Współczynnik naprężeń

Transkrypt

POLITECHNIKA ŚWIĘTOKRZYSKA
WYDZIAŁ MECHATRONIKI I BUDOWY MASZYN
SPECJALNOŚĆ "SYSTEMY CAD/CAE"
Współczynnik naprężeń
Kamil Chabiński grupa CAD/CAE
1. Zadanie:
Rys. 1. Schemat płyty z otworami użytej do badania.
Na wstępnej siatce wyznaczyć najbardziej obciążoną strefę konstrukcji naprężeń.
Dla tej strefy, używając metodę sklejania siatek, wyznacz współczynnik koncentracji naprężeń z
dokładnością 5%
Obciążenie badanego elementu to równomierne rozciąganie jednostkowe w kierunku pionowym.
Założenia:
-naprężenia przyłożone obustronnie do płytki o wartościach 10 Pa powodują w płytce stan
jednoosiowego rozciągania,
-materiał użyty do stworzenia modelu : izotropowy,
2013-01-26 opracował: Kamil Chabiński
Strona 1
-grubość płytki 0.01m
2. Opis modelu:
2.1. Podstawowe założenia:
Zakładam, że badany element z trzema otworami o takiej samej średnicy, poddany jest rozciąganiu w
kierunku pionowym (Rys. 2.) . Podstawą prawidłowego wykonania zadania (wyznaczenia
współczynnika koncentracji naprężeń) jest wyznaczenie strefy najbardziej obciążonej ( miejsce w
którym występują największe naprężenia (Rys. 3 ).
Rys. 2. Model płytki z otworami użytej do obliczeń.
Strona 2
Rys. 3. Model z najbardziej obciążoną strefą.
Model wstępny przekracza błąd wartości naprężeń który wynosi 5% (Rys. 4.). Powyższe założenia
pozwalają zamodelować w programie ADINA, badany element za pomocą grupy elementów płaskich
(typ 2-D Solid), w którym wyznaczam strefę najbardziej obciążoną.
Rys. 4. Błąd wartości naprężeń wstępnego modelu płytki.
Strona 3
Dla tej strefy tworzę odrębną dokładniejszą siatkę spełniającą warunek błędu naprężeń który nie
przekracza 5% (Rys. 5.).
Rys.5. Błąd wartości naprężeń dla zagęszczonej siatki w obszarze najbardziej zagrożonym.
Siatka zostaje sklejona (Meshing- Glue Mesh) z pozostałą o mniejszym stopniu dokładności (Rys. 6).
Siatki zostają sklejone tak aby miały niezależne węzły wspólnych punktach.
Rys. 6. Model z dwoma sklejonymi siatkami.
Strona 4
3. Obliczenia analityczne i numeryczne (MES):
Aby dokonać obliczeń potrzebnych do wyznaczenia współczynnika koncentracji naprężeń
wstępujących w badanej płytce z otworami, stosuję wzory wytrzymałościowe dla zagadnienia
współczynnik koncentracji naprężeń.
Pole przekroju płytki z otworami:
P  ab
(1)
Siły osiowe działające na płytkę :
gdzie:  0 -naprężenie przyłożone do płytki [Pa]
F  0  P
(2)
P- pole przekroju płytki [m2]
Pole przekroju w obszarze najbardziej obciążonym (pole przekroju płytki z odjętymi polami
przekrojów otworów) :
S A A  (a  2  d )  b
(3)
gdzie: a- długość płytki [m]
b- grubość płytki [m]
d- średnica otworu [m]
Naprężenia nominalne w przekroju najbardziej obciążonym (z otworami) :
 nom 
F
S A A
[Pa]
(4)
Współczynnik koncentracji naprężeń:
Kt 
 max
 nom
(5)
Współczynnik koncentracji naprężeń ( dla konstrukcji uszkodzonej czyli z otworami, książka Stress
Concentration) wzór do sprawdzenia współczynnika koncentracji naprężeń metodą analityczną :
d
d
K tA  3  3.0018  ( )  1.0099  ( ) 2
L
L
(6)
gdzie: L- odległość pomiędzy środkami otworów [m]
Naprężenia nominalne według Stress Concentration:
 nom 
d
L
  1  ( )2
d
1
L
(7)
gdzie σ- naprężenia działające na płytkę [Pa]
L - Odległość pomiędzy środkami otworów [m]
Strona 5
Naprężenia maksymalne działające na płytkę:
 max  K   nom
(8)
3.1 Analiza numeryczna:
Po osiągnięciu błędu wyniku naprężeń poniżej5% mogę przystąpić do obliczeń mających na
celu wyznaczenie współczynnika koncentracji naprężeń.
Na początku obliczam pole przekroju płytki poddanej badaniu korzystając ze wzoru nr (1) :
P=0.06m2
Znając już pole przekroju płytki mogę obliczyć siłę jaka działaj na badaną płytkę. Siłę obliczam za
pomocą wzoru nr (2):
F=0.006N
W celu wyznaczenia naprężeń nominalnych (naprężenia nominalne-minimalny poziom naprężeń
występujący w badanym modelu) dla przekroju z otworami, musze wyznaczyć pole przekroju A-A
Rys.7. Jest to pole przekroju całej płytki od którego odejmuję pola przekrojów odcinków wpisanych w
otwory. Wzór nr (3):
SA-A=0.04m2
a następnie wyznaczam naprężenia nominalne najbardziej obciążonego przekroju czyli A-A.
Korzystając ze wzoru nr (4). Dzielę siłę jaka działa na badaną płytkę przez pole powierzchni przekroju
A-A. Naprężenia nominalne wynoszą:
 nom =15Pa
Znając naprężenia nominalne na przekroju z otworami obliczam współczynnik koncentracji naprężeń.
Naprężenia maksymalne występujące w badanej płytce wynoszą  max =35.83 Pa (Rys. 8).
Rys. 8. Maksymalne naprężenia działające na badaną płytkę.
Strona 6
Znając naprężenia nominalne jak i naprężenia maksymalne jakie działają na badaną płytkę osłabioną
otworami obliczam współczynnik koncentracji korzystając ze wzoru nr (5):
Kt 
35.83Pa
 2.3886
15Pa
3.2 Obliczenia analityczne:
W celu potwierdzenia zgodności obliczeń numerycznych dla wyznaczenia współczynnika
naprężeń krytycznych stosujemy metodę analitycznych obliczeń.
Rys. 7. Naprężenia oraz siły działające na płytkę.
Współczynnik koncentracji naprężeń wyliczam dla przekroju A-A. Przekrój ten jest najbardziej
narażony na powstanie stref plastycznych
Dokonuję analizy wyników na podstawie książki " Roark's Formulas for stress and strain" . W celu
wyliczenia analitycznie współczynnika koncentracji naprężeń musze ponownie obliczyć naprężenia
nominalne ale w tym przypadku korzystam ze wzoru z ww. książki, wzór nr(7) :
Strona 7
0.01 2
)
10  0.866
0.02

 17.32 Pa
0.01
0.5
1
0.02
10  1  (
 nom 
Po obliczeniu naprężeń nominalnych przystępuję do obliczenia współczynnika koncentracji naprężeń
dla przekroju A-A (Rys. 7), za pomocą wzoru nr (6):
K tA  3  3.0018  (
0.01
0.01 2
)  1.0099  (
)  3  1.5009  0.252475  1.751575
0.02
0.02
W celu sprawdzenia poprawności wyliczonego analitycznie oraz numerycznie współczynnika
koncentracji naprężeń mnożę naprężenia nominalne przez wyliczony współczynnik. W ten sposób
powinienem otrzymać zbliżoną wartość naprężeń maksymalnych (8).
 max  K t   nom  2.3886  15Pa  35.829Pa
Są to naprężenia maksymalne obliczone wg. współczynnika Kt=2.3886 i σnom=15 Pa
 max  K tA   nom  1.751575 17.32Pa  30.337 Pa
Naprężenia maksymalne wyznaczone dla: KtA=1.751575 oraz naprężeń nominalnych wynoszących
σnom=17.32Pa
Rys. 9. Zestawienie naprężeń działających na badaną płytkę
4. Wnioski końcowe.
Celem ćwiczenia było wyznaczenie współczynnika koncentracji naprężeń dla najbardziej
obciążonej strefy płytki z trzema otworami.
Wycięte otwory zaburzają rozkład sił w przekroju płytki. Maksymalna wartość naprężeń
wywołanych przez rozciąganie płytki znajduję się na granicy otworu (Rys. 8.). Oznacza to, że gdy
maksymalna wartość naprężenia przekroczy granice plastyczności materiału z którego została
wykonana płytka, w miejscu gdzie naprężenia osiągają maksymalną wartość powstanie strefa
Strona 8
plastyczna (przekrój A-A). Strefa ta będzie się powiększać i rozprzestrzeniać wzdłuż najkrótszej drogi
w kierunku następnego otworu (będzie przemieszczać się w strefie koncentracji naprężeń).
Przekroczenie granicy plastyczności przez naprężenia spowoduje rozerwanie płytki.
Współczynnik koncentracji naprężeń to stosunek naprężeń nominalnych występujących w
konstrukcji do naprężeń maksymalnych jakie działają na daną konstrukcję. Wyliczone wyżej
współczynniki dla strefy najbardziej obciążonej różnią się wartościami. Może to wynikać z faktu że
zostały wyliczone na podstawie dwóch różnych wzorów. Współczynnik wyliczony przy pomocy
wzoru nr. 6 jest mniejszy a co za tym idzie bardzo zaniża wartości naprężeń maksymalnych. Wyniki
przeprowadzone metodą numeryczną zawyżają naprężenia maksymalne w stosunku do wyników
obliczonych analitycznie. Uzyskane wyniki są bezpiecznym rozwiązaniem.
Wsp. Koncentracji
naprężeń
Naprężenia nominalne
[Pa]
Naprężenia maksymalne
[Pa]
Kt
2.3886
15
35.829
KtA
1.751575
17,32
30.337
Naprężenia wyliczone
przez program
ADINA [Pa]
35.64
35.64
Strona 9
5. Literatura:
[1] " Stress Concentration " str. 287
Strona 10

Współczynnik naprężeń

Transkrypt

Podobne dokumenty

Zginanie ukośne

1 Zadanie 1 1) Obciążenie przekroju najbardziej wytężonego

Obliczenia tarcz płaskich Przerysuj na tą kartkę a następnie

Rozciąganie i ściskanie w układach statycznie niewyznaczalnych

analiza wpływów reologicznych w zespolonym stropie drewniano

Projekt nr 2. Stan naprężenia w punkcie. Prawo Hooke`a. a

1 Kolokwium zaliczeniowe nr 2 z przedmiotu MOSTY METALOWE II

1.08. Ścinanie

Wykład 0 - Katedra Wytrzymałości, Zmęczenia Materiałów i Konstrukcji