10. Geometria analityczna

10. GEOMETRIA ANALITYCZNA
10.1. Prosta
a)
Równanie kierunkowe prostej:
y = ax + b , gdzie a, b ∈ R
a – współczynnik kierunkowy, b - współczynnik stały
Prosta y
(0, b)
= ax + b przecina oś OY w punkcie (0, b )
i jest nachylona do osi OX pod kątem
α
α
Prosta y
= ax + b w zaleŜności od znaku współczynnika a
a>0
a<0
a=0
y=b
α
α
α ∈ (0°,90°)
α ∈ (90°,180°)
α = 0°
a = −tg (180° − α )
a = tgα
α
(c,0)
b) Równanie ogólne prostej
Ax + By + C = 0
, gdzie A, B, C ∈ R
Prosta nachylona do osi OX pod kątem
równania kierunkowego .
MoŜna ją zapisać za pomocą równania
Prosta ta przecina oś OX w punkcie
i
A ≠ 0∨ B ≠ 0
α = 90°
x = c.
(c,0)
nie ma
c) Równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty
·A
( y − y A )(x B − x A ) = (x − x A )( y B − y A )
gdzie
·B
A = ( x A , y A ); B = ( x B , y B )
x A = x B , to otrzymamy prostą o równaniu x = c ( prosta pionowa).
Jeśli y A = y B , to otrzymamy prostą o równaniu y = b (prosta pozioma).
Jeśli
d) Odległość punktu od prostej
Wzór na odległość punktu od prostej
l
·
gdzie
d (P , l ) =
P = ( x P , y P ) i l : Ax + By + C = 0
Ax P + By P + C
A2 + B 2
d
·P
e) Równoległość i prostopadłość prostych
k : y = a k x + bk
l : y = al x + bl
Warunek równoległości prostych
l
k
l║k
⇔
a k = al
Proste są równoległe, gdy ich współczynniki kierunkowe są równe
Warunek prostopadłości prostych
l
k
l┴ k
•
⇔
ak = −
1
al
Proste są prostopadłe, gdy ich współczynniki kierunkowe są przeciwne i odwrotne
10.2.
Odcinek
a) Wzór na długość odcinka
A
AB =
(x B − x A )2 + ( y B − y A )2
, gdzie
A = ( x A , y A ); B = ( x B , y B )
B
b) Środek odcinka
 x + xB y A + y B 
S = A
,

2
2


gdzie A = ( x A , y A ); B = ( x B , y B )
Współrzędne środka odcinka
A
•S
B
c)
Symetralna odcinka
k – symetralna odcinka AB
k
Symetralna odcinka – prosta prostopadła do odcinka i przechodząca
przez jego środek S
•X
•
S
A
B
Symetralna odcinka jest zbiorem punktów płaszczyzny, których
odległości od końców tego odcinka są równe.
AX = BX
10.3.
Okrąg
Równanie okręgu o środku
S
r
S = (a, b ) i promieniu r
(x − a )2 + ( y − b )2 = r 2