )<∞ , w twierdzeniu nie zakladamy, że µ(A)<∞ .
99
warunek 4◦ jest spelniony dla zbioru A – wynika to natychmiast z tego, że uzupelnieniem zbioru
typu Gδ jest zbiór typu Fσ i odwrotnie (prawa de Morgana). Dowód zostal zakończony.
Z definicji miary wynika natychmiast, że dla każdego k –wymiarowego przedzialu R zachodzi
nierówność `k (R) ≤ vol(R) . Nie należy sie, w tym momencie spodziewać sensacji.
Twierdzenie o mierze przedzialu wielowymiarowego
`k (R) = vol(R) dla każdego k –wymiarowego przedzialu R .
Dowód. Wystarczy wykazać, że dla każdego rodziny {Rj } przedzialów otwartych pokryP
waja,cej przedzial domknie,ty R zachodzi nierówność
j vol(Rj ) ≥ vol(R) . Niech λ > 0 be,dzie
liczba, Lebesgue’a rodzina {Rj } pokrywaja,cej zbiór zwarty R , tzn. jeśli A ⊆ R i średnica diam(A)
zbioru A jest mniejsza niż λ , to istnieje j = j(A) takie, że A ⊆ Rj(A) . Podzielmy przedzial R na
nk przystaja,cych przedzialów Si wybrawszy n tak duże, by diam(Si ) < λ . Niech Tj oznacza sume,
wszystkich tych przedzialów Si , które sa, zawarte w Rj . Jasne jest, że Tj jest k –wymiarowym przedzialem domknie,tym lub zbiorem pustym. Z określenia wynika od razu, że Tj ⊆ Rj , wie,c vol(Tj ) ≤
S
vol(Rj ) . Ponieważ każdy przedzial Si jest zawarty w pewnym przedziale Rj , wie,c j Tj ⊇ R i
S
P
wobec tego j Tj = R . Ze stwierdzenia trzeciego wynika, że i vol(Si ) = vol(R) . Analogiczny wzór
zachodzi dla przedzialu Tj – w tym przypadku sumujemy zawartości tych przedzialów Si , których
P
P
P
suma, jest przedzial Tj . Wobec tego vol(R) = i vol(Si ) ≤ j vol(Tj ) ≤ j vol(Rj ) .*
Twierdzenie o niezmienniczości miary Lebesgue ze wzgle,du na przesunie,cia
Dla każdego zbioru A ∈ Lk i każdego wektora v ∈ IRk zachodzi równość `k (A) = `k (A + v) ,
A + v = {x + v:
x ∈ A} , czyli A + v to obraz A w przesunie,ciu o wektor v .
Dowód. Wynika to natychmiast z tego, że vol(R + v) = vol(R) dla każdego przedzialu
k –wymiarowego R : przesuwaja,c pokrycie zbioru A przedzialami o wektor v otrzymujemy pokrycie
zbioru A + v przedzialami, których suma zawartości jest taka sama jak przedzialów pokrywaja,cych
zbiór A , sta,d wynika, że `k (A + v) ≤ `k (A) , druga nierówność jest równie oczywista.
Niech Kk = [0, 1]k be,dzie kostka, jednostkowa, wymiaru k .
Twierdzenie o jednoznaczności miary Lebesgue’a
Zalóżmy, że µ jest miara, określona, na Lk taka,, że
0◦ µ(A) = µ(A + v) dla każdego A ∈ Lk i każdego v ∈ IRk (tzn. µ jest przesuwalna);
1◦ 0 < µ(R) < ∞ dla każdego przedzialu otwartego R ⊂ IRk (miara każdego k –wymiarowego
przedzialu jest skończona i dodatnia, czyli miary zbiorów zwartych sa, skończone, a otwartych
i niepustych – dodatnie).
Wtedy dla każdego zbioru A ∈ Lk zachodzi równość µ(A) = µ(Kk )`k (A) .
Dowód. (i) Niech A ⊆ IRk be,dzie podprzestrzenia, afiniczna, wymiaru < k . Wykażemy, że
µ(A) = 0 . Niech Am = A ∩ B(0, m) i niech v ∈ IRk be,dzie wektorem prostopadlym do A i niech
* Nie
P ma
i
żadnym podstaw do twierdzenia, że przedzialy Tj maja, rozla,czne wne,trza – nie musza, i dlatego nierówność
P
vol(Tj ) może być ostra!
vol(Si )≤
j
100
kvk = 1 . Niech Am,n = {x+ n1 v:
x ∈ Am } = Am + n1 v . Miara każdego ze zbiorów Am,1 , Am,2 ,. . .
równa jest µ(Am ) , bo miara µ jest przesuwalna. Ponieważ Am ⊆ B(0, n) , wie,c Am,n ⊆ B(0, m+1)
— przesune,liśmy zbiór Am o wektor o dlugości ≤ 1 . Jasne jest również, że Am,i ∩ Am,j = ∅ dla
P
i 6= j . Wobec tego µ(B(0, n + 1)) ≥ µ(∪n Am,n ) = n µ(Am,n ) = µ(Am ) + µ(Am ) + · · · . Ostatnia
suma jest skończona, a to jest możliwe jedynie wtedy, gdy µ(Am ) = 0 . Oczywiście ∪m Am = A ,
P
zatem µ(A) ≤ m µ(Am ) = 0 .
Niech Qn = { 2mn :
(ii)
m ∈ Z, n ∈ N} , Q0 jest wie,c zbiorem liczb calkowitych, Q1 jest zbiorem
zlożonym z liczb 0 , ± 12 , ±1 , ± 32 itd. Niech Kn be,dzie rodzina, kostek o krawe,dziach dlugości
1
2n
i końcach dwójkowo–wymiernych, tzn. przedzialów postaci [x, y]k takich, że x, y ∈ Qkn (pote,ga w
P
sensie iloczynu kartezjańskiego), przy czym yj − xj = 21n dla j = 1, 2, . . . , k . Niech K = n Kn .
Wykażemy, że
każdy niepusty zbiór otwarty G można przedstawić w postaci sumy kostek należa,cych do K o
wne,trzach parami rozla,cznych.
Niech Gn oznacza sume, kostek z Kn zawartych w zbiorze otwartym G . Ponieważ każda kostka z
Kn jest suma, kostek z Kn+1 (tj. maja,cych dwa razy krótsze krawe,dzie), wie,c Gn ⊆ Gn+1 . Jeśli
p ∈ G , to istnieje liczba r > 0 taka, że B(p, r) ⊆ G . Niech n be,dzie liczba, naturalna, tak duża,,
że
√
k
2n
< r . Istnieje kostka K ∈ Kn zawieraja,ca punkt p . Jest ona zawarta w kuli B(p, r) , bo
√
k
2n
< r . Wynika sta,d, że dla każdego p ∈ G znajdzie sie, n ∈ N takie, że p ∈ Gn .
S
Oznacza to, że n Gn = G . Jasne jest też, że każdy ze zbiorów Gn jest suma, kostek o wne,trzach
diam(K) =
parami rozla,cznych, Gn+1 powstaje z Gn przez dola,czenie do Gn tych kostek z Kn+1 , które nie
sa, zawarte w Gn , ale sa, zawarte w G .
(iii)
Miary wszystkich kostek z Kn sa, równe µ [0, 21n ]k
– wynika to od razu z tego, że miara
µ jest przesuwalna i każda, kostke, z Kn można potraktować jako obraz kostki [0, 21n ]k w pewnym
przesunie,ciu.
(iv)
µ(Kk ) = µ([0, 1]k ) = 2k µ([0, 12 ]k ) = 22k µ([0, 212 ]k ) = 23k µ([0, 213 ]k ) = . . . , bo miara µ jest
przesuwalna, kostka [0, 12 ] sklada sie, z 2k obrazów kostki [0, 12 ] w odpowiednich przesunie,ciach i
których wne,trza sa, parami rozla,czne, itd. Z (i) wynika, że µ(Bd(K)) = 0 dla każdej kostki K ∈ K , co
pozwala na skorzystanie z przeliczalnej addytywności miary µ pomimo, że rozpatrywane kostki nie sa,
parami rozla,czne (staja, sie, parami rozla,czne po usunie,ciu zbioru miary 0 ). Sta,d natychmiast wynika,
że µ [0, 21 ]k ] = 21k µ(Kk ) = µ(Kk )`k [0, 21 ]k ] , µ 0, 212 ]k ]) = 212k µ(Kk ) = µ(Kk )`k [0, 212 ]k ] itd.
1
Ogólnie µ 0, 21m ]k ]) = 2mk
µ(Kk ) = µ(Kk )`k [0, 21m ]k ] . Wobec tego wzór µ(K) = µ(Kk )`(K)
zachodzi dla każdej kostki K ∈ K .
(v)
Ponieważ zbiór otwarty G można przedstawić jako sume, takiego zbioru H , że µ(H) = 0 =
`k (H) (suma brzegów kostek z poprzednich punktów) i przeliczalnej rodziny parami rozla,cznych
kostek otwartych z rodziny K , dla których dowodzony wzór ma miejsce, wie,c wzór jest prawdziwy
dla każdego zbioru otwartego. Wynika sta,d, że jest też prawdziwy dla zbiorów borelowskich, których
101
miara Lebesgue’a jest równa 0 : miara Lebesgue’a zbioru A równa jest 0 wtedy i tylko wtedy, gdy
dla każdej liczby ε > 0 istnieje zbiór otwarty Gε ⊇ A taki, że `k (Gε ) < ε . Wtedy µ(Gε ) < εµ(Kk ) ,
a ponieważ jest dla każdej liczby dodatniej ε , wie,c µ(A) = 0 . Jeśli B ∈ Rk jest zbiorem mierzalnym
a ε – liczba, dodatnia,, to istnieje zbiór otwarty Gε ⊇ B taki, że `k (Gε \ B) < ε . Sta,d wynika, że
µ(B) ≤ µ(Gε ) = µ(Kk )`k (Gε ) ≤ µ(Kk ) `k (B) + `k (Gε \ B) ≤ µ(Kk )`k (B) + εµ(Kk ) , a ponieważ ta
nierówność ma miejsce dla dowolnej liczby ε > 0 , wie,c µ(B) ≤ µ(Kk )`k (B) . Jeśli zbiór mierzalny
B jest zawarty w zbiorze otwartym G miary skończonej, to
µ(Kk )`k (G) = µ(G) = µ(B) + µ(G \ B) ≤ µ(Kk )`k (B) + µ(Kk )`k (G \ B) = µ(Kk )`k (G)
i wobec tego, że po obu stronach wyste,puja, liczby, musza, zachodzić równości µ(B) = µ(Kk )`k (B)
oraz µ(G \ B) = µ(Kk )`k (G \ B) . Dowodzona równość ma wie,c miejsce dla każdego zbioru mierzalnego, którego miara Lebesgue’a jest skończona (np. ograniczonego), a każdy zbiór mierzalny można
przedstawić jako sume, przeliczalnej rodziny parami rozla,cznych zbiorów mierzalnych, ograniczonych.
To kończy dowód.
Umowa lokalna
0 · ∞ = 0 (w teorii miary i calki).
Twierdzenie o mierze obrazu zbioru mierzalnego w przeksztalceniu liniowym
Jeśli L: IRk −→ IRk jest przeksztalceniem liniowym, zbiór A jest mierzalny w sensie Lebesgue’a, to
zbiór L(A) też jest mierzalny w sensie Lebesgue’a i zachodzi równość `k L(A) = | det(L)|`k (A) .
Dowód. Zaczniemy od rozpatrzenia przypadku trywialnego. L(IRk ) jest podprzestrzenia, liniowa, przestrzeni IRk . Jeśli wymiar tej podprzestrzeni jest mniejszy niż k , to jej miara Lebesgue’a
równa jest 0 , punkt pierwszy dowodu poprzedniego twierdzenia. Wynika sta,d, że jeśli det(L) = 0 ,
czyli gdy L nie jest izomorfizmem, to miara obrazu dowolnego zbioru równa jest 0 , bo obraz calej
przestrzeni ma miare, 0 , wie,c równy jest 0 · `k (A) .
Od tego momentu zakladać be,dziemy, że L jest izomorfizmem IRk , czyli że det(L) 6= 0 . Niech
µ(A) = | det(L)|`k (A) dla dowolnego zbioru A ∈ Lk . Z tego, że L przeksztalceniem różnowartościowym odwzorowuja,cym IRk na siebie, wynika, że rodzina zbiorów {L(A):
A ∈ Lk } jest
przeliczalnie addytywnym cialem zbiorów. Z tego, że L jest homemomorfizmem wynika, że zbiory
otwarte przeksztalcane sa, na zbiory otwarte, domknie,te – na domknie,te, borelowskie – na borelow P
P
skie. Oczywiście µ jest miara, na tym σ –ciele: µ(∪n An ) = `k L(∪n ) = n `k L(A) = n µ(An )
dla dowolnych parami rozla,cznych zbiorów mierzalnych A1 , A2 , . . . µ jest miara, przesuwalna,,
bowiem µ(A + v) = `k L(A + v) = `k L(A) + L(v) = `k L(A) = µ(A) . Jest to miara skończona
na zbiorach ograniczonych ( L przeksztalca zbiory ograniczone na zbiory ograniczone) i dodatnia
na zbiorach otwartych ( L przeksztalca zbiory otwarte na zbiory otwarte). Wobec tego jest to
miara Lebesgue’a pomnożona przez pewna, liczbe, dodatnia,, mianowicie przez `k L(Kk ) . Niech
c(L) = `k L(Kk ) . Z definicji tej liczby wynika, że c (L1 L2 ) = c (L1 ) c (L2 ) , bowiem
c(L1 L2 )`k (Kk ) = `k L1 L2 )(Kk )) = `k L1 (L2 (Kk )) = c(L1 )`k L2 (Kk ) = c(L1 )c(L2 )`k (Kk )) .
Jest też oczywiste, że jeśli macierz przeksztalcenia L jest przeka,tniowa, to obrazem kostki Kk jest
102
przedzial, a wartości bezwzgle,dne wyrazów na przeka,tnej to dlugości krawe,dzi tego k –wymiarowego
przedzialu, wobec tego jego miara to ich iloczyn, czyli wartość bezwzgle,dna wyznacznika macierzy L .
Niech Li,j (s) be,dzie macierza,, która ma na glównej przeka,tnej same jedynki, poza nia, same zera z
wyja,tkiem j –tego wyrazu w i –tym wierszu; Li to macierz, która poza glówna, przeka,tna, ma same
zera, na glównej przeka,tnej sa, jedynki z wyja,tkiem i -tego miejsca, na którym stoi −1 . Macierz
Li L różni sie, od macierzy L tym, że i –ty wiersz zostal pomnożony przez −1 ; macierz LLi – tym,
że i –ta kolumna zostala pomnożona przez −1 . W szczególności Li Li = I , gdzie I oznacza macierz
jednostkowa, wymiaru k . Wobec tego c(I) = c(Li Li ) = c(Li )2 , zatem c(Li ) = 1 , co zreszta, i tak
wynika z tego, że Li jest macierza, przeka,tniowa,. Mamy również Li,j (−s) = Li Li,j (s)Li i wobec
tego c(Li,j )(−s) = c(Li )c Li,j (s) c(Li ) = c Li,j (s) . Macierz Li,j (s)L otrzymujemy przepisuja,c
wszystkie wiersze macierzy L z wyja,tkiem i –tego bez zmian, a i –ty wiersz zaste,pujemy suma,
wiersza i –tego i iloczynu wiersza j –tego przez liczbe, s . Jasne jest wie,c, że Li,j (s)Li,j (−s) = I ,
2
zatem 1 = c(I) = c Li,j (s)Li,j (−s) = c Li,j (s) c Li,j (−s) = c Li,j (s) , wie,c c Li,j (s) = 1 .
Za pomoca, operacji elementarnych przeprowadzanych na wierszach można sprowadzić macierz dowolnego izomorfizmu do macierzy przeka,tniowej. Te operacje to mnożenie danej macierzy z lewej
strony przez Li,j (s) , ba,dź zamiana i –tego wiersza z wierszem j –tym, czyli mnożenie przez macierz Mi,j , w której wiersze o numerach różnych od i, j sa, takie, jak w macierzy jednostkowej,
w i –tym wierszu sa, zera z wyja,tkiem j –tego miejsca, na którym znajduje sie, 1 , w j –tym wierszu sa, zera z wyja,tkiem i –tego miejsca, na którym znajduje sie, 1 . Jasne jest, że Mi,j Mi,j = I ,
zatem c(Mi,j )2 = 1 , wie,c c(Mi,j ) = 1 . Wartości funkcja c i | det | pokrywaja, sie, na macierzach
przeka,tniowych a przy wykonywaniu operacji elementarnych, czyli przy mnożeniu macierzy przez
macierze postaci Li,j (s) , Mi.j oraz Li nie ulegaja, zmianom. Wobec tego c(L) = | det(L)| dla
każdego izomorfizmu L . Wobec tego twierdzenie jest prawdziwe dla zbiorów borelowskich. Każdy
zbiór A miary zero jest podzbiorem zbioru G typu Gδ (wie,c borelowskiego) miary zero, wie,c
0 = | det(L)|`k (G) = `k (L(G)) ≥ `k (L(A)) , zatem `k (L(A)) = 0 = | det(L)|`k (A) . Wzór zachodzi
wie,c również dla dowolnego zbioru miary zero. Każdy zbiór mierzalny można przedstawić w postaci
zbioru borelowskiego, np. typu Fσ i zbioru miary 0 . Wobec tego teza twierdzenia zachodzi dla
wszystkich zbiorów mierzalnych. Dowód zostal zakończony.
Twierdzenie o mierze Lebesgue’a iloczynu kartezjańskiego zbiorów mierzalnych
Jeśli zbiory A ⊆ Rk i B ⊆ Rl sa, mierzalne w sensie Lebesgue’a, to zbiór A × B ⊆ Rk+l jest
mierzalny w sensie Lebesgue’a i zachodzi równość `k+l A × B) = `k (A) · `l (B) .
Dowód. Jeśli zbiory A i B sa, odpowiednio k i l wymiarowymi przedzialami, to również
zbiór A × B jest przedzialem, tyle że k + l –wymiarowym. W tym przypadku dowodzony wzór jest
oczywiście prawdziwy, bo miara przedzialu równa jest jego wielowymiarowej obje,tości.
Wynika sta,d w szczególności, że jeśli `l (B) = 0 i A jest przedzialem, to `k+l (A × B) = 0 : jeśli
P
ε > 0 , to istnieje pokrycie zbioru B przedzialami {Pn : n ∈ N} takie, że
vol(Pn ) < ε , wtedy
103
przedzialy k + l –wymiarowe {A × Pn :
n ∈ N} pokrywaja, zbiór A × B , wie,c
P
`k+l (A × B) < n `k (A) · vol(Pn ) < `k (A) · ε .
W taki sam sposób można wykazać, że jeśli B jest przedzialem i `k (A) = 0 , to `k+l (A × B) = 0 . Z
topologii wiadomo, że jeśli zbiory A ⊆ Rk i B ⊆ Rl sa, otwarte, to również zbiór A×B jest otwarty.
T
T
T
Mamy też n (Cn × Dn ) =
n Cn ×
n Dn . Wynika sta,d, że iloczyn kartezjański zbiorów typu
Gδ jest zbiorem typu Gδ . Analogicznie dla zbiorów typu Fσ .
Jeśli A i B sa, mierzalne, to istnieja, zbiory F, H typu Fσ i zbiory C, D miary zero takie, że
A = F ∪ C i B = H ∪ D . Wobec tego A × B = F × H ∪ F × D ∪ C × H ∪ C × D , czyli zbiór
A × B jest suma, zbioru F × H typu Fσ i zbioru F × D ∪ C × H ∪ C × D , którego miara jest równa
zero, zatem jest mierzalny.
Niech B be,dzie ustalonym przedzialem. Niech ν(A) =
`k+l (A×B)
`l (B)
. Jasne jest, że ν jest miara,
przesuwalna, określona, na rodzinie zbiorów mierzalnych w sensie Lebesgue’a. Jeśli A jest przedzialem, to ν(A) =
`k+l (A×B)
`l (B)
=
`k (A)·`l (B)
`l (B)
= `k (A) . Sta,d wynika, że dla wszystkich zbiorów
mierzalnych A mamy ν(A) = `k (A) , zatem `k+l (A × B) = `k (A) · `l (B) dla wszystkich zbiorów
mierzalnych A i wszystkich przedzialów B .
Niech teraz A ⊆ Rk be,dzie dowolnym zbiorem mierzalnym, którego miara jest różna od 0 . Definiujemy µ(B) =
`k+l (A×B)
`l (A)
. µ jest miara, przesuwalna, określona, na rodzinie zbiorów mierzalnych
w sensie Lebesgue’a. Jeśli B jest przedzialem, to µ(B) = `l (B) . Z twierdzenia o jednoznaczności
miary Lebesgue’a wnioskujemy, że równość µ(B) = `l (B) ma miejsce dla wszystkich zbiorów mierzalnych B .
104