Pola i obwodu figur - About: Dawid Sobieraj

POLA FIGUR.
cz.3
FIGURY W UKŁADZIE WSPÓŁRZĘDNYCH
1. W prostokątnym układzie współrzędnych dane są trzy punkty : A = ( - 4, 2 ), B = ( 6, 0 ),
C = ( 2, 4 ). Obliczmy pole trójkąta ABC.
𝐏 =
𝐀𝐁 ∙ 𝐂𝐃
𝟐
Plan rozwiązania:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
Długośd odcinka AB
Równanie prostej AB
Równanie prostej CD
Punkt D
Długośd odcinka CD
Pole trójkąta ABC
a) Długość odcinka AB
AB 
x B  x A  2   y B  y A  2
AB 
6   4  2  0  2 2
AB 
10 2 2 2
AB 
104
AB  2 26
1|S t r o n a
b)
Równanie prostej AB
c) Równanie prostej CD
y = ax + b
y = ax + b
A = ( - 4, 2 ), B = ( 6, 0 ),
C = ( 2, 4 )
2 = -4 a + b
0= 6a+ b
y = 5x + b
- 2 = 10 a
0= 6a+ b
b=
y = -
1
- 5 = -1
a = 5
- 2 = 4 a- b
0= 6a+ b
a=-
a ∙
4 = 5∙2 + b
b = –6
1
5
6
5
1
5
6
x +
5
y = 5x – 6
d) Punkt D
y = -
1
6
x +
5
5
y = 5x – 6
D=
e)
18 12
,
13 13
Długość odcinka CD.
CD 
CD 
CD 
x D  x C  2   y D  y C  2
52  2
 18
 2   12
 26
 13
13
13
13
40  2
  138  2    13
2|S t r o n a
CD 
64  1600
169
169
CD 
1664
169
CD 
f)
8 26
13
Pole trójkąta ABC.
𝐀𝐁 ∙ 𝐂𝐃
𝟐
𝐏 =
P =
2 26 ∙
𝐏 =
2
8 26
13
𝟖 ∙ 𝟐𝟔
𝟏𝟑
𝐏 = 𝟏𝟔
2. W prostokątnym układzie współrzędnych dane są punkty: A = (– 2, – 2), B = ( 4, 1) oraz
C = (5, 4). Są to trzy kolejne wierzchołki równoległoboku ABCD. Obliczmy jego pole oraz
obwód.
P = AB ∙ CE
Obwód = 2 ∙ AB + 2 ∙ BC
AB 
x B  x A  2   y B  y A  2
3|S t r o n a
AB 
4   2 2  1   2 2
BC 
5  4  2  4  1 2
AB 
6 2 3 2
BC 
19
BC 
10
AB  3 5
|CE|  d C , k 
d C , k  
Obwód = 2 ∙ 3 5 + 2 ∙ 10
Ax  By  C
2
A B
Obwód = 6 5 + 2 10
2
k : Ax  By  C  0
Prosta k – prosta AB
y = ax + b
C = ( x, y )
A = (– 2, – 2),
B = ( 4, 1)
- 2 = -2 a + b
1= 4a + b
a =
𝟏
𝟐
b = -1
C (5, 4)
y =
d C , k  
1
2
x - 1
1 5  1 4  1
2
2
1    1 2
2
 
 5
2
d C , k  
5
4
d C , k   5
5
4|S t r o n a
5
d C , k   2
5
2
P = AB ∙ CE
d C , k   5
CE 
3.
P = 3 5∙ 5
P = 15
5
W prostokątnym układzie współrzędnych dane są punkty: A = ( - 2, 1 ), B = ( 4, 1 ) oraz
C = ( 2, 4 ). Ponadto AB jest trzy razy dłuższy od odcinka CD. Obliczmy pole trapezu
ABCD.
P 
 AB
AB 
4   2 2 1  1 2
AB 
62
 CD   CE
2
AB  6
AB  3 CD
CD  2
CE  3
P 
6
 2  3
2
5|S t r o n a