LISTA 6

METODYKA ROZWIĄZYWANIA ZADAŃ MATEMATYCZNYCH 4
POZIOM ROZSZERZONY – LISTA 6 – Planimetria
Zad.1 W trapezie ABCD o podstawach AB i CD dane są: |AD| = 6, |BC| = 12, |AC| = 10 oraz
|<
) ABC| = | <
) CAD|. Oblicz długość podstawy AB tego trapezu.
Zad.2 Na przyprostokątnych AC i BC trójkąta prostokątnego ABC zbudowano, na zewnątrz,
kwadraty ACDE i BF GC. Odcinek AF przecina przyprostokątną BC w punkcie L, a odcinek BE
przecina przyprostokątną AC w punkcie K. Udowodnij, że |KC| = |LC|.
Zad.3 Okrąg o środku A i promieniu r jest styczny zewnętrznie do okręgu o środku B i promieniu R
(R > r). Prosta k jest styczna jednocześnie do obu okręgów i tworzy z prostą AB kąt ostry α.
Wyznacz sin α w zależności od r i R.
Zad.4 Dany jest prostokąt ABCD. Okrąg wpisany w trójkąt BCD jest styczny do przekątnej BD
w punkcie N . Okrąg wpisany w trójkąt ABD jest styczny do boku AD w punkcie M , a środek S
tego okręgu leży na odcinku M N . Wykaż, że |M N | = |AD|.
Zad.5 Trapez równoramienny ABCD o podstawach AB i CD jest opisany na okręgu o promieniu r.
Wykaż, że 4r2 = |AB| · |CD|.
Zad.6 Bok kwadratu ABCD ma długość 1. Na bokach BC i CD wybrano odpowiednio punkty
E i F umieszczone tak, by |CE| = 2|DF |. Oblicz wartość x = |DF |, dla której pole trójkąta AEF
jest najmniejsze.
Zad.7 Wykaż, że trójkąt o bokach 10, 6 i 14 jest rozwartokątny. Wyznacz największy kąt trójkąta.
Zad.8 W kąt o mierze 60◦ wpisano dwa okręgi styczne zewnętrznie. Promień mniejszego okręgu
ma długość 1. Oblicz długość promienia drugiego okręgu.
Zad.9 Wykaż, że długość d środkowej trójkąta wyraża się wzorem:
d=
s
b2 + c2 − 21 a2
,
2
gdzie a to długość boku, na który opuszczono środkową, b i c to długości pozostałych boków trójkąta.
Zad.10 Wykaż, że jeżeli w trójkącie zachodzi stosunek
a
cos α
=
b
,
cos β
gdzie α i β są odpowiednio
kątami leżącymi naprzeciw boków o długościach a i b, to trójkąt ten jest równoramienny.
Zad.11 Trójkąt o boku a i kącie ostrym α, leżącym naprzeciw tego boku, jest wpisany w okrąg
o promieniu R, zaś trójkąt o boku a+1 i kącie ostrym α, leżącym naprzeciw tego boku, jest wpisany
w okrąg o promieniu R + 1. Wyznacz miarę kąta α.
Zad.12 W trójkącie ABC są dane |AB| = 8, |BC| = 6 oraz sin <
) ABC =
√
5
.
3
Oblicz stosunek
promienia okręgu opisanego na trójkącie ABC do promienia okręgu wpisanego w ten trójkąt.
Zad.13 Dany jest prostokąt ABCD, w którym |AB| = a, |BC| = b, a > b. Odcinek AE jest
wysokością trójkąta DAB opuszczoną na jego bok BD. Wyraź pole trójkąta AED za pomocą a i b.
Zad.14 W trapezie opisanym na okręgu boki nierównoległe mają długości 3 i 5, zaś odcinek łączący
środki tych boków dzieli trapez na dwie części, których pola są w stosunku 5 : 11. Oblicz długości
podstaw trapezu.
Zad.15 Wykaż, że w czworokąt wypukły można wpisać okrąg wtedy i tylko wtedy, gdy sumy
długości przeciwległych boków czworokąta są równe.
Zad.16 Oblicz pole trapezu o podstawach długości a i 4a wiedząc, że można na nim opisać okrąg
i można w niego wpisać okrąg.
Zad.17 W trójkącie ABC poprowadzono środkową CD i wyznaczono na niej punkt E taki, że
|CE|
|ED|
= 31 . Prosta przechodząca przez punkty A i E przecina bok BC w punkcie P .
Wykaż, że
|CP |
|P B|
= 61 .
Zad.18 W trójkącie ABC kąt przy wierzchołku B jest ostry. Długość promienia okręgu opisanego
na tym trójkącie jest równa 5 oraz |AC| = 6 i |AB| = 10. Na boku BC wybrano taki punkt K, że
|BK| = 2. Oblicz długość odcinka AK.