Bryła sztywna

Bryła sztywna - moment pędu
W (nieinercjalnym) układzie środka masy
x'3
układ
dowolny
x3
ω
~ = [ω1 , ω2 , ω3 ] =
ri
x'2
x'1
mi
r'i
3
X
ωµ~iµ
µ=1
R
x1
układ
środka
masy
x2
r~i = [ri1 , ri2 , ri3 ] =
3
X
riµ~iµ
µ=1
Dla i-tego elementu masy:
X
~i
L
bac−cab
= ~ri × ~vi = ~ri × (~
ω × ~ri ) = ω
~ ri2 − ~ri (~ri · ω
~) = ω
~ ri2 − ~ri
riν ων
mi
ν
Dla składowej µ (µ = 1, 2, 3):
X
X
Liµ
ων (ri2 δµν − riµ riν )
= ωµ ri2 −
riν ων riµ =
mi
ν
ν
Bryła sztywna - tensor momentu bezwładności
Iµν =
X
mi (ri2 δµν − riµ riν )
i
1 jeśli µ = ν
0 jeśli µ 6= ν
na xi , yi , zi :
gdzie δkl to tzw. delta Kroneckera: δµν =
Po zmianie oznaczeń ri1 , ri2 , ri3

P
P
mi (yi2 + zi2 )
− mi xi yi
− mi xi zi
i P
i

P i 2
P
mi (xi + zi2 )
− mi yi zi 
− mi yi xi

i
i P

P
P i 2
− m i zi xi
− mi zi yi
mi (xi + yi2 )
P

Ixx
Iˆ = Ixy
Ixz
Ixy
Iyy
Iyz

Ixz


Iyz  = 

Izz
i
i
i
Tensor jest symetryczny, tzn. elementy niediagonalne (tzw. momenty
dewiacyjne) spełniają: Iαβ = Iβα .
~ = Iˆ · ω
Moment pędu: L
~
Układ osi głównych
Osie główne to 3 wzajemnie prostopadłe osie swobodne, czyli takie, wokół
których możliwy jest swobodny obrót bryły (przy braku zewnętrznych
momentów). Osie główne przechodzą przez środek masy bryły.
Kierunki osi głównych pokrywają się z wektorami własnymi tensora Iˆ
(macież działając na wektor własny powoduje jedynie zmianę jego
długości).
W układzie osi głównych bryły tensor momentu pędu ma postać
diagonalną:


Ix 0 0
Iˆ =  0 Iy 0 
0 0 Iz
Elementy na przekątnej to tzw. momenty główne.
Moment pędu w układzie osi głównych:
~ = I~
ˆω = [Ix ωx , Iy ωy , Iz ωz ]
L
Energia kinetyczna w układzie osi głównych
Ek =
1X
1
1X
~
mi vi2 =
mi~vi · (~
ω × ~ri ) = ω
~ ·L
2 i
2 i
2
L
~ =ω
2Ek = ω
~ ·L
~ · Iˆ · ω
~ =
X
ωµ Iµν ων
µν
Przy oznaczeniach osi x, y, z:
ωy
ω
ωx
2Ek = ωx2 Ix + ωy2 Iy + ωz2 Iz
Przy braku sił zewnętrznych Ek = const, otrzymujemy elipsoidę
~ jest
bezwładności (w przestrzeni prędkości kątowych). Moment pędu L
gradientem energii kinetycznej w przestrzeni ω, więc jest prostopadły do
powierzchni elipsoidy bezwładności.
~ nie są do siebie równoległe. Jest tak
W ogólności więc wektory ω
~ iL
wyłącznie w przypadku, gdy Ix = Iy = Iz (w układzie osi głównych),
wtedy elipsoida bezwładności degeneruje się do kuli.
Równania ruchu
w układzie osi głównych
L = Iˆ · ω
~ =
X
Iµ ωµ~iµ
µ
X
~
˙
~ = dL = d (Iˆ · ω
~) =
Iµ (ω̇µ~iµ + ωµ~iµ )
M
dt
dt
µ
˙
Podstawiamy ~ix i analogicznie dla wszystkich µ = x, y, z:
~i˙ x = ω
~ × ~ix = (ωx~ix + ωy~iy + ωz~iz ) × ~ix = ωz~iy − ωy~iz
Otrzymujemy równiania Eulera:

 Mx = Ix ω̇x + (Iz − Iy )ωy ωz
My = Iy ω̇y + (Ix − Iz )ωz ωx

Mz = Iz ω̇z + (Iy − Ix )ωx ωy
Najbardziej stabilny obrót jest wokół osi, dla której moment jest
największy. Obrót wokół osi z pośrednim momentem głównym jest
niestabilny.
Precesja i nutacja
Nutacja - stabilne kołysanie się osi obrotu bryły sztywnej o symetrii
osiowej (tzn. Ix = Iy 6= Iz ) przy braku zewnętrznych momentów sił.
Przykład: nutacja Ziemi o okresie 427 dni.
Precesja - stopniowe obracanie się osi obrotu bryły sztywnej pod
wpływem momentu sił.
Przykład: precesja Ziemi o okresie 26000 lat, precesja Larmora momentu
magnetycznego atomu w zewnętrznym polu magnetycznym
(magnetyczny rezonans jądrowy).