Zastosowanie metod matematyki finansowej do kalkulacji

Zastosowanie metod matematyki finansowej do kalkulacji…
XIX Ogólnopolska Konferencja Dydaktyczna
pt. Nauczanie przedmiotów ilościowych a potrzeby rynku pracy
Łódź, 7–8 czerwca 2010
Stanisław Wieteska
Katedra Ubezpieczeń, Uniwersytet Łódzki
ZASTOSOWANIE METOD MATEMATYKI FINANSOWEJ
DO KALKULACJI PODSTAWOWYCH PARAMETRÓW
EFEKTYWNOŚCI EKONOMICZNEJ INWESTYCJI
1. Postawienie problemu
Podejmowanie dowolnej działalności gospodarczej wymaga ponoszenia nakładów inwestycyjnych. Po oddaniu inwestycji do realizacji powstają strumienie
środków finansowych, które można podzielić na dwie grupy: kosztowe i dochodowe.
Kalkulacja na moment początkowy wszystkich przychodów i kosztów jest
warunkiem podstawowym rozstrzygającym o ekonomicznej efektywności podejmowanego przedsięwzięcia.
Jak się okazuje na studiach ekonomicznych w szczególności finansach rzadko prowadzi się nauczanie studentów w zakresie obliczania obecnej wartości
ciągów (strumieni) płatności. Szkolenie takie jest jednak wymagane dla: doradców finansowych, doradców inwestycyjnych, oceny biznes planów, oceny wniosków kredytowych, projektów modernizacyjnych i remontowych itp.
Obliczanie obecnej wartości ciągów (strumieni) płatności służy także do wyliczeń wskaźników techniczno-ekonomicznych.
Absolwenci studiów ekonomicznych muszą więc posiadać wiedzę w zakresie zastosowania matematyki finansowej do obliczania obecnej wartości ciągów
płatności finansowych w różnych przedsięwzięciach inwestycyjnych.
Celem tego artykułu jest prezentacja sposobów obliczenia obecnej i zakumulowanej wartości ciągów płatności finansowych a także wykorzystanie ich
przy obliczaniu podstawowych parametrów ekonomicznych inwestycji.
W artykule przedstawiamy jedynie hipotetyczne przykłady zastosowań. Zastosowane metody mogą mieć pełne odniesienie do praktyki gospodarczej.
161
Stanisław Wieteska
2. Oznaczenia1
i – roczna stopa procentowa
i
d=
– roczna stopa dyskontowa
1+ i
1
v=
– czynnik dyskontujący
1+ i
δ = ln(1 + i ) – ciągła stopa procentowa
n
 1 
1− 

 1 + i  – obecna wartość renty n-letniej o płatnościach 1 zł co
a =
ni
i
roku z dołu
n
 1 
1− 

 1 + i  – obecna wartość renty n-letniej o płatnościach co roku
a&& =
ni
d
z góry
n
 1 
1− 

 1 + i  – obecna wartość renty n-letniej ciągłej o płatnościach
a =
ni
δ
po 1 zł
a , a&& , a
– obecne wartości rent nieskończonych o płatności 1 zł
∞i ∞i ∞i
odpowiednio z dołu, z góry, ciągłej.
a
ni
n
– obecna wartość renty n-letniej o płatnościach 1 zł co k lat ( – całk
s
ki
kowite) z dołu
a
ni
– jw. lecz z góry
a
ki
1
162
Oznaczenia zaczerpnięto z Stephen G. Kellison, The theory of interest, R. D. Irwin, INC, 1991.
Zastosowanie metod matematyki finansowej do kalkulacji…
s
ki
=
(1 + i )k − 1
i
– zakumulowana wartość k-letniej renty o płatnościach po
1 zł z dołu przy stopie i
(1 + i )k − 1 – jw. lecz z góry
&s& =
ki
d
Zakładać będziemy stałą wielkość płatności w ustalonym okresie czasu. Założenie to ma na celu jedynie uproszczenie rachunków; rzadko kiedy ma odniesienie w praktyce.
3. Pojęcie obecnej wartości nakładów finansowych
W bardzo wielu elementach przygotowanych przedsięwzięć inwestycyjnych
zastanawiamy się nad podejmowaniem decyzji o kierunkach inwestowania.
Oznacza to, że dziś podejmujemy decyzje, które będą owocowały skutkami w
przyszłości. Stąd stawia się pytanie o obecną, tzn. dzisiejszą wartość np. kosztów, przychodów, które mogą wystąpić w przyszłości w związku z realizacją
określonej inwestycji.
W ekonomi za prawidłowość przyjmuje się tezę, że aktualna (bieżąca) wartość przyszłego przychodu pieniężnego jest niższa od wartości nominalnej tego
przychodu (z zastrzeżeniem procesów deflacyjnych).
Na etapie projektowania, założeń techniczno-ekonomicznych, przewidywanych zysków, symulacji przebiegu, chcemy zbadać ekonomiczną efektywność
danego przedsięwzięcia. Pytanie więc o obecną wartość nakładów finansowych
jest zasadne w celu oszacowania wielu podstawowych parametrów ekonomicznych, związanych z realizacją konkretnej inwestycji.
Obliczenie obecnej wartości może odbywać się za pomocą działania zwanym dyskontowaniem. Dyskontowanie polega na sprowadzeniu nakładów finansowych, ponoszonych w przyszłości do momentu początkowego, za pomocą
czynników dyskontujących.
Według terminologii pojęciowej prawnej „dyskontowanie polega na pomniejszaniu wynagrodzenia za nabywane prawo podmiotowe o pewną kwotę
w stosunku do wartości nominalnej tego prawa. Dyskonto stanowi różnicę między wynagrodzeniem płaconym za nabywane prawo a wartością nominalną tego
prawa2.
2
T. Czech, Odsetki a dyskonto w polskim prawie cywilnym, Prawo bankowe,
styczeń 2008, s. 26.
163
Stanisław Wieteska
Literatura przedmiotu dostarcza nam wiele metod dyskontowych do oceny
efektywności ekonomicznej projektów inwestycyjnych3.
Ze stopa dyskontową spotykamy się przy obliczeniach związanych z utratą
wartości aktywów. Przesłanki zewnętrzne (np. radykalne zmiany na rynku,
wzrost stóp procentowych) jak i wewnętrzne (np. utrata przydatności składników aktywów) mogą powodować znaczne różnice między wartością aktywów
w księgowości i na rynku4. Różnice te mogą być wyliczone za pomocą stopy
dyskontowej.
W literaturze przedmiotu spotykamy także koncepcję międzypokoleniowej
stopy dyskontowej5. Koncepcja ta jednak nawiązuje do społecznej stopy dyskontowej w realizacji inwestycji publicznych. W literaturze przedmiotu spotykamy
różne koncepcje społecznej stopy dyskonta. Najczęściej stopę tę definiuje się
jako wyraz preferencji z jakimi społeczeństwo odnosi się do przyszłych kosztów
i korzyści6. W szczególności koncepcje społecznej stopy dyskontowej:
– utożsamiają z konsumpcyjną stopą procentową,
– traktowana jako średnio ważona konsumpcyjnej stopy procentowej
i zwrotu z inwestycji sprzed opodatkowania,
– traktuje się jako koszt alternatywy,
– jako funkcja dobrobytu społecznego.
W szczególności nawiązuje się do inwestycji proekologicznych chroniących
ograniczoność zasobów naturalnych które powinny służyć wielu pokoleniom.
Zwraca się uwagę, ze stopa dyskontowa nie powinna być stosowana stała
w całym okresie analizowanego projektu czy w wycenach. Stała stopa dyskontowa jest wygodna, upraszczająca obliczenia, jednak nierzadko poważnie zniekształca wynik. Proponuje się metodę korekty kwotowej zdyskontowanej wartości końcowej, zwłaszcza przy wycenie wartości firmy7.
W dalszym ciągu artykułu pod pojęciem czynników dyskontujących rozumieć będziemy użycie np. rocznej stopy procentowej, dyskontowej na obliczanie
obecnej wartości pojedynczych płatności czy też strumieni płatności. Wysokości
tych stóp są wielkościami dyskusyjnymi, gdyż nie jesteśmy w stanie przewidzieć
3
Por. m.in. J. Bućko, Dyskontowe metody oceny efektywności ekonomicznej projektów innowacyjnych (formuły i współzależności), Przegląd organizacji, 7–8/2008, s. 47–51 oraz B. Włoszczowski, Dyskontowe metody oceny efektywności projektów inwestycyjnych, Ekonomista Nr 1 z 1997 r.,
s. 87–98.
4
Z. Miklewicz, A. Rzempała, Stopa dyskontowa do testu na utratę wartości aktywów (MSR
36), Studia i prace Wydziału Nauk Ekonomicznych Nr 10, s. 88–94.
5
K. Berbeka, Problemy stosowania międzypokoleniowej stopy dyskontowej, Ekonomista
2/2008, s. 233–242.
6
M. Fultyn, Koncepcje społecznej stopy dyskontowej w analizie ekonomicznej efektywności
inwestycji proekologicznych, Ekonomia i środowisko 2/2002, s. 41–56.
7
A. Fierta, Niestabilna stopa dyskontowa w wycenie spółki, Kwartalnik nauk
o przedsiębiorstwie 4/2007, s. 35–39.
164
Zastosowanie metod matematyki finansowej do kalkulacji…
ich wielkości w przyszłości. Jak wiadomo na wysokość stóp dyskontowych,
procentowych, wpływa wiele czynników o charakterze makroekonomicznym
m.in. takich jak: popyt, podaż, inflacja, interwencjonizm państwa, deficyt budżetowy, kursy walut. Zastosowanie stopy dyskontowej bazuje na założeniu o przyjęciu zmniejszających się wartości pieniądza wydatkowanego w przyszłości na
konsumpcję dla niezależnego uczestnika rynku. Stąd w dalszych rozważaniach
będziemy zakładać z góry wysokość stóp procentowych i dyskontowych.
4. Przykład obliczenia obecnej wartości przepływów finansowych (NPV)
Wartość NPV (netto present value) projektu jest zdefiniowana jako wartość
uzyskana przez zdyskontowanie wartości na moment początkowy przy ustalonej
stopie procentowej lub dyskontowej. Zakłada się przy tym także przewidywany
okres eksploatacji inwestycji.
Bardzo obszernie opisana została metoda NPV przez W. Rogowskiego
wskazując na jej zalety i wady8.
Do zalet zaliczył on m.in.:
– uwzględnienie zmienności pieniądza w czasie,
– spełnianie zasady addytywności i multiplikatywności,
– pozwala ona na budowanie obiektywnych kryteriów decyzyjnych,
– wiąże inwestycje z długofalowym celem działalności.
Po stronie wad zaliczył om:
– trudności w ustaleniu wysokości stóp dyskontowych,
– zakłada się płaską krzywą rentowności,
– nie pokazuje ona relatywnej opłacalności ocenianej inwestycji,
– nie uwzględnia dostosowania inwestycji do zmiennego otoczenia.
Należy się zgodzić z zaletami i słabościami stosowania metody NPV przy
ocenie ekonomicznej projektów inwestycyjnych. Realizacji w rzeczywistości
każdej inwestycji towarzyszy niepewność na którą wpływa wiele czynników
ekonomicznych i społecznych. Metoda ta stanowi jedynie orientacyjną i wstępną
podstawę do podejmowania decyzji inwestycyjnych. Poniżej rozważmy przykład obliczenia NPV.
Rozważmy projekt inwestycji o następujących parametrach:
• na początku wydajemy kwotę 20.000 zł. w celu rozpoczęcia realizacji inwestycji (np. nakłady projektowe, zakup terenu),
• na koniec pierwszego i drugiego roku wydajemy 2.000 zł, nakłady ponoszone na uruchomienie produkcji,
8
W. Rogowski, Rachunek efektywności inwestycji, Kraków 2008, s. 142–209.
165
Stanisław Wieteska
• począwszy od 3 roku do 13 roku włącznie przewidujemy średnioroczne
przychody w wysokości 4.000 zł osiągane co roku z dołu,
• począwszy od 3 roku do 12 roku włącznie przewidujemy ponoszenie
średniorocznych kosztów operacyjnych w wysokości 500 zł co roku z dołu,
• na koniec 13 roku eksploatacji projekt przewiduje likwidację zakładu,
koszty likwidacji szacuje się na 2.000 zł., zaś końcowe przychody z likwidacji
(sprzedaż maszyn, urządzeń, materiałów rozbiórkowych itp.) wynoszą 3.000 zł.
Na koniec stawiamy pytanie o obliczenie obecnej wartości netto NPN(i)
przy ustalonej rocznej stopie procentowej. Dla celów zobrazowania tego projektu narysujemy wykres NPN(i).
NPV(i)
4.000
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
3.000
●
0
1
2
-500
-2.000
●
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
Wykres 1.
Źródło: Opracowanie własne
13 Czas
●
●
-20.000 ●
166
●
Zastosowanie metod matematyki finansowej do kalkulacji…
Obliczenie NPV(i) ma postać:
NPV (i ) = −20.000 − 2.000v − 2.000v 2 − 500a v 2 − 2.000v13 +
10
+ 4.000a v 2 + 3.000v13
10
Dyskusja:
Rozważmy przypadki:
1º jeśli NPV(i) > 0 to inwestycja projektowa będzie zyskowna
2º jeśli NPV(i) = 0 to inwestycja będzie non profitowa
3º jeśli NPV(i) < 0 to inwestycja przynieść może straty
Zatem w momencie początkowym możemy wykazać opłacalność przewidywanego przedsięwzięcia.
Warto zwrócić uwagę, że wszystkie parametry tej inwestycji mogą ulegać
zmianie. Stąd symulacja podejmowana na etapie początkowym może dostarczać
wiele różnych wyników wymagających interpretacji i decyzji.
W praktyce spotykać się będziemy z rozwiązaniami wariantowymi. Obliczenie NPV(i) pozwala na wykazanie który z projektów ma większą NPV(i) i dlaczego.
Są to ważne oceny zwłaszcza przy wyborach kierunków inwestowania.
W naszym przypadku np. dla i = 0,03 NPV (0,03) = 4995,88. Oznacza to, że
NPV (i ) > 0 , projekt jest więc opłacalny.
5. Obliczenie wewnętrznej stopy zwrotu
Dla celów obliczenia efektywności przedsięwzięcia stawiamy sobie pytanie
o tzw. wewnętrzną stopę zwrotu. Bardzo dokładnie opisana została wewnętrzna
stopa zwrotu w pracy W. Rogowskiego9. Wskazał on m.in. na jej zalety takie
jak:
– prostotę w interpretacji,
– zawiera informacje o marginesie bezpieczeństwa,
– pozwala na określenie granicznego kosztu kapitału.
Wskazał on także na jej wady do których zaliczył m.in.:
– że nie spełnia zasady uniwersalności,
– zakłada, że wartość pieniądza w czasie jest równa wewnętrznej stopie
zwrotu danej inwestycji.
9
Ibidem, s. 182–198.
167
Stanisław Wieteska
W literaturze przedmiotu spotykamy także interpretację geometryczną netto
present value (NPV) jak i wewnętrznej stopy zwrotu10. Przedstawia się wartość bieżącą jako szereg funkcyjny jednostajnie i bezwzględnie zbieżny w pewnym zbiorze.
Wewnętrzna stopa zwrotu powinna uwzględnić ekonomikę projektu w całej
rozciągłości, a więc wszystkie jej przepływy pieniężne. Jest ona zorientowana na
przyszłość analizowanego projektu. Wewnętrzną stopę zwrotu można obliczyć
rozwiązując równanie NPV(i) = 0. Innymi słowy poszukujemy takiej stopy procentowej, przy której obecna wartość nakładów i kosztów, równoważy przychody
i nakłady końcowe. Zadanie nie należy do łatwych, gdyż w równaniu (NPV)
widzimy, że obliczenia wewnętrznej stopy procentowej są w czynnikach dyskontujących w dowolnych potęgach.
Rozwiązanie tego równania wymaga ze względu na parametr rocznej stopy
procentowej stosowania skomplikowanego aparatu matematycznego lub symulacji w arkuszu kalkulacyjnym programu komputerowego Excel.
Dla celów dydaktycznych szkoleniowych można tak dobrać parametry inwestycji, które dadzą proste rozwiązanie.
Zwróćmy uwagę na jeszcze jeden ważny aspekt wewnętrznej stopy zwrotu.
Dla zobrazowania problemu posłużmy się wykresem 2.
NPV(i) > 0
0
i’
i
NPV(i) < 0
Wykres 2.
Źródło: Opracowanie własne
Na wykresie 2 przedstawiamy kształtowanie się NPV(i) jako funkcji rocznej
stopy procentowej. Innymi słowy dla każdej stopy procentowej można obliczyć
wartość NPV.
Na rysunku i’ – oznacza NPV(i) = 0 czyli wewnętrzną stopę zwrotu.
10
J. Kosiński, Porównywanie projektów inwestycyjnych, Ekonomika i organizacja przedsiębiorstwa, 7/2001.
168
Zastosowanie metod matematyki finansowej do kalkulacji…
Z wykresu widzimy, że wartość dla i ∈ [0, i ') NPV(i) jest większe od 0.
Oznacza to, że inwestycja będzie opłacalną, będzie przynosiła zyski, zaś dla stóp
procentowych i > i’ NPV(i) będzie ujemne. Oznaczać to będzie, że inwestycja
będzie przynosiła straty.
Stąd dla decydentów NPV(i) = 0 wyznacza graniczną i’ roczną stopę procentową, poniżej której inwestycja może przynosić straty. Znalezienie tej granicznej
stopy zwrotu jest więc bardzo ważnym parametrem ekonomicznym przesądzającym o podejmowanym przedsięwzięciu. Należy zauważyć, że wartości NPV(i)
dla różnych wartości i nie mają charakteru liniowego lecz funkcji malejącej monotonicznie.
6. Kalkulacja ceny produkowanego dobra
Kolejnym bardzo ważnym elementem podejmowanego przedsięwzięcia jest
skalkulowanie ceny produkowanego dobra. Zagadnienie bardzo ważne, gdyż
literatura przedmiotu rzadko podejmuje ten temat. Brak jest rozważań na ten
temat w statystyce matematycznej, czy ekonometrii. Najczęściej zagadnienie to
przerzuca się na praktyków gospodarczych, często nie dając im narzędzia do jej
policzenia.
Aby skalkulować cenę danego dobra, w naszym przykładzie, wystarczy
przychód przedstawić w postaci iloczynu (P·n) gdzie:
P – poszukiwana cena jednostkowa dobra
n – przewidywana roczna ilość produkowanego dobra
Cenę produkowanego dobra należy więc policzyć przy NPV(i) = 0.
Nawiązując do naszego przykładu otrzymamy:
NPV (i ) = −20.000 − 2.000v − 2.000v 2 − 500a
10 i
+ P ⋅ na
10 i
v 2 − 2.000v13 +
v 2 + 3.000v13 = 0
Stąd:
20.000 + 2.000v + 2.000v 2 + 500a
P=
10 i
n⋅a
10 i
v 2 + 2.000v13 − 3.000v13
v2
169
Stanisław Wieteska
Wystarczy więc przyjąć założenie na przewidywaną wielkość produkowanego dobra i ustaloną stopę procentową, aby obliczyć cenę produkowanego dobra.
Bazując na powyższym rozumowaniu można się zastanowić jak zmieni się cena
produkowanego dobra gdy wkalkulujemy w nią takie parametry jak: zysk, podatek,
amortyzację, składki ubezpieczeniowe, dodatkowe koszty modernizacji itp.
7. Uwagi końcowe
Przedstawione powyżej metody obliczenia NPV, wewnętrznej stopy zwrotu,
ceny produktu, stanowią jedynie hipotetyczne obliczenia. Wszystkie założenia
wykorzystane przy obliczeniu powyższych parametrów mogą być zmienione w
dowolny (mający sens) sposób. W tym względzie może wystąpić duża liczba
możliwych symulacji ekonomicznych, pomocna przy podejmowaniu decyzji
inwestycyjnych. Warto także zwrócić uwagę, że dzięki parametrowi NPV(i)
możemy dodatkowo obliczyć m.in.:
– zdyskontowany okres zwrotu,
– skalkulować zyski lub straty,
– obliczyć wartości wskaźników techniczno-ekonomicznych na bazie
NPV(i).
Metoda NPV(i) ma także zastosowanie przy konstrukcji biznes planu a także przy wycenach nieruchomości11.
W świetle powyższego nauczanie posługiwania się metodami matematyki
finansowej i jej zastosowań jest ważnym i koniecznym obowiązkiem na studiach
ekonomicznych.
Bibliografia
Behrens W., Hawranek P.M., Poradnik przygotowania przemysłowych studiów feasibility, United
Nations Industrial Development Organisation.
Berbeka K., Problemy stosowania międzypokoleniowej stopy dyskontowej, Ekonomista 2/2008.
Bućko J., Biznes plan narzędzie zarządzania procesami rozwojowymi, Problemy eksploatacji,
2/2004.
Bućko J., Dyskontowe metody oceny efektywności ekonomicznej projektów innowacyjnych (formuły i współzależności), Przegląd organizacji, 7–8/2008.
Czech T., Odsetki a dyskonto w polskim prawie cywilnym, Prawo bankowe, styczeń 2008.
Fierta A., Niestabilna stopa dyskontowa w wycenie spółki, Kwartalnik nauk o przedsiębiorstwie
4/2007.
11
J. Bućko, Biznes plan narzędzie zarządzania procesami rozwojowymi, Problemy eksploatacji, 2/2004, s. 37–50 oraz S. Szymańczuk, Kryterium NPV i IRR w badaniu opłacalności inwestowania (głos w dyskusji), Wycena 4/1998.
170
Zastosowanie metod matematyki finansowej do kalkulacji…
Fultyn M., Koncepcje społecznej stopy dyskontowej w analizie ekonomicznej efektywności inwestycji proekologicznych, Ekonomia i środowisko 2/2002.
Gajdka J., Walińska E., Zarządzanie finansowe teoria i praktyka, Fundacja Rozwoju Rachunkowości w Polsce, 2000 r., tom II.
Kellison Stephen G., The theory of interest, Richard D. Irwin, INC, 1991.
Kosiński J., Porównywanie projektów inwestycyjnych, Ekonomika i organizacja przedsiębiorstwa,
7/2001.
Miklewicz Z., Rzempała A., Stopa dyskontowa do testu na utratę wartości aktywów (MSR 36),
Studia i prace Wydziału Nauk Ekonomicznych Nr 10.
Rogowski W., Rachunek efektywności inwestycji, Kraków 2008.
Szymańczuk S., Kryterium NPV i IRR w badaniu opłacalności inwestowania (głos w dyskusji),
Wycena 4/1998.
Włoszczowski B., Dyskontowe metody oceny efektywności projektów inwestycyjnych, Ekonomista
nr 1 z 1997 r.
Zastosowanie metod matematyki finansowej do kalkulacji podstawowych parametrów
efektywności inwestycji
Streszczenie
Kalkulacja na moment początkowy wszystkich przychodów i kosztów jest warunkiem rozstrzygającym o efektywności inwestycji.
W artykule zastosowano metody matematyki finansowej do obliczenia obecnej wartości
kosztów i przychodów a także wewnętrznej stopy zwrotu.
W końcowej części przedstawiony jest sposób obliczenia ceny produktu dla przewidywanej
inwestycji w oparciu o hipotetyczne dane.
Application of the financial mathematics methods for the calculation of the basic investment efficiency parameters
Abstract
Preliminary calculation of the income costs is a necessary condition that decides on the investment efficiency.
In the article the financial methods for calculation current costs, income and internal rate of
return were applied.
The way of the product costs calculation for the particular investment is presented in the find
part. It bases on the hypothetical data.
Translate by Stanisław Wieteska
171
Stanisław Wieteska
172