Badanie widma fali akustycznej

Politechnika Łódzka
FTIMS
Kierunek: Informatyka
rok akademicki: 2008/2009
sem. 2.
grupa II
Nr. ćwiczenia: 122
Temat ćwiczenia:
Badanie widma fali akustycznej
Termin: 10 III 2009
Nr. studenta: 6
Nazwisko i imię:
Ocena z kolokwium: . . .
Nr. albumu: 151021
Tarasiuk Paweł
Ocena z raportu: . . .
Data wykonania ćw.:
Data oddania raportu:
Uwagi:
3 III 2009
10 III 2009
Paweł Tarasiuk, ćw. 122
1/6
Streszczenie
Sprawozdanie z ćwiczenia, którego celem było wyznaczanie początkowych składowych harmonicznych złożonych sygnałów dźwiękowych przy wykorzystaniu zjawiska powstawania stojącej
fali akustycznej w rurze obustronnie zamkniętej. Przedstawiony został opis metody, wyniki pomiarów wraz z rachunkiem błędów, wykresy oraz wnioski.
Opis metody
W celu wykonania pomiarów użyto generatora funkcyjnego, oscyloskopu, głośnika, mikrofonu, multimetru pełniącego rolę miliwoltomierza oraz połączonej z przymiarem liniowym obustronnie zamkniętej rury o regulowanej odległości między końcami.
Zasadą pomiaru jest wychwytywanie lokalnych maksimów różnicy potencjałów na zaciskach
mikrofonu (co powinno być równoważne maksimom natężenia dźwięków o różnych częstotliwościach, wywołanych przez fale stojące) w funkcji odległości między mikrofonem a głośnikiem.
Parametry rozsuwanej rury umożliwiały badanie odległości nie mniejszych niż 83 cm. Pomiary były wykonywane dla różnych jakościowo sygnałów o częstotliwości 750 Hz: sinusoidalnego,
trójkątnego i prostokątnego. Zgodnie z zasadą rozkładu dowolnej funkcji okresowej w szereg
trygonometryczny Fouriera, w każdym przypadku można zbadać początkowe harmoniczne o
najwyższych amplitudach.
Załączam fotografie ekranu oscyloskopu wykonane dla każdego z trzech wymienionych sygnałów. Zgodnie z zaleceniami instrukcji, sygnał prostokątny jest symetryczny.
Sygnał sinusoidalny
Sygnał trójkątny
Sygnał prostokątny
Wyniki pomiarów
Dla fali sinusoidalnej możliwe było odnotowanie trzech maksimów. Rzadkie występowanie
zjawiska rezonansu uzasadnione jest trywialną postacią szeregu Fouriera dla funkcji sinus wszystkie harmoniczne poza pierwszą mają zerowe amplitudy. Poniższa tabela przedstawia wartości napięcia U dla odległości x w których zaobserwowano maksima, oraz wynikający z tych
wartości wykres prążkowy:
Paweł Tarasiuk, ćw. 122
2/6
8
7
6
Przebieg sinusoidalny:
x [m]
0, 932
1, 164
1, 423
U [10−3 V]
6, 2
5, 6
5, 0
U [mV]
nr.
1.
2.
3.
5
0,5λ 11
0,5λ 12
4
3
2
1
0
0.8
0.9
1
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
x [m]
Dla przebiegu trójkątnego pomiar pozwolił stwierdzić występowanie pierwszej oraz trzeciej
harmonicznej. Łatwo zauważyć, że ze względu na symetrię wykresu dodatniej (albo ujemnej)
połowy okresu tego rodzaju sygnału, harmoniczne o parzystych rzędach mają zerowe amplitudy. Poniżej znajduje się tabela z wynikami oraz wykres prążkowy dla fali o przebiegu trójkątnym:
8
Przebieg trójkątny:
6
5
4
0,5λ 11
0,5λ 12
0,5λ 38
0,5λ 37
0,5λ 36
0,5λ 35
0,5λ 34
2
0,5λ 33
3
0,5λ 32
U [10−3 V]
2, 2
6, 0
2, 2
2, 2
5, 0
2, 2
2, 2
4, 2
2, 2
0,5λ 31
x [m]
0, 844
0, 931
1, 004
1, 083
1, 163
1, 235
1, 319
1, 422
1, 489
U [mV]
nr.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
7
1
0
0.8
0.9
1
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
x [m]
Analogicznie jak dla przebiegu trójkątnego, dla przebiegu prostokątnego możliwe było zaobserwowanie pierwszej oraz trzeciej harmonicznej, zgodnie z poniższą tabelą i wykresem.
Paweł Tarasiuk, ćw. 122
3/6
8
7
Przebieg prostokątny:
0,5λ 12
6
U [10−3 V]
7, 3
5, 8
4, 6
6, 8
5, 2
4, 8
7, 2
3, 8
1.3
0,5λ 37
0,5λ 35
1.2
0,5λ 36
0,5λ 34
0,5λ 33
4
0,5λ 32
5
0,5λ 31
x [m]
0, 921
0, 995
1, 067
1, 162
1, 244
1, 338
1, 433
1, 537
U [mV]
nr.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
0,5λ 11
3
2
1
0
0.8
0.9
1
1.1
1.4
1.5
1.6
x [m]
Obliczenia
Ze względu na przeprowadzenie serii krótkich (poniżej 10 pomiarów), przy każdym z przebiegów do obliczenia długości fal zaobserwowanych harmonicznych można zastosować średnią
arytmetyczną. Dla bardzo krótkich serii pomiarowych, czyli przy wyznaczaniu długości pierwszej
harmonicznej jako średniej z dwóch pomiarów, aby nie zaniżać błędu pomiarowego, niepewność
zostanie policzona jako połowa wartości bezwzględnej różnicy dwóch pomiarów. Natomiast w
celu wyznaczenia błędu wartościach wyższychqharmonicznych, można skorzystać ze wzoru na
Pn
1
2
błąd średni kwadratowy średniej, czyli ∆λi = n(n−1)
k=1 (λi − λik ) .
Zatem dla przebiegu sinusoidalnego:
λ1 =
2
1X
λ1i ≈ 0, 49 m
2 i=1
1
∆λ1 = |λ12 − λ11 | ≈ 0, 03 m
2
λ1 = 0, 49 ± 0, 03 m
Dla przebiegu trójkątnego:
λ1 =
2
1X
λ1i ≈ 0, 49 m
2 i=1
1
∆λ1 = |λ12 − λ11 | ≈ 0, 03 m
2
λ1 = 0, 49 ± 0, 03 m
Paweł Tarasiuk, ćw. 122
4/6
λ3 =
v
u
u 1
∆λ3 = t
8
1X
λ3i ≈ 0, 16 m
8 i=1
8
X
(λ3 − λ3k )2 ≈ 0, 01 m
8 · 7 k=1
λ3 = 0, 16 ± 0, 01 m
Uzyskanie długości fali dla trzeciej harmonicznej pozwala oszacować także jej częstotliwość,
ze wzoru fi = f1 λλ1 . Dla wyników opisujących badanie przebiegu trójkątnego wynosi ona (przy
i
podstawieniu f1 = 750 Hz, zgodnie z założeniami):
f3 = f1
λ1
≈ 2300 Hz
λ3
Dla przebiegu prostokątnego, podobnie jak dla trójkątnego, wyniki obliczeń będą opisywały
pierwszą oraz trzecią harmoniczną:
λ1 =
2
1X
λ1i ≈ 0, 51 m
2 i=1
1
∆λ1 = |λ12 − λ11 | ≈ 0, 03 m
2
λ1 = 0, 51 ± 0, 03 m
λ3 =
v
u
u 1
∆λ3 = t
7
1X
λ3i ≈ 0, 18 m
7 i=1
7
X
(λ3 − λ3k )2 ≈ 0, 01 m
7 · 6 k=1
λ3 = 0, 18 ± 0, 01 m
f3 = f1
Paweł Tarasiuk, ćw. 122
λ1
≈ 2100 Hz
λ3
5/6
Wnioski
Błędy względne w granicach 5% do 7% świadczą o skuteczności wybranej metody analizy
Fouriera dla fal o badanych przebiegach. Także uzyskane częstotliwości trzecich harmonicznych
nie różnią się istotnie od oczekiwanej wartości 2250 Hz.
Potwierdzeniem skuteczności metody jest zgodność z wnioskami jakie można wyciągnąć z
wartości z tablic - przyjmując prędkość dźwięku w powietrzu jako v = 340 m
s można oszacować,
że pierwsze harmoniczne powinny mieć długości około λ1 = fv1 ≈ 0, 45 m, czyli tylko o kilka
procent mniejsze niż wyznaczone na poststawie analizowanych pomiarów.
Najistotniejszymi źródłami błędów nieprzypadkowych są następujące problemy:
1. Zakłócenia odbioru dźwięku przez mikrofon mający niezerowe przyspieszenie (czyli przy
każdym rozpoczynaniu płynnych zmian odległości między mikrofonem a głośnikiem) wprawiały wskazówkę woltomierza w długotrwałe drgania, uniemożliwiające odczyt wartości
napięcia. Użyteczne dla celu obserwacji powstania fali stojącej okazywały się wtedy wrażenia słuchowe.
2. Bezwładność wskazówki woltomierza wpływała na pomiar nawet przy jednostajnym zwiększaniu długości rury.
3. Występował błąd paralaksy przy odczycie względnego położenia dwóch części rozsuwanej
rury interferencyjnej.
4. Częstotliwość sygnału pochodzącego z generatora nie została poddana weryfikacji.
Paweł Tarasiuk, ćw. 122
6/6