1.08. Ścinanie

1.8. PROSTE ŚCINANIE
1.8.1. Wprowadzenie
Proste ścinanie występuje wówczas, gdy obciążenie zewnętrzne redukuje się do wektora
siły poprzecznej Tz , której kierunek pokrywa się z główną, centralną osią przekroju Oz .
Prostym ścinanie praktycznie nie występuje przy obliczaniu budowlanych elementów
konstrukcyjnych. Istnieje jednak szereg technicznie ważnych przypadków, np. połączenia
nitowane, spawane czy też klejone, kiedy to decydujący wpływ na stan naprężenia mają
siły poprzeczne i naprężenia styczne. Przy obliczaniu takich połączeń zwykle pomija się
występujące jednocześnie naprężenia wywołane zginaniem. Taki przypadek nazywamy
ścinaniem technologicznym (technicznym), w którym bierzemy pod uwagę średnią
wartość naprężeń tnących, pomijając sprawę ich rozkładu w rozpatrywanym przekroju.
1.8.2. Stan naprężenia i odkształcenia
Rozważmy pręt o długości l – porównywalnej z wymiarami przekroju poprzecznego A ,
obciążony siłą skupioną P (rys. 1).
Rys. 1
Z rysunku tego wynika, że w pręcie występują dwie siły przekrojowe, a mianowicie: siła
poprzeczna Tz i moment zginający M y . Jednak z uwagi na małą długość pręta założymy,
że naprężenia normalne wywołane momentem zginającym są znacznie mniejsze od
naprężeń stycznych wywołanych przez siłę poprzeczną. W takim przypadku możemy
przyjąć, że rozważany pręt jest poddany prostemu ścinaniu.
Stan naprężeń i odkształceń w przy prostym ścinaniu wyznaczymy przyjmując
następujące założenia upraszczające:
(i) wpływ siły masowej jest pomijalny
gx = gy = gz = 0
(1)
(ii) osie Cy i Cz są osiami głównymi, centralnymi przekroju
S y = Sz ≡ 0,
I yz ≡ 0
(2)
(iii) spełniona jest hipoteza płaskich przekrojów BERNOULLI’EGO
(iv) spełniona jest hipoteza DE SAINT-VENANTA
Strona geometryczna
Ze sposobu odkształcenia pręta ścinanego wynika, że wszystkie jego przekroje
poprzeczne przemieszczają się równolegle do płaszczyzny Oyz , pozostając – zgodnie z
założeniem (iv) – płaskie po odkształceniu (rys. 2).
Rys. 2
Zatem wektor przemieszczenia w każdym przekroju takiego pręta ma tylko jedną
niezerową współrzędną w , która jest zależna wyłącznie od odległości x od miejsca
utwierdzenia. Pozostałe dwie współrzędne wektora przemieszczenia, a więc u i v są
równe zeru. Możemy zatem przyjąć, że w każdym punkcie ścinanego pręta
u = 0, v = 0, w = ax
(3)
gdzie a jest stałą, którą należy wyznaczyć.
Równania geometryczne (1.4.13) – zapisane w postaci wykorzystującej symbole używane
w zagadnieniach inżynierskich (1.4.28) – mają następującą postać:
ε x = u,x , ε y = v ,y , ε z = w,z
γ xy = γ yx = u,y + v ,x
(4)
γ xz = γ zx = u,z + w ,x
γ yz = γ zy = v ,z + w ,y
skąd, po uwzględnieniu postaci współrzędnych (3), otrzymujemy
γ xz = γ zx = a
εx = εy = εz = 0
(5)
γ xy = γ yx = γ yz = γ zy = 0
Zatem macierz odkształceń (1.4.28) ma postać
0 0
[ε ij ] =  0 0
 21 a 0
a
0 
0 
1
2
(6)
Strona fizyczna
Uwzględniając współrzędne tensora odkształceń (6) w równaniach fizycznych (1.5.11’),
przy wykorzystaniu oznaczeń (1.3.6), dostajemy współrzędne tensora naprężeń
τ xz = τ zx = Ga
σx = σy = σz = 0
(7)
τ xy = τ yx = τ yz = τ zy = 0
gdzie G jest modułem sprężystości poprzecznej (modułem KIRCHOFFA). W rezultacie
macierz naprężeń (1.3.6) ma postać
 0 0 aG 
[σ ij ] =  0 0 0 
aG 0 0 
Strona statyczna
Z uwagi na stan naprężenia w pręcie (rys. 3)
(8)
Rys. 3
zależności (1.3.56)2,4 (równania równowagi elementarnego wycinka pręta ścinanego)
przyjmują postać
∫ τ dA = aG ∫ dA = T
∫ (τ y )dA = aG ∫ ydA = 0
A
A
xz
z
A
xz
A
zaś pozostałe są spełnione tożsamościowo. Ponieważ
założenie (iii) –
∫
A
(9)
∫ dA = A , natomiast – z uwagi na
A
ydA = Sz = 0 , zatem z zależności (9)1 wynika, że
a=
Tz
GA
(10)
natomiast warunek (9)2 jest spełniony tożsamościowo.
1.8.3. Naprężenie styczne, odkształcenie postaciowe i przemieszczenia
Podstawiając stałą (10) do wzoru (7)1 otrzymujemy formułę określającą naprężenie
styczne w pręcie przy prostym ścinaniu
τ xz =
Tz
A
(11)
Ponieważ naprężenie to jest stałe, zaś pozostałe naprężenia są równe zeru, zatem przy
założeniu (1) równania równowagi (1.3.32) są spełnione tożsamościowo.
Uwzględnienie związku (10) we wzorze (5)1 pozwala otrzymać zależność określającą
odkształcenie postaciowe pręta ścinanego, czyli
γ xz =
Tz
GA
(12)
gdzie GA nazywamy sztywnością pręta przy ścinaniu. Z powyższego wzoru wynika, że
również odkształcenie pręta poddanego prostemu rozciąganiu jest stałe. Zatem równania
nierozdzielności (1.4.27) są spełnione tożsamościowo.
Podstawiając (10) do (3) dostajemy wzór określający przemieszczenie pionowe pręta
ścinanego
w (x ) =
Tz
x
GA
(13)
Z powyższego wzoru wynika, iż przemieszczenie pionowe końca pręta ścinanego (rys. 1)
wynosi
w max = w (l ) =
Tz l
GA
(14)
1.8.4. Warunek projektowania połączeń ścinanych
(a) Warunek wytrzymałości
τ xz =
T
≤ Rt
A
(15)
gdzie T jest siłą ścinającą, Rt – wytrzymałością obliczeniową na ścinanie; jest ona
mniejsza od wytrzymałości na rozciąganie, Rt = 0.5 ÷ 0.8 R .
Powyższy warunek można wykorzystać do wyznaczenia nośności pręta
T ≤ ARt
(16)
lub pola powierzchni jego przekroju poprzecznego
A≥
T
Rt
Tok obliczeń połączeń ścinanych (spawanych, nitowanych itp.) zazwyczaj obejmuje:
− sprawdzenie elementów łączonych na rozciąganie,
− sprawdzenie elementów łączących lub spoin na ścinanie,
− sprawdzenie połączenia na docisk (nacisk powierzchniowy).
(17)
Przykład 1. Wyznaczyć naprężenia główne i kierunki główne przy prostym ścinaniu
Dane: Macierz naprężeń przy prostym ścinaniu
[σ ij ]
0

=0
τ xz
0 τ xz 

0 0
0 0 
Szukane: σ 1, σ 2, σ 2 , n1, n2 , n3
Rozwiązanie:
Krok 1. Obliczamy naprężenia główne
Korzystając ze wzoru (1.3.26) obliczamy niezmienniki macierzy naprężeń
I1 = 0,
I2 =
0
τ xz
τ zx
0
= −(τ xz ) , I3 = 0
2
Podstawiając powyższe niezmienniki do równania charakterystycznego (1.3.25) otrzymujemy
[
]
σ σ 2 − (τ xz )2 = 0
Powyższe równanie ma następujące pierwiastki (naprężenia główne)
σ 1 = −τ xz
σ2 = 0
σ 3 = τ xz
W układzie odniesienia wyznaczonym przez kierunki główne macierz naprężeń ma zatem postać
− τ xz
0
 0
[σ ij′ ] = 
0

0
0 τ xz 
0
0
Krok 2. Wyznaczamy kierunki główne
Podstawiając współrzędne tensora naprężeń do równań (1.3.23) sprowadzamy je do postaci
−σn1 + τ xz n3 = 0
− σn2 = 0
τ zx n1 − σn3 = 0
Natomiast warunek (1.3.28)1 zapisujemy jako
n12 + n22 + n32 = 1
Podstawiając do powyższych równań kolejne naprężenia główne otrzymujemy
σ 1 = −τ xz
τ xz n11 + τ xz n13 = 0 → n11 + n13 = 0 → n11 = −n13
− τ xz n12 = 0 → n12 = 0
2
2
2
2
+ n12
+ n13
= 1 → 2n11
= 1 → n11 =
n11
2
= −n13
2
σ2 = 0
τ xz n23 = 0 → n23 = 0
− 0 ⋅ n22 = 0
τ zx n21 = 0 → τ zx n21 = 0 → n21 = 0
2
2
2
2
n21
+ n22
+ n23
= 1 → n22
= 1 → n22 = 1
σ 3 = τ xz
−τ xz n31 + τ xz n33 = 0 → −n31 + n33 = 0 → n31 = n33
− τ xz n32 = 0 → n32 = 0
2
2
2
2
n31
+ n32
+ n33
= 1 → 2n31
= 1 → n31 =
2
= n33
2
Czyli naprężenia główne i kierunki główne w przypadku prostego ścinania mają następującą postać:
σ 1 = −τ xz → n1
2
, 0, −
 2
σ 2 = 0 → n2 (0, 1, 0 )
σ 3 = τ xz → n3 

2
2
, 0,
2
2
2
2




Z powyższych wzorów wynika, że kierunki główne są nachylone do osi pręta pod kątem 45º, natomiast
naprężenia główne, z których jedno jest rozciągające a drugie ściskające, są równe co do wartości
naprężeniom stycznym (ścinającym). Stan naprężenia w pręcie ścinanym w układzie Oxz oraz układzie osi
głównych Ox1x3 przedstawia rys. P1 (wektor n2 jest skierowany prostopadle do płaszczyzny rysunku).
Rys. P1
Z kierunku głównych naprężeń rozciągających i małej wytrzymałości betonu na rozciąganie wynika
konieczność odginania wkładek zbrojeniowych belek żelbetowych przy podporach (tam gdzie są duże siły
poprzeczne) pod katem 45o .
Przykład 2. Wyznaczyć wymiary okrągłego ściągu stalowego wzmacniającego ścianę ceglaną (rys. P2).
Rys. P2
Dane: P = 100 kN, R = 140MPa, Rt = 100MPa, Rd = 10MPa
Szukane: D, h, d
Rozwiązanie:
Krok 1. Korzystając ze wzoru (1.7.26) obliczamy średnicę d ściągu z warunku wytrzymałości na rozciąganie
Ad ≥
P
R
Ponieważ pole powierzchni rozciąganej jest równe
Ad =
Πd 2
4
zatem
d=
4P
=
ΠR
4 ⋅ 100 ⋅ 103
= 0.03 m = 3 0 mm
3.14 ⋅ 140 ⋅ 106
Krok 2. Korzystając ze wzoru (17) obliczamy grubość h główki ściągu z warunku wytrzymałości na ścinanie
Ah ≥
P
Rt
Ponieważ pole powierzchni ścinanej jest równe
Ah = Πdh
zatem
h=
P
100 ⋅ 103
=
= 0.008 m = 8 mm
ΠdRt 3.14 ⋅ 0.03 ⋅ 140 ⋅ 106
Krok 3. Obliczamy średnicę D główki ściągu z warunku wytrzymałości na docisk. Aby w miejscu docisku
główki ściągu do powierzchni ściany nie powstały odkształcenia trwałe, pole powierzchni nacisku
powierzchniowego musi spełniać warunek (1.7.26)
AD ≥
P
Rd
Ponieważ pole powierzchni docisku jest równe
AD =
(
Π 2
D − d2
4
)
zatem
D=
4P
+ d2 =
ΠRd
4 ⋅ 100 ⋅ 103
3.14 ⋅ 10 ⋅ 10
+ (0.03) = 0.117 m = 117 mm
2
6