Odległość w układzie współrzędnych

10. 3. ODLEGŁOŚĆ W UKŁADZIE WSPÓŁRZĘDNYM
Wzór na długość odcinka ( odległość między punktami)
A
AB =
B
(x B − x A )2 + ( y B − y A )2
, gdzie
A = ( x A , y A ); B = ( x B , y B )
Przykład 10.3.1. Oblicz długość odcinka AB , gdzie A = (3,−2); B = (− 1,4)
Rozwiązanie
AB =
(x B − x A )2 + ( y B − y A )2
AB =
(− 1 − 3)2 + (4 + 2)2
=
(− 4 )2 + 6 2
Komentarz
Obliczamy długość odcinka AB
korzystając ze wzoru
= 16 + 36 = AB =
(x B − x A )2 + ( y B − y A )2
Wykonujemy podstawienie
= 52 = 4 ⋅ 13 = 2 13
x A = 3, y A = −2, x B = −1, y B = 4
Przykład 10.3.2. Dany jest punkt P=(0; 7). Wyznacz na osi OX taki punkt R, aby jego
odległość od punktu P wynosiła 74 .
R = ( x R ,0)
PR =
74 =
Rozwiązanie
( x R − x P )2 + ( y R − y P )2
(x R − 0)2 + (0 − 7 )2
Komentarz
Punkt R leŜy na osi OX, zatem
R = ( x R ,0)
Układamy równanie z niewiadomą
wykorzystując wzór
AB =
(x B − x A )2 + ( y B − y A )2
74 = x R 2 + 49
74 = x R 2 + 49
x R 2 = 74 − 49
x R 2 = 25
x R = 5 lub x R = −5
R = (5,0) lub R = (− 5,0 )
xR ,
Zapisujemy współrzędne punktu R.
.
Środek odcinka
A
Współrzędne środka odcinka
gdzie
A = ( x A , y A ); B = ( x B , y B )
 x + xB y A + y B 
S = A
,

2
2


•S
B
Przykład 10.3.3. Wyznacz współrzędne środka odcinka AB , gdzie A = (3,−2); B = (− 1,4)
Rozwiązanie
 x + xB y A + y B 
S = A
,

2
2


 3 −1 − 2 + 4   2 2 
S =
,
 =  ,  = (1,1)
2  2 2
 2
Komentarz
Wyznaczamy środek odcinka
korzystając ze wzoru
AB ,
 x + xB y A + y B 
,
S = A
.
2
2


Wykonujemy podstawienie
x A = 3, y A = −2, x B = −1, y B = 4
Przykład 10.3.4. Dane są punkty A = (51; – 18) i B = (– 14; 24). Znajdź taki punkt C, aby
punkt B był środkiem odcinka AC.
Rozwiązanie
 x + xC y A + y C 
,
B= A

2
2


Komentarz
Do wyznaczenia współrzędnych punktu C,
korzystamy ze wzoru
51 + xC − 18 + yC 
,
(− 14,24) = 

2
 2

51 + xC
− 18 + yC
/⋅ 2
/⋅ 2
− 14 =
24 =
2
2
− 28 = 51 + xC
48 = −18 + yC
Dostosowujemy ten wzór do naszego
zadania i układamy równania z
niewiadomymi xC , y C
xC = −28 − 51
yC = 48 + 18
xC = −79
yC = 66
C = (− 79,66)
 x + xB y A + y B 
S = A
,
.
2
2


Zapisujemy współrzędne punktu C.
Odległość punktu od prostej
Wzór na odległość punktu od prostej
l
·
gdzie
d (P , l ) =
Ax P + By P + C
P = ( x P , y P ) i l : Ax + By + C = 0
A2 + B 2
d
·P
Przykład 10.3.5. Oblicz odległość punktu P = (− 3,2 ) od prostej l : y = 2 x − 4
Rozwiązanie
l : y = 2x − 4
− 2x + y + 4 = 0
A = −2, B = 1, C = 4
d (P , l ) =
d (P , l ) =
Ax P + By P + C
Obliczamy odległość punktu P od prostej l,
korzystając ze wzoru
A2 + B 2
− 2 ⋅ (− 3) + 1 ⋅ 2 + 4
d (P , l ) =
(− 2)
2
d (P , l ) =
6+2+4
d (P , l ) =
12
d (P , l ) =
Komentarz
Zamieniamy równanie kierunkowe prostej l
na postać ogólną.
2
+1
5
⋅
5
5
=
2
A +B
.
2
Wykonujemy podstawienie
A = −2, B = 1, C = 4 oraz
x P = −3, y P = 2
4 +1
5
12
Ax P + By P + C
12 5
5
Usuwamy niewymierność z mianownika.
Przykład 10.3.6. Oblicz odległość między prostymi : l : 2 x − y + 3 = 0 i k : 2 x − y = 0
Rozwiązanie
Niech x P = 0
l : 2x − y + 3 = 0
2⋅0 − yp + 3 = 0
0 − yP + 3 = 0
yP = 3
P = (0,3)
Komentarz
Proste : l : 2 x − y + 3 = 0 i k : 2 x − y = 0 są
równoległe. Odległość między prostymi równoległymi jest to
odległość dowolnego punktu z jednej prostej do drugiej
prostej.
Obieramy dowolny punkt P z prostej l.
Pierwsza współrzędna punktu P jest dowolna , drugą
współrzędną liczymy z równania prostej l.
k : 2x − y = 0
A = 2, B = −1, C = 0
d (P, k ) =
d (P , k ) =
d (P, k ) =
Obliczamy odległość punktu P od prostej k, Korzystając ze
wzoru
2 ⋅ 0 − 1⋅ 3 + 0
d (P , l ) =
Ax P + By P + C
A2 + B 2
2 2 + (− 1)2
−3
4 +1
3
5
3
Usuwamy niewymierność z mianownika
3 5
d (P , k ) =
⋅
=
5
5 5
5
Odp. Odległość między
prostymi : l : 2 x − y + 3 = 0 i
k : 2 x − y = 0 jest równa
3 5
5
Symetralna odcinka
k – symetralna odcinka AB
k
Symetralna odcinka – prosta prostopadła do odcinka i przechodząca
przez jego środek S
•X
A
•
S
B
Symetralna odcinka jest zbiorem punktów płaszczyzny, których
odległości od końców tego odcinka są równe.
AX = BX
Przykład 10.3.7. Wyznacz równanie symetralnej odcinka AB , gdzie A = (− 3,2); B = (1,−4)
Rozwiązanie
( y − y A )(x B − x A ) = (x − x A )( y B − y A )
( y − 2)(1 + 3) = (x + 3)(− 4 − 2)
( y − 2) ⋅ 4 = (x + 3) ⋅ (− 6)
4 y − 8 = −6 x − 18
Komentarz
Wyznaczamy równanie prostej przechodzącej
przez punkty A i B, korzystając ze wzoru
( y − y A )(x B − x A ) = (x − x A )( y B
Wykonujemy podstawienia
− yA )
x A = −3, y A = 2, x B = 1, y B = −4
4 y = −6 x − 10 / :
3
5
y =− x−
2
2
 x + xB y A + y B 
S = A
,

2
2


 − 3 +1 2 − 4   − 2 − 2 
S =
,
,
=
 = (− 1,−1)
2   2 2 
 2
y = ax + b
a=
2
3
S = (− 1,−1)
y = ax + b
2
− 1 = ⋅ (− 1) + b
3
2
−1= − + b
3
1
b=−
3
2
1
Odp. y = x −
3
3
AB , korzystając
 x + xB y A + y B 
ze wzoru S =  A
,

2
2


Wyznaczamy środek odcinka
Wyznaczamy równanie symetralnej – prostej
prostopadłej do prostej AB, przechodzącej przez
punkt S.
Z warunku prostopadłości prostych
współczynnik kierunkowy a symetralnej jest
odwrotny i przeciwny do współczynnika
kierunkowego prostej AB.
Obliczamy współczynnik b podstawiając
współrzędne punktu S do równania
y = ax + b
Zapisujemy równanie symetralnej.
ĆWICZENIA
Ćwiczenie 10.3.1. (1pkt.).Oblicz odległość punktu A = (−3,4) od początku układu
współrzędnych.
schemat oceniania
Numer
Odpowiedź
Liczba punktów
odpowiedzi
Podanie odległości punktu A od (0,0)
1
1
Ćwiczenie 10.3.2. (2pkt.) Dane są punkty A = (15; – 81) i B = (– 41; 42).
Znajdź taki punkt C, aby punkt A był środkiem odcinka BC
schemat oceniania
Numer
odpowiedzi
Odpowiedź
1
Zapisanie równań z niewiadomymi
2
Podanie współrzędnych punktu C.
xC , y C
Liczba punktów
1
1
Ćwiczenie 10.3.3. (3pkt.) Oblicz odległość punktu A = (−3,4) od osi układu współrzędnych.
schemat oceniania
Numer
odpowiedzi
Odpowiedź
Liczba punktów
1
Podanie odległości punktu A od osi OX
1
2
Podanie odległości punktu A od osi OY
1
Ćwiczenie 10.3.4. (2pkt.) Oblicz odległość między prostymi l : y = 3 x + 4 i k : y = 3 x − 2
schemat oceniania
Numer
odpowiedzi
Odpowiedź
Liczba punktów
1
Podanie współrzędnych dowolnego punktu z prostej l
1
2
Podanie odległości między prostymi.
1