informatyka

A naliza
funkcjonalna a analiza numeryczna
D o w ó d w książce J. Musielaka [37], s. 138.
Przekształcenia liniowe mają ciekawą właściwość.
5. Twierdzenie. Jeżeli l : UF
VF jest przekształceniem liniowym, to l(0) = 0
oraz obraz l(U)(7) jest podprzestrzenią liniową przestrzeni V.
D o w ó d w książce J. Musielaka [37], s. 138.
Przekonamy się dalej, że istnieją nietrywialne przekształcenia przestrzeni UF
w nią samą, które zachowują pewne podzbiory tej przestrzeni.
UF. Zbiór A ⊂ U nazy8. Definicja. Załóżmy, że przekształcenie j : UF
wamy niezmienniczym względem przekształcenia j, jeżeli obraz j(A) = A. Układ
(ui ∈ U) I nazywamy niezmienniczym względem przekształcenia j, jeżeli zbiór
{ui : i ∈ I} jest niezmienniczy względem operatora j.
Iloczyn tensorowy przestrzeni liniowych
Iloczyn tensorowy pozwala nam, między innymi, konstruować układy liniowo
niezależne w przestrzeniach LFmn (X × Y), gdy znamy układy liniowo niezależne
przestrzeni LFm (X) oraz LFn (Y). Innymi słowy umożliwia on nam tworzenie układów liniowo niezależnych w przestrzeniach funkcji wielu zmiennych. Wykorzystuje się przy tym najczęściej iloczyn Kroneckera (8).
9. Definicja
(1) Iloczynem tensorowym przestrzeni liniowych UF oraz V F nazywamy obraz
przestrzeni U × V w odwzorowaniu dwuliniowym ⋅ ⊗ ⋅ spełniającym następujący
warunek:
∀(ui ∈ U) I ∀(vi ∈ V) I
lnz(ui) I ∧ å (ui ⊗ vi) = 0
⇒ (vi = 0)I ∨
i∈I
lnz(vi) I ∧ å (ui ⊗ vi) = 0
i∈I
⇒ (ui = 0)I
.
Iloczyn tensorowy przestrzeni liniowych U oraz V oznaczany jest zatem przez
U ⊗ V. Jeżeli u ∈ U oraz v ∈ V, to element u ⊗ v ∈ U ⊗ V nazywamy iloczynem
(7)
Załóżmy, że f : X
Y, A ⊂ X oraz B ⊂ Y. Wówczas zbiór oznaczany przez f(A) : = {y ∈ Y : (y =
= f(x ∈ A)} nazywamy obrazem zbioru A w odwzorowaniu f, a zbiór oznaczany przez f –1 (B) : = {x ∈
∈ X : (f(x) ∈ B)} nazywamy przeciwobrazem zbioru B w odwzorowaniu f.
(8)
Leopold Kronecker, matematyk niemiecki urodzony w Legnicy (1823–1891).
21
A naliza
funkcjonalna a analiza numeryczna
(2) Przestrzeń T jest obrazem przestrzeni U × V w odwzorowaniu t.
D o w ó d w książce A. I. Kostrykina [28], s. 295.
7. Twierdzenie. Jeżeli u : = (ui) I jest bazą w U oraz v : = (vi) I jest bazą w V, to
u ⊗ v jest bazą w U ⊗ V oraz dim U ⊗ V = dimU dimV.
D o w ó d w książce W.C. Browna [13], s. 66.
Zauważmy, że iloczyn Kroneckera odwzorowuje przestrzeń MFk × l × MFm × n
w przestrzeń MFk m× ln. Z kolei iloczyn tensorowy naturalny przestrzeni liniom
n
wych UF ⊂ LF (X) oraz V F ⊂ LF (Y) odwzorowuje przestrzeń U × V w przestrzeń
mn
U ⊗ V ⊂ LF (X × Y). Dla przykładu załóżmy, że Pm = UR ⊂ LR (R) jest przestrzenią wielomianów stopnia m z bazą u(x) : = (x i) 0m oraz Pn = V R ⊂ LR (R) jest
przestrzenią wielomianów stopnia n z bazą v(y) : = (y j) 0n. Wówczas [u ⊗ v](x, y) =
= (x i (y j) 0n) 0m jest bazą przestrzeni Pm × Pn = U ⊗ V ⊂ LR (R × R) wielomianów
dwóch zmiennych stopnia mn, która ma wymiar (m + 1)(n + 1).
Przedstawimy teraz w formie wniosków i twierdzenia kilka ważnych właściwości iloczynu Kroneckera.
2. Wniosek.
(1) Jeżeli A : = (ai, j) ∈ MFk × l oraz B : = (bi, j) ∈ MFm × n , to iloczyn Kroneckera
A⊗B= a
int
i-1
+ 1, int
j-1
+1
b (i-1)(mod m) + 1, ( j-1)(mod m) + 1
km,ln (9)
i, j=1
.
(2) Jeżeli a : = (ai) ∈ MFm oraz a : = ⊗ a, to wektor a ma postać:
j=1
a=
a
∏
j=1 int
m
n .
i-1
n-j (mod m) + 1 j=1
m
D o w ó d wynika z definicji 9.(1).
8. Twierdzenie. Jeżeli A ∈ MFk × p , B ∈ MFp × l , C ∈ MFm × q i D ∈ MFq × n , to macierz (AB) ⊗ (C ⊗ D) = (A ⊗ C)(B ⊗ D) i należy do przestrzeni MFkm × ln .
D o w ó d . Zauważmy, że
AB = [A] i ([BT] j) T
(10)
oraz
CD = [C] i ([DT] j) T
(9)
Przez int(x) oznaczamy część całkowitą liczby x. Jeżeli k ∈ Z oraz n ∈ N, to liczbę
k(mod n) : = k − n int(k / n)
(10)
Przez [A] i oznaczamy i-ty wiersz macierzy A.
23
A naliza
funkcjonalna a analiza numeryczna
3. Wniosek. Jeżeli a : = (ai), b : = (bi) ∈ MFp oraz c : = (ci), d : = (di) ∈ MFq , to
(a b)(cT d) = (aT ⊗ cT)(b ⊗ d).
D o w ó d wynika z twierdzenia 4.3.
Zdefiniujemy teraz pewną macierz, bardzo często występującą w iloczynach
Kroneckera.
T
10. Definicja. Przez I [m, n] będziemy oznaczać następującą macierz:
m, n
i, j 1
I [m, n] : = (I )
Ii, j = 1, j ∈ {i, i + 1, … , i + n - m} ∨ i ∈ {j, j + 1, … , j + m - n}
: =
.
Ii, j = 0, j ∉ {i, i + 1, … , i + n - m} ∧ i ∉ {j, j + 1, … , j + m - n}
Macierz I [n, n] o wymiarze n × n nazywamy macierzą jedynkową. Jeżeli jej wymiar
wynika z kontekstu, to piszemy w skrócie I. Oznaczenia I [n, 1] oraz I [n] traktujemy
jako równoważne. Przedstawiają one sobą wektor, którego wszystkie elementy są
równe 1.
IV. Topologia
Przestrzenie topologiczne
Okazuje się, że rodzina zbiorów (zbiór zbiorów) otwartych odgrywa w topologii, w sensie nauki, wyróżnioną rolę. Tworzy ona, tzw. topologię, w sensie pojęcia
matematycznego, dzięki której można wprowadzić tak ważne pojęcia, jak: przestrzeń topologiczna, baza topologii, topologia produktowa, otoczenie punktu,
przestrzeni Hausdorffa (11), ciąg zbieżny, ciągłość funkcji, zarówno globalna, jak
i w punkcie, przestrzeń ośrodkowa oraz układ pełny.
11. Definicja
(1) Topologią w niepustym zbiorze X nazywamy każdą rodzinę jego podzbiorów, oznaczaną przez t, spełniającą następujące warunki:
(1.1) ∅, X ∈ t,
(1.2) ∀(Ai ∈ t) n1
Ai ∈ t ,
i=1 (1.3) ∀F ⊂ t
A ∈ t .
A∈F (11)
Felix Hausdorff, matematyk niemiecki urodzony we Wrocławiu (1868–1942).
25
A naliza
funkcjonalna a analiza numeryczna
10. Twierdzenie. Jeżeli X oraz Y są przestrzeniami topologicznymi, to f: X Y
jest odwzorowaniem ciągłym wtedy i tylko wtedy, gdy jest ciągłe w każdym punkcie
x ∈ X.
D o w ó d w książce W. Rudina [42], s. 18.
Przejdziemy teraz do ważnego przypadku przestrzeni topologicznej, jakim
jest przestrzeń ośrodkowa.
14. Definicja. Niech t będzie topologią w X.
(1) Podzbiór A zbioru X jest gęsty w X jeżeli ∀B ∈ t (B ≠ ∅ ⇒ A ∩ B ≠ ∅).
(2) Przestrzeń topologiczną X nazywamy ośrodkową (separowalną), jeżeli zawiera podzbiór przeliczalny A gęsty w X. Podzbiór A nazywamy ośrodkiem przestrzeni X.
(3) Jeżeli przestrzeń topologiczna X jest przestrzenią liniową, to zbiór A nazywamy pełnym w X wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór span A jest gęsty w X. Układ
(xi ∈ X) I nazywamy pełnym, jeżeli zbiór {xi : i ∈ I} jest pełny w X.
Znaczenie przestrzeni ośrodkowej wyjaśniają nam następujące dwa twierdzenia.
11. Twierdzenie. Każda przestrzeń topologiczna z przeliczalną bazą topologii
jest ośrodkowa.
D o w ó d w książce S. Gładysza [18], s. 67.
12. Twierdzenie. Załóżmy, że X jest przestrzenią topologiczną, E jest zbiorem
gęstym w X, Y jest przestrzenią Hausdorffa oraz f, g : X Y są odwzorowaniami ciągłymi. Jeżeli f = g na E, to f = g na X.
D o w ó d przeprowadzimy nie wprost. W tym celu oznaczmy przez tX i tY topologie odpowiednio w X i Y oraz załóżmy, że ∃x ∈ X (f(x) ≠ g(x)). Z ciągłości
odwzorowania f oraz g w punkcie x wynika, że
∀B ∈ tY ∃A ∈ tX ((x ∈ A) ∧ (f(x) ∈ B) ∧ (f(A) ⊂ B))
oraz
∀C ∈ tY ∃A ∈ tX ((x ∈ A) ∧ (g(x) ∈ C) ∧ (g(A) ⊂ C)).
Ponieważ Y jest przestrzenią Hausdorffa, to ∃B, C ∈ tY (B ∩ C = ∅), a zatem
f(A) ∩ g(A) = ∅. Wynika stąd, że f ≠ g na E, co przeczy założeniu.
29