Międzynarodowy Konkurs Matematyczny „PIKOMAT” Finał – 20

Międzynarodowy Konkurs Matematyczny „PIKOMAT”
Finał – 20 czerwca 2013r.
Klasa IV
Zadanie 1
Od 8 rano pan Antoś sprzedaje na miejskim targowisku polski czosnek po 80 gr za główkę.
W 5 minut sprzedaje 4 główki. Po pewnym czasie przechodzi tamtędy jego kolega. Pan Antoś
może oddać mu 50 zł, które kilka dni temu pożyczył od niego, ale i tak na koniec ma jeszcze
w kieszeni zarobione 46 zł. O której godzinie przyszedł kolega pana Antosia?
Zadanie 2
Znajdź liczbę naturalną różną od zera wiedząc, że jeśli podzielisz tę liczbę przez 6, to
otrzymany iloraz będzie 5 razy większy niż reszta.
Zadanie 3
Olek ma do dyspozycji 24 jednakowe kwadratowe płytki. Buduje z nich prostokąt,
wykorzystując wszystkie płytki. Ile razy obwód tego prostokąta jest większy od obwodu
każdej kwadratowej płytki?
Klasa V
Zadanie 1
Podczas pobytu w zoo Krzyś zatrzymał się przy wybiegu dla słoni. Buszował tam słoń
Dominik. Krzyś zapytał opiekującego się zwierzęciem pracownika, ile waży Dominik.
Opiekun zwierzęcia odpowiedział: „Słoń waży tyle, ile dwa nosorożce, nosorożec tyle, ile
dwa żubry, żubr tyle, ile dwa niedźwiedzie, niedźwiedź waży tyle, ile dwa tygrysy, tygrys
tyle, ile dwa strusie, struś tyle, ile dwa wilki, wilk tyle, ile dwa bobry, bóbr tyle, ile dwa lisy,
lis waży tyle, ile ważą dwa zające. Ponadto słoń waży o 6,25 kg więcej, niż ważą w sumie
pozostałe zwierzęta”. Krzyś zdębiał! Ten pan, to pewnie matematyk – pomyślał przez chwilę
Krzyś. Ile zatem waży słoń Dominik?
Zadanie 2
W pewnej grupie sportowców na wczorajszym treningu liczba nieobecnych zawodników
stanowiła szóstą część liczby zawodników obecnych. Gdyby jeden z zawodników nagle
opuścił trening, liczba zawodników nieobecnych stanowiłaby piątą część liczby zawodników
obecnych. Ilu zawodników liczy ta grupa sportowców i ilu było wczoraj obecnych na
treningu?
Zadanie 3
Pięć dziewcząt ułożyło na plaży kwadrat ze swoich ręczników kąpielowych (rys.). Ręczniki
Magdy, Zosi, Oli i Justyny mają kształt prostokątów, a ręcznik Natalii – kwadratu. Wiadomo,
że czerwony ręcznik Magdy ma wymiary 160 cm × 60 cm, a popielaty ręcznik Zosi
140 cm × 48 cm. Wymiary ręczników Oli i Justyny – niestety – nie są znane. Oblicz obwód
żółtego ręcznika Natalii.
48 cm
140 cm
160 cm
60 cm
Klasa VI
Zadanie 1
Pewien dworzanin zauważył strażnika wspinającego się po drabinie na mur otaczający
pałacowy ogród.
– Ciekawe, jaką wysokość ma ten mur? – zapytał wołając. Na to strażnik odpowiedział:
– Mam 198 cm wzrostu. Gdybym stanął pod murem, moja głowa byłaby o tyle centymetrów
poniżej szczytu muru, ile jest teraz nad nim, gdy stoję na drabinie w połowie wysokości muru.
Jaką wysokość ma mur?
Zadanie 2
Uzupełnij brakujące mianowniki, aby powstało poprawne działanie.
1 1 1 1 1
1
1
+ + + +
+
+
=1
2 3
72 108 216
Zadanie 3
Dany jest czworokąt ABCD, w którym boki AB i CD są równoległe oraz |AD| = |DC| = |CB|
i |AB| = |AC|. Oblicz miary kątów wewnętrznych tego czworokąta.
D
C
A
B
Klasa I
Zadanie 1
Dana jest pewna liczba trzycyfrowa. Jeżeli dodamy do niej 12 i tę zwiększoną liczbę
podzielimy przez 7, to otrzymamy resztę 5. Jeżeli do danej liczby trzycyfrowej dodamy
14 i zwiększoną liczbę podzielimy przez 9, znowu otrzymamy resztę 5. Jeżeli do danej liczby
trzycyfrowej dodamy 18 i zwiększoną liczbę podzielimy przez 13, także otrzymamy resztę 5.
Wyznacz daną liczbę trzycyfrową.
Zadanie 2
Grupa gimnazjalistów wybrała się do lasu na grzybobranie, którego celem były borowiki
szlachetne. Jeden z nich znalazł 6 borowików, a pozostali po 13. Następnym razem
w grzybobraniu wzięła udział inna grupa gimnazjalistów. Tym razem jeden znalazł
5 borowików, a pozostali po 10. Ilu gimnazjalistów uczestniczyło w pierwszym grzybobraniu,
a ilu w drugim, jeżeli wiadomo, że zebrano w nich tę samą ilość borowików – większą od
100, ale nie przekraczającą 200?
Zadanie 3
Oblicz pole czworokąta AFBE oraz pola trójkątów BCE i BDF.
6 cm
Klasa II
Zadanie 1
Pan Antoś jest najstarszy, pan Stasiu zaś najmłodszy. Dziesięciokrotna różnica ich wieku jest
sumą lat pana Antosia i pana Janka. Wiek pana Marka jest średnią wieku pozostałych panów,
a różnica jego wieku i wieku pana Stasia jest dwukrotnie większa od różnicy lat pana Antosia
i pana Janka. Różnica między wiekiem pana Janka i pana Stasia jest o dwa większa niż
różnica między wiekiem pana Antosia i pana Marka. Ile lat ma każdy z panów?
Zadanie 2
Rozwiąż w liczbach całkowitych równanie:
1 
1

 2 −  2 −  = 3
x 
y

Zadanie 3
Dany jest kwadrat o boku długości 1. Umieszczamy w nim cztery większe i cztery mniejsze
okręgi (rys.). Oblicz pole kwadratu, który powstał po połączeniu środków mniejszych
okręgów.
Klasa III
Zadanie 1
Staszek kupił wczoraj pewną ilość pomarańczy. Dzisiaj pomarańcze podrożały o 50% i za
ilość pomarańczy o k% mniejszą niż wczoraj zapłacił o k% więcej. O ile procent więcej
pomarańczy Staszek kupił wczoraj niż dzisiaj?
Zadanie 2
Na zajęciach koła matematycznego uczniowie mieli do rozwiązania poniższe równanie:
a
b
b−a+
a
1+
b =1+ b − a ,
1
1+
a+b
2+
w którym nie sprecyzowano, która z liter oznacza niewiadomą. Kasia przyjęła, że niewiadomą
jest a, zaś Danusia przyjęła, że niewiadomą jest b. Jakie było rozwiązanie Kasi, a jakie
Danusi?
Zadanie 3
Dany jest kwadrat ABCD o boku długości 8. Oblicz pole trapezu KLMN wiedząc, że punkty
K i L są środkami boków AB i BC, a odcinek AC przekątną kwadratu.
Opracowanie: Jan Domaszewicz, Marek Kawałko, Katarzyna Żak