Porządki częściowe II

MFI
Metody Formalne Informatyki: Zestaw 10
Semestr zimowy 2016/2017
Kraków
20 grudnia 2016
Porządki częściowe II
Porządki (X, ¬) i (Y, ¬) nazywamy podobnymi, gdy istnieje bijekcja f : X → Y taka,
że x ¬ y ⇒ f (x) ¬ f (y). Porządek (X, ¬) nazywamy gęstym, gdy ∀x,y∈X x < y ⇒
∃z∈X x < z < y.
Zadanie 1. Rozważymy dwie relacje porządkujące zbiór NN :
(i) f v1 g ⇔ ∀n∈N f (n) ¬ g(n),
(ii) f v2 g ⇔ f = g ∨ ∃n0 ∈N (f (n0 ) < g(n0 ) ∧ ∀n<n0 f (n) = g(n)).
Sprawdź, czy powyższe porządki są podobne.
Zadanie 2. Rozważymy relację porządkującą zbiór {0, 1}N zdefiniowaną jako:
f v g ⇔ f = g ∨ ∃n0 ∈N (f (n0 ) < g(n0 ) ∧ ∀n<n0 f (n) = g(n)).
Sprawdź, czy powyższy porządek jest gęsty.
Zadanie 3. Niech (X, ¬) będzie gęstym porządkiem. Wykaż, że dowolny porządek (Y, ¬)
podobny do (X, ¬) jest gęsty.
Zadanie 4. Znajdź moc:
(i) zbioru relacji równoważności w N, które są jednocześnie częściowymi porządkami N,
(ii) zbioru wszystkich łańcuchów maksymalnych w zbiorze {0, 1}∗ z relacją porządku
prefiksowego.
Zadanie 5. Niech X będzie zbiorem. Wykaż, że (P(X), ⊆) jest posetem. Znajdź element
najmniejszy i największy w (P(X), ⊆).
Zadanie 6. Czy zbiór tych słów nad alfabetem {0, 1}, które mają tyle samo zer co jedynek, ma kres górny (dolny) w porządku leksykograficznym?
Zadanie 7. Udowodnij, że jeżeli (X, ¬) jest zbiorem częściowo uporządkowanym to jest
nim również (X, ­).
Zadanie 8. Niech X będzie skończonym zbiorem. Wykaż, że w dowolnym zbiorze częściowo uporządkowanym (X, ¬) istnieje co najmniej jeden element maksymalny oraz co
najmniej jeden element minimalny.
Zadanie 9. Udowodnij, że częściowo uporządkowany zbiór (X, ¬) jest liniowo uporządkowany wtedy i tylko wtedy, gdy każdy antyłańcuch jest jednoelementowy.
Zadanie 10. Wykaż, że w zbiorze N×N uporządkowanym „po współrzędnych”, wszystkie
antyłańcuchy są skończone.
Zadanie 11. Wykaż, że dowolny ciąg x1 , x2 , . . . parami różnych elementów liniowego
posetu (X, ¬) zawiera nieskończony monotoniczny podciąg.
Strona 1/2
MFI
Metody Formalne Informatyki: Zestaw 10
Semestr zimowy 2016/2017
Kraków
20 grudnia 2016
Zadanie 12. Pokaż, że dowolne dwa otwarte przedziały R są podobne.
Następnikiem elementu x w porządku (X, ¬) nazwiemy element y taki, że x < y oraz nie
istnieje element z taki, że x < z < y. Podobnie, poprzednikiem elementu y jest dowolny
element x taki, że x < y oraz nie istnieje element z taki, że x < z < y.
Zadanie 13. (?) Wskaż porządek (R, ¬), w którym każda liczba rzeczywista posiada
zarówno poprzednika jak i następnika.
Zadanie 14. (?) Podaj przykład zbioru częściowo uporządkowanego (X, ¬), w którym
istnieje element najmniejszy, każdy element posiada następnika, każdy element poza najmniejszym ma poprzednika, a mimo to (X, ¬) nie jest podobny do N z naturalnym porządkiem.
Zadanie 15. (?) Udowodnij, że dowolny nieskończony porządek liniowy (X, ¬) jest podobny do N z naturalnym porządkiem wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnego x ∈ X
istnieje skończona liczba elementów y ∈ X takich, że y ¬ x.
Zadanie 16. (?) Niech (X, ¬) będzie częściowym porządkiem. Zbiór A ⊆ X nazywamy
początkowym odcinkiem posetu X, gdy dla dowolnych a ∈ A oraz x ∈ X takich, że
x ¬ a zachodzi x ∈ A. Wykaż, że istnieje przeliczalny poset P , którego zbiór odcinków
początkowych jest nieprzeliczalny.
Zadanie 17. (?) Wykaż, że dla dowolnego posetu (X, ¬) istnieje gęsty poset (Y, ¬) taki,
że (X, ¬) jest podobny do pewngo podzbioru (Y, ¬).
Strona 2/2