Matematyka dyskretna 7/14

Matematyka dyskretna
© Andrzej Łachwa, UJ, 2012
[email protected]
7/14
Relacje
Relacja E = {(x, x): x∈S} jest relacją równości w zbiorze S.
Piszemy xEx lub x=x lub (x, x)∈E.
Złożeniem relacji A w zbiorze S i relacji B w zbiorze S nazywamy relację C
w zbiorze S taką, że
xCy wtw gdy istnieje z∈S takie, że xAz i zBy.
Piszemy wtedy xABy.
Dla wielokrotnych złożeń jednej relacji stosujemy notację „potęgi”, np.
xAAy = xA2 y, xAAAy = xA3 y …
Domknięciem relacji A w zbiorze S nazywamy relację Ad w zbiorze S taką,
że xAd y jeśli istnieje ciąg z0=x, z1, z2, … zn-1, zn=y taki, że
z0 A z1 A z2 A … A zn-1 A zn .
Zatem xAd y wtw jeśli istnieje n takie, że xAny.
Lemat
Domknięcie relacji A jest sumą wszystkich potęg tej relacji:
Ad = A ∪ A2 ∪ A3 ∪ … ∪ An ∪ …
Relację odwrotną do A oznaczamy A-1.
Niech S będzie zbiorem n-elementowym i A relacją w S.
Ponumerujmy elementy zbioru S i zbudujmy tablicę kwadratową
o wymiarze n. Na przecięciu i-tego wiersza i j-tej kolumny wpisujemy 1
jeśli xiAxj, w przeciwnym wypadku 0. Elementy takiej macierzy oznaczać
będziemy przez aij, a całą macierz przez [aij] .
Oczywiście istnieje n! różnych numeracji zbioru S, czyli n! różnych
macierzy opisujących relację A w S.
Macierz, której wszystkie elementy są zerami określa relację pustą.
Macierz, której wszystkie elementy są jedynkami określa relację pełną.
Macierz [δij], gdzie δij=1 dla i=j oraz δij=0 dla i≠j, określa relację równości.
Symbol δij nazywamy deltą Kroneckera. Macierz [δij] zawiera jedynki na
przekątnej i zera poza przekątną.
Macierz [aij] = [1–δij] określa relację nierówności.
Tylko dla tych czterech relacji (pustej, pełnej, równości i nierówności) ich
macierze pozostają niezmienione dla różnych numeracji zbioru S.
Macierz Kroneckera:
1
0
0 ... 0
0
0
1
0
0 ... 0
1 ... 0
... ... ... ... ...
0 0 0 ... 1
Złożeniu relacji odpowiada iloczyn macierzy!
Niech R relacja w zbiorze S. Wprowadza się następujące własności relacji:
zwrotność
(x, x) ∈R dla wszystkich x∈S
symetria
(x, y) ∈R ⇒ (y, x) ∈R dla wszystkich x∈S, y∈S
przechodniość
(x, y) ∈R i (y, z) ∈R ⇒ (x, z) ∈R dla wszystkich x∈S, y∈S, z∈S
Lematy
Relacja R jest przechodnia wtw gdy R2⊆ R.
Relacja R jest przechodnia wtw gdy R = Rd.
Relacja niezwrotna, to relacja, która nie jest zwrotna, tzn.
(x, x) ∉R dla pewnego x∈S
Relacja przeciwzwrotna (antyzwrotna), to nowa własność:
(x, x) ∉R dla wszystkich x∈S
Lematy
Relacja zwrotna zawiera relację równości.
Relacja pełna i relacja równości są zwrotne.
Relacja przeciwzwrotna jest relacją niezwrotną.
Macierz relacji przeciwzwrotnej ma zera na przekątnej.
Relacja pusta jest przeciwzwrotna.
Relacja asymetryczna, to relacja która nie jest symetryczna:
(x, y) ∈R i (y, x) ∉R dla pewnych x∈S, y∈S
Relacja R w zbiorze S jest zwana przeciwsymetryczną, gdy z dwu
zależności xRy, yRx co najmniej jedna jest nieprawdziwa:
(x, y) ∈R ⇒ (y, x) ∉R dla wszystkich x∈S, y∈S.
Relacja R w zbiorze S jest zwana antysymetryczną, gdy prawdziwość dwu
zależności xRy, yRx jest równoważna równości x i y:
(x, y) ∈R i (y, x) ∈R wtw x=y.
Lematy
Macierz relacji symetrycznej jest symetryczna względem przekątnej.
Relacja A jest symetryczna wtw gdy A=A-1.
Relacja A jest przeciwsymetryczna wtw gdy A∩A-1=∅.
Relacje pusta, pełna, równości i nierówności są symetryczne.
Relacja pusta jest również przeciwsymetryczna.
Relacja przeciwsymetryczna jest przeciwzwrotna.
Relacja równości nie jest przeciwsymetryczna!
Relacja A jest antysymetryczna wtw gdy A∩A-1 ⊆ E (gdzie E to relacja
równości).
Relacje pusta i równości są antysymetryczne.
Niech R relacja w zbiorze S. Wprowadza się kolejne własności relacji:
spójność
(x, y)∈R lub (y, x)∈R dla wszystkich x∈S
słaba spójność
(x, z)∈R i (y, z)∈R dla pewnego z∈S ⇒ (x, y)∈R lub (y, x)∈R
Relacja < w zbiorze liczb rzeczywistych jest …
Relacja ≤ w zbiorze liczb rzeczywistych jest …
Własności relacji a działania na relacjach
Jeśli A, B są zwrotne to A∪B , A∩B , AB, A-1, Ad są zwrotne.
Jeśli A, B są przeciwzwrotne to A∪B , A∩B , A-1 są przeciwzwrotne.
Jeśli A, B są symetryczne to A∪B , A∩B , A-1 są symetryczne.
Domknięcie relacji symetrycznej jest symetryczne.
Jeśli A jest przeciwsymetryczna to A-1 jest przeciwsymetryczna.
Jeśli A jest przeciwsymetryczna to dla dowolnej B relacja A∩B jest
przeciwsymetryczna.
Jeśli A, B są antysymetryczne to A∩B , A-1 są antysymetryczne.
Jeśli A, B są przechodnie to A∩B , A-1 i Ad są przechodnie.
Proszę zapoznać się z operacjami na macierzach: str. 154-175
podręcznika Ross&Wright’a (z pominięciem pojęć i przykładów
dotyczących grafów).
________________________________________
Wiele powyŜszych faktów pochodzi z ksiąŜek:
J.A.Szrejder: Równość, podobieństwo, porządek. WNT. Warszawa 1975
K.A.Ross, Ch.R.B. Wright: Matematyka dyskretna. WN PWN Warszawa 1996
Dalsze rozwaŜania o relacjach stanowią ponadto fragmenty artykułu:
A.Łachwa: „Podobieństwo zbiorów”, Acta Academiae Modrevianae. Informatyka, Kraków 2008,
s. 105-112.
Niemal codziennie używamy pojęcia podobieństwa i wskazujemy rzeczy
podobne do siebie. Na pierwszy rzut oka jest to pojęcie proste. Jednak
informatyk musi nadać im tak precyzyjny sens, by nadawały się na
elementy budowanego modelu rzeczywistości lub na operacje wchodzące
w skład tworzonej metody obliczeniowej.
Pojęcie podobieństwa wykorzystujemy głównie do budowania zbiorów
(zbiór składa się z elementów podobnych!). I choć termin „zbiór” może
być pojmowany na wiele sposobów (por. wykład pierwszy) oraz często
zastępujemy go terminami „typ encji” czy „klasa obiektów”, nie zmienia
to istoty sprawy. Łącząc elementy w zbiór podejmujemy decyzję, na czym
ma polegać ich podobieństwo.
Najwyższym stopniem podobieństwa jest nierozróżnialność, a nie
równość. Równość jest szczególnym przypadkiem nierozróżnialności i
szczególnym przypadkiem podobieństwa.
Tradycyjne podejście do badania podobieństwa polega na tym, by
najpierw określić miarę podobieństwa, a następnie badać związki między
obiektami podobnymi.
Równość w matematyce jest eksplikowana przez relację równoważności.
Relacja ta, to relacja jednocześnie zwrotna, symetryczna i przechodnia.
Dzieli ona uniwersum, na którym jest określona, na klasy równoważności:
klasy obiektów równoważnych, a podział taki jest rozłączny i zupełny.
Równość (jednakowość, identyczność) jest zatem przede wszystkim
binarną relacją równoważności określoną na pewnym uniwersum.
Ponadto jest wartością względną, zależy od sytuacji czy punktu widzenia
obserwatora (na danym uniwersum można zwykle zdefiniować różne
relacje równoważności). I wreszcie równość oznacza zastępowalność
jednego obiektu drugim w określonej sytuacji.
Podobieństwo oznacza tylko częściową zastępowalność, możliwość zastąpienia jednego obiektu drugim, ale z pewnym ryzykiem czy pewną stratą.
Podobieństwo obiektów danego uniwersum jest w matematyce zwane
tolerancją i jest relacją zwrotną, i zarazem symetryczną. Nie jest zaś
wymagana przechodniość, a to dlatego, że obiekty podobne nie są
identyczne: nieznacznie różnią się od siebie i te drobne różnice między
kolejnymi podobnymi obiektami mogą doprowadzić do obiektów całkowicie różnych od tych początkowych.
Przykładem podobieństwa jest znana zabawa ze słowami polegająca na
przekształceniu słowa początkowego w słowo końcowe poprzez kolejne
słowa różniące się tylko jedną literą, np. możemy w taki sposób
przekształcić słowo „kot” w słowo „lew”:
kot – kos – los – lis – lin – len – lew.
Zbiór U z określoną na nim relacją tolerancji T nazywa się przestrzenią
tolerancji. Struktura tej przestrzeni jest bardzo ciekawa. W szczególności
okazuje się, że dowolną tolerancję można określić przy pomocy zbioru
cech elementów uniwersum U w taki sposób, że elementami podobnymi
są te, które mają co najmniej jedną wspólną cechę.
Jeśli A i B są tolerancjami to A∪B , A∩B , A-1, Ad są tolerancjami.
Domknięcie tolerancji A jest najmniejszą relacją równoważności
zawierającą A.
Jeśli A jest zwrotna to A∪A-1 , A∩A-1 , A A-1 są tolerancjami.
Dwa zbiory dystrybutywne są równe, gdy mają te same elementy.
Zbiory dystrybutywne są równoważne, gdy można wskazać pewne
identyczne cechy tych zbiorów, np. równoliczność.
W matematyce podobieństwo zbiorów dystrybutywnych często definiuje
się nie jako relację tolerancji, lecz jako szczególną relację równoważności
– równokształtność. Na przykład w geometrii dwa wielokąty uznaje się za
podobne, gdy mają te same kąty i proporcje: mają taki sam kształt, ale
mogą mieć różną wielkość. W algebrze dwa wyrażenia nazywa się
podobnymi, gdy mają ten sam kształt z dokładnością do współczynników
liczbowych. Przykłady takie można mnożyć.
Podobieństwo zbiorów rozmytych
Zbiorem rozmytym jest ogół tych elementów pewnego uniwersum, które
można powiązać myślowo w całość na podstawie jakieś ich własności,
zwykle nieostrej.
Dwa zbiory rozmyte określone na pewnym uniwersum są identyczne
wtedy i tylko wtedy, gdy każdy element tego uniwersum należy do tych
zbiorów w tym samym stopniu. Podobnie definiuje się inkluzję zbiorów
rozmytych: zbiór rozmyty A jest zawarty w zbiorze rozmytym B (określonym na tym samym uniwersum, co A) wtedy i tylko wtedy, gdy każdy
element uniwersum należy do zbioru A w stopniu nie większym niż należy
do zbioru B.
Tak rozumiane równość i inkluzja zbiorów rozmytych są wprawdzie
formalnie poprawne i eleganckie, ale mają niewielkie znaczenie z punktu
widzenia metod obliczeniowych. Po pierwsze dlatego, że w przypadku
uniwersum nieskończonego (lub skończonego, ale bardzo) nie
moglibyśmy sprawdzić, czy odpowiednia relacja zachodzi. Po drugie zaś
dlatego, że zdefiniowane wyżej dwie ostre własności zwykle nie mają
zastosowania przy przetwarzaniu rozmytej informacji. Rozmytość to przecież niewyraźność i niepewność. Niewielkie różnice w sposobie rozumienie tej niepewności (niewielkie różnice w wartościach funkcji
przynależności) nie powinny decydować o tak istotnych własnościach jak
równość i zawieranie.
Rozmycie ostrego znaczenia inkluzji sprowadza się do tego, że własność
zawierania się jednego zbioru w drugim będzie rozumiana jako stopniowalna: od stopnia 0 oznaczającego niezawieranie, poprzez przypadki
zawierania częściowego, do stopnia 1 oznaczającego zawieranie
całkowite. Dodatkowo oczekuje się, że taka rozmyta własność będzie
zwrotna (A⊂A w stopniu 1) i antysymetryczna (jeżli A⊂B w stopniu α i
B⊂A w stopniu β, to A jest podobne do B w stopniu α∧β).
Oryginalny sposób obliczania rozmytej inkluzji wprowadziłem w swojej
książce o zbiorach rozmytych. Pomysł mój opierał się na obserwacji, że
stopień częściowego zawierania się zbioru A w zbiorze B ma nas
informować o tym, jak mają się do siebie części zbioru A, które „wystają”
poza zbiór B, do części zbioru A, które „mieszczą się wewnątrz” zbioru B.
Wzrokowo potrafimy to łatwo ocenić:
Założyłem, że wzór na obliczanie stopnia zawierania się zbiorów powinien
być na tyle prosty, by dało się go łatwo stosować w rozmaitych sytuacjach
praktycznych. Nie możemy więc obliczać powierzchni, długości krzywych,
czy maksymalnych odległości między dowolnymi krzywymi.
Wykorzystuję dwa łatwe do policzenia wskaźniki – wysokość oraz nośnik.
Wysokością zbioru rozmytego A nazywa się najwyższy stopień przynależności, i oznacza przez h(A). Nośnikiem zbioru rozmytego A nazywa się
podzbiór tych elementów uniwersum, dla których stopień przynależności
jest niezerowy, i oznacza przez supp(A).
Ostatecznie wzór na obliczanie stopnia zawierania się zbioru rozmytego A
w zbiorze rozmytym B ma postać:
dg(A⊂B) =
1
dla hex =0
0
dla hex ≥ hin lub sex ≥ sin lub hin =0
(1 − sex / sin) T (1 − hex / hin)
wpp
Równość dwóch zbiorów ostrych zachodzi wtedy, gdy pierwszy z nich
zawiera się w drugim, a drugi w pierwszym. Podobieństwo zbiorów
rozmytych mogę więc zdefiniować, jako mniejszy ze stopni tych dwóch
rozmytych inkluzji:
dg(A≈B) = dg(A⊂B) ∧ dg(B⊂A).
Inną propozycją obliczania podobieństwa zbiorów rozmytych jest
podobieństwo oparte na metryce. Dla zbiorów rozmytych na uniwersum
skończonym można przyjąć np. tzw. odległość dwudzielną:
k(A, B) = 1 – |A∩B| / |A∪B|.
Wyznaczanie podobieństwa dwóch zbiorów rozmytych może polegać na
obliczaniu dopełnienia ich znormalizowanej odległości. Stopień
podobieństwa zbiorów rozmytych A i B, to wówczas E(A, B) = 1 – m(A, B).
Kolejną propozycją jest podobieństwo oparte na przekrojach. Niech X
będzie zbiorem liczb rzeczywistych, nośniki zbiorów rozmytych A i B będą
ograniczone, a każde α-przecięcie iloczynu i sumy tych zbiorów będzie
odcinkiem, skończoną sumą odcinków, zbiorem jednoelementowym
(przecięcie na poziomie wartości szczytowej) albo zbiorem pustym
(przecięcie powyżej wysokości). Przy takich założeniach możemy w
poprzednim wzorze na E(A, B) zastąpić iloczyn i sumę zbiorów rozmytych
ich α-przekrojami, moce zaś tych zbiorów – ich długościami (długością
zbioru ostrego będącego sumą odcinków jest suma długości tych
odcinków). Stosunek długości α-cięcia iloczynu do długości α-cięcia sumy
pokaże nam na każdym poziomie podobieństwo między zbiorami A i B.
Jeśli policzymy średnią z tych liczb, to dla zbiorów identycznych uzyskamy
wartość 1, dla zbiorów o pustym iloczynie – wartość 0, dla pozostałych zaś
przypadków – stopnie dobrze oddające intuicyjnie pojmowane podobieństwo.
W zastosowaniach praktycznych możemy ograniczyć się do przecięcia
sumy i iloczynu zbiorów rozmytych A i B na skończonej niewielkiej liczbie
n poziomów:
En(A, B) = (1/n) ⋅ Σ |(A∩B)α| / |(A∪B)α|, gdzie λ=[h(A) ∨ h(B)] / n.
α=0, λ, 2λ, ..., nλ
Podobieństwo zbiorów A i B z ostatniego rysunku policzono na dwa
sposoby: dla n=8 i dla n=80. Otrzymane wyniki, to 0.601 i 0.602, czyli
dostatecznie podobne na to, by nie stosować tak wielu przecięć, jak w
drugim z tych sposobów.
W przypadku zbiorów rozmytych, których kształt przybliżono łamaną,
poziomy przecięć raczej nie powinny być rozłożone symetrycznie, tylko
przechodzić przez wierzchołki łamanych.
UWAGA
Materiał dotyczący zbiorów rozmytych nie jest obowiązkowy!