Wykład 1

Wykład 1
Badania operacyjne - zastosowanie naukowych metod do rozwiązywania problemów zarządzania w celu wspomagania menedżerów w podejmowanie lepszych
decyzji.
I. Obserwaja ⇒ II. Sformułowanie problemu ⇒ III. Konstrukcja modelu ⇒
IV. Rozwiązanie modelu ⇒ V. Analiza i implementacja rozwiązania
Przykład:
I. Firma produkuje dwa wyroby W1 i W2 z dwóch surowców S1 i S2 . Firma
chce zaplanować produkcjȩ tak aby osia̧gna̧ć jak najwiȩkszy zysk.
II. Zgromadzono nastȩpuja̧ce dane:
– 1 sztuka W1 zużywa 2 kg S1 i 1 kg S2 .
– 1 sztuka W2 zużywa 1 kg S1 i 1 kg S2 .
– Zapas S1 wynosi 100 kg a zapas S2 wynosi 80 kg.
– Zysk z 1 sztuki W1 wynosi 3 zł a zysk z 1 sztuki W2 wynosi 2 zł.
– Popyt na W1 wynosi 40 szt. a popyt na W2 jest nieograniczony.
III. Definiujemy zmienne decyzyjne x1 - ilość produkowanych szt. W1 , x2 - ilość
produkowanych szt. W2 . Model matematyczny ma nasta̧puja̧ postać:
max z = 3x1 + 2x2
2x1 + x2 ≤ 100
x1 + x2 ≤ 80
x1 ≤ 40
x1 ≥ 0
x2 ≥ 0
[Maksymalizacja zysku]
[Zużycie surowca S1 ]
[Zużycie surowca S2 ]
[Popyt na W1 ]
Chcemy wiȩc znaleźć plan produkcji maksymalizuja̧cy zysk przy posiadanych zasobach (ograniczeniach).
1
2
dr inż. Adam Kasperski, dr M. Kulej Badania Operacyjne
IV. Stosujemy pewien algorytm (poznany w dalszej czȩści wykładu) aby rozwia̧zać model. Otrzymujemy: x1 = 20, x2 = 60 czyli należy produkować 20
szt. wyrobu W1 i 60 szt. wyrobu W2 .
Model matematyczny:
max(min)z = f (x1 , . . . , xn ) [Funkcja celu]
g1 (x1 , . . . , xn ) ≤ (≥, =)b1
[Ograniczenie 1]
...
gm (x1 , . . . , xn ) ≤ (≥, =)bm [Ograniczenie m]
Zmienne x1 , . . . , xn nazywamy zmiennymi decyzyjnymi. Rozwia̧zanie spełniaja̧ce
wszystkie ograniczenia nazywamy rozwia̧zaniem dopuszczalnym. Rozwia̧zanie dopuszczalne dla którego wartość funkcji celu jest najwiȩksza (najmniejsza) nazywamy rozwia̧zaniem optymalnym.
Funkcjȩ postaci h(x1 , . . . , xn ) = a1 x1 +a2 x2 +· · ·+an xn nazywamy funkcja̧ liniowa̧.
Model w którym wszystkie funkcje f, g1 , . . . , gm sa̧ liniowe nazywamy modelem
liniowym lub zadaniem programowania liniowego. Model liniowy ma wiȩc postać:
max(min)z = c1 x1 + c2 x2 + · · · + cn xn
a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn ≤ (≥, =)b1
...
am1 x1 + am2 x2 + · · · + amn xn ≤ (≥, =)bm
x1 ≥ 0, . . . , xr ≥ 0, r ≤ n
[Funkcja celu]
[Ograniczenie 1]
[Ograniczenie m]
[Ograniczenia na znak]
Specjanymi, wyróżnionymi ograniczeniami liniowymi sa̧ ograniczenia na znak postaci xi ≥ 0.
Przykłady modeli liniowych
1. Problem ustalania diety. Pan X chce zestawić deser z czterech dań: tortu,
kremu czekoladowego, coli i ciastek. Każde danie zawiera pewna̧ ilość kalorii,
czekolady, cukru i tłuszczu (w odpowiednich jednostkach). Ilości te podane
sa̧ w poniższej tabeli.
Tort (1 porcja)
Krem (1 porcja)
Cola (1 butelka)
Ciastko (1 szt.)
Kalorie
400
200
150
500
Czekolada
3
2
0
0
Cukier
2
2
4
4
Tłuszcz
2
4
1
5
Cena
5 zł
2 zł
3 zł
8 zł
Pan X musi zjeść posiłek zawieraja̧cy co najmniej: 500 kalorii, 6 jednostek
czekolady, 10 dkg cukru i 8 dkg tłuszczu. Chce przy tym zminimalizować
koszt posiłku.
Zmienne decyzyjne:
3
dr inż. Adam Kasperski, dr M. Kulej Badania Operacyjne
• x1 - ilość porcji tortu.
• x2 - ilość porcji kremu.
• x3 - ilość butelek coli.
• x4 - ilość sztuk ciastek.
Model:
min z = 5x1 + 2x2 + 3x3 + 8x4
400x1 + 200x2 + 150x3 + 500x4 ≥ 500
3x1 + 2x2 ≥ 6
2x1 + 2x2 + 4x3 + 4x4 ≥ 10
2x1 + 4x2 + x3 + 5x4 ≥ 8
xi ≥ 0, i = 1, . . . , 4
[Minimalizacja kosztu]
[Kalorie]
[Czekolada]
[Cukier]
[Tłuszcz]
[Ograniczenia na znak]
Po rozwia̧zaniu modelu otrzymujemy optymalna̧ dietȩ: 3 porcje kremu i
1 butelkȩ coli (x1 = 0, x2 = 3, x3 = 1, x4 = 0).
2. Model procesu produkcyjnego Korporacja Rylon wytwarza cztery rodzaje
perfum: Brute, Chanelle, Super Brute i Super Chanelle. Proces produkcji
wygla̧da nastȩpuja̧co:
Brute
7$/jedn.
Super Brute
14$/jedn.
sprzedaż
Super Chanelle
10$/jedn.
sprzedaż
sprzedaż
Materiał
-3$/szt.
sprzedaż
Chanelle
6$/jedn.
• z 1 szt. materiału wytwarzane sa̧ w cia̧gu 1 godziny 3 jedn. Brute i 4
jedn. Chanelle.
• 1 jedn. Brute jest przetwarzana w cia̧gu 3 godzin w 1 jedn. Super
Brute.
• 1 jedn. Chanelle jest przetwarzana w cia̧gu 2 godzin w 1 jedn. Super
Chanelle.
• Można zakupić do 4000 szt. materiału i wykorzystać do 6000 h. pracy.
Należy opracowć plan produkcji maksymalizuja̧cy zysk.
Zmienne decyzyjne:
• x1 - liczba sprzedanych jedn. Brute.
• x2 - liczba sprzedanych jedn. Super Brute.
4
dr inż. Adam Kasperski, dr M. Kulej Badania Operacyjne
• x3 - liczba sprzedanych jedn. Chanelle.
• x4 - liczba sprzedanych jedn. Super Chanelle.
• x5 - liczba zakupionych szt. materiału.
Model:
max z = 7x1 + 14x2 + 6x3 + 10x4 − 3x5
x1 + x2 − 3x5 = 0
x3 + x4 − 4x5 = 0
x5 ≤ 4000
3x2 + 2x4 + x5 ≤ 6000
xi ≥ 0, i = 1, . . . , 5
[Maksymalizacja zysku]
[Produkcja Brute i Super Brute]
[Produkcja Chanelle i Super Chanelle]
[Limit materiału]
[Limit pracy]
[Ograniczenia na znak]
Po rozwia̧zaniu modelu otrzymujemy optymalny plan produkcji: 11 333.333
jedn. Brute, 666.667 jedn. Super Brute i 16 000 jedn. Chanelle (x1 =
11333.33, x2 = 666.667, x3 = 16000, x4 = 0, x5 = 4000). Zysk wynosi
172 666.667 $.
3. Model zapasów. Firma X produkuje pewien wyrób w cia̧gu 4 kwartałów.
Firma chce zminimalizować koszty i zaspokoić popyt. Odpowiednie dane
przedstawione sa̧ w poniższej tabeli:
Popyt (szt.)
Zdolność produkcyjna (szt.)
Koszt wytworzenia ($/szt.)
Koszt magazynowania ($/szt.)
KW I
30
60
55
2
KW II
60
60
50
2
KW III
75
60
50
3
KW IV
25
60
55
-
Na początku pierwszego i na końcu czwartego kwartału firma nie ma zapasów wyrobu.
Zmienne decyzyjne:
• xi - produkcja w i-tym kwartale, i = 1, . . . 4.
• mi - zapasy w i-tym kwartale, , i = 1, . . . 4.
30
x1
70
60
m1
x2
m2
x3
25
m3
x4
5
dr inż. Adam Kasperski, dr M. Kulej Badania Operacyjne
Model:
min z = 55x1 + 50x2 + 50x3 + 55x4 + 2m1 + 2m2 + 3m3
x1 − m1 = 30
m1 + x2 − m2 = 60
m2 + x3 − m3 = 75
m3 + x4 = 25
xi ≤ 60, i = 1, . . . 4
xi ≥ 0, mi ≥ 0, i = 1, . . . , 4
[Min. kosztu]
[Bilans w I kw.]
[Bilans w II kw.]
[Bilans w III kw.]
[Bilans w IV kw.]
[Zd. produkcyjne]
[Ograniczenia na znak]
Po rozwia̧zaniu modelu otrzymujemy: x1 = 45, x2 = 60, x3 = 60, x4 = 25,
m1 = 15, m2 = 15, m3 = 0.
4. Model inwestycji finansowych. Korporacja Finco Ivestment chce zainwestować kwotȩ 100 000 $ w piȩć inwestycji A,B,C,D,E. Okres inwestycji trwa
trzy lata. Odpowiednie przepływy finansowe podane sa̧ w poniższej tabeli:
A
B
C
D
E
0
-1$
-1$
-1$
-
1
+0.5$
-1$
+1.2$
-
2
+1$
+0.5$
-1$
3
1$
+1.9$
+1.5$
Na przykład inwestycja A jest dostępna w chwili 0, w chwili 1 (tj. po roku)
otrzymujemy 0.5$ a w chwili 2 (tj.po dwóch latach ) otrzymujemy 1$ za
każdy zainwestowany 1$ w A. Korporacja trzyma niezainwestowane pieniądze w banku na 8% w skali roku. Ponadto nie chce inwestować w żadną
inwestycję więcej niż 75 000 $. Jak zainwestować posiadaną gotówkę aby
zmaksymalizować ilość gotówki na koniec trzeciego roku.
Zmienne decyzyjne:
• xA , xB , xC , xD , xE - kwoty ulokowane w odpowiednie inwestycje.
• y0 , y1 , y2 - kwoty pozostaja̧ce w banku w chwilach 0, 1 i 2.
Model:
max z = xB + 1.9xD + 1.5xE + 1.08y2
xA + xC + xD + y0 = 100000
0.5xA + 1.2xC + 1.08y0 − xB − y1 = 0
xA + 0.5xB + 1.08y1 − xE − y2 = 0
xA , xB , xC , xD , xE ≤ 75000
xA , . . . , xE , y0 , y1 , y2 ≥ 0
[Max. gotówki w chwili 3]
[Bilans w chwili 0 ]
[Bilans w chwili 1]
[Bilans w chwili 2]
[Limit inwestycji]
[Ograniczenia na znak]
dr inż. Adam Kasperski, dr M. Kulej Badania Operacyjne
6
Rozwia̧zanie: Należy inwestować w A - 60 000$, B - 30 000$, D - 40 000$
i E - 75 000$. W banku nie należy trzymać gotówki (y0 = y1 = y2 = 0).
Gotówka w chwili 3 tj. na koniec trzeciego roku wyniesie 218500$.
5. Wybór asortymentu produkcji - fabryka mebli. Fabryka mebli produkuje
sofy, stoły i krzesła. Do ich produkcji potrzebne są między innymi trzy limitowane zasoby: drewno, obicie i praca (inne zasoby nie są limitowane).
Ilości zasobu na każdy produkt oraz ich tygodniowe limity podano w tabeli:
Mebel
Sofa
Stół
Krzesło
Limit tygodniowy
Drewno(m3 )
7
5
4
2250
Obicie(m2 )
12
7
1000
Praca(godz.)
6
9
5
240
Zysk(zł.)
400
275
190
Produkcję planuje się
na okres jednego tygodnia a cała wyprodukowana partia musi być przechowana w magazynie o pojemności 650 mebli. Fabryka chce wiedzieć ile sztuk
każdego typu mebli produkować aby zmaksymalizować zysk.
6. Optymalny plan produkcji przy minimalnych nakładach - połączenie firm
SFF i SOFOR. Dwa przedsiębiorstwa SFF i SOFOR produkujace resory
typu RS (dla pociągów) i typu RL (dla samochodów) postanowiły się połączyć (dotąd konkurowały ze sobą). W obu przedsiębiorstwach robotnicy
pracuj przez 20 dni w miesicu - w SFF 250 osób i w SOFOR 200 osób.
Przedsiębiorstwa te mają różną wydajność: w SFF produkuje się dziennie 1
resor RS lub 4 resory RL na osobę a w SOFOR jedna osoba może dziennie
wyprodukować 2 resory RS lub 1 resor RL. W przedsiębiorstwie SFF robotnik otrzymuje 25 FR za godz. pracy przy resorach RS i 20 FR za godz.
pracy przy resorach RL. W przedsiębiorstwie SOFOR stawki s inne: 35 FR
za godz. pracy przy resorach RS i 30 FR za godzinę pracy przy resorach
RL. W obu przedsiębiorstwach robotnicy pracują przez 8 godz. dziennie. Polityka płacowa nie ulega zmianie po połączeniu się przedsiębiorstw. Celem
połczonych przedsiębiorstw jest produkcja 300 resorów RS i 500 resorów RL
dziennie. Opracować taki plan produkcji, przy którym zrealizowany zostanie cel połaczonych przedsiębiorstw przy minimalnych nakładach na płace
robotników.
7. CASE - Ochrona środowiska. Rafineria wytwarza pewien produkt podstawowy, używajc dwóch surowców A i B. Wyrodukowanie 1 kg tego produktu
wymaga 1 kg surowca A i 2 kg surowca B. Stosowany proces chemiczny
daje w wyniku 1 kg produktu podstawowego, 1 kg odpadów płynnych 1 1
kg odpadów stałych. Odpady stałe oddawane są fabryce nawozów bezpłatnie, w zamian za zabranie tych odpadów. Odpady płynne nie mają żadnej
wartości rynkowej i rafineria dotychczas wylewała je bezpośrednio do rzeki.
Ostatni wprowadzono zarządzenia rządowe zabraniające wylewania odpadów płynnych do rzeki. W rafinerii stworzono zatem grupę roboczą, która przedstawiła następujący zestaw różnych możliwości poradzenia sobie z
płynnymi odpadami:
dr inż. Adam Kasperski, dr M. Kulej Badania Operacyjne
7
(a) Produkcja drugorzędnego produktu K powstałego poprzez dodanie 1 kg
surowca A do 1 kg odpadów płynnych.
(b) Produkcja drugorzędnego produktu M powstałego poprzez dodanie 1 kg
surowca B do 1 kg odpadów płynnych.
(c) Specjalne przetworzenie odpadów płynnych tak, że będą one spełniały pewne wymogi i będą mogły być wprowadzone do rzeki.
Kierownictwo rafinerii zdaje sobie sprawę, że produkty drugorzędne będą miały niską jakość i nie przyniosą wiele zysku. Wie również, że specjalne przetworzenie odpadów jest drogą operacją. Problem polega na
tym, jak zmaksymalizować zysk, spełniając wymogi ochrony środowiska. Kierownictwo rafinerii chce wiedzieć, ile ma produkować
produktu podstawowego, ile (i czy w ogóle) produktów K i M,
ile odpadów (jeśli w ogóle) ma poddać specjalnemu przetworzeniu przed wylaniem do rzeki. W poprzednim miesiącu wyprodukowano
10000 kg produktu podstawowego (nie produkowano niczego innego). Księgowość dostarczyła następujcych danych o kosztach zmiennych: surowiec A:
15000 zł.; surowiec B: 16000 zł.; siła robocza bezpośrednia: 5000 zł. Koszty
bezpośrednie siły roboczej produktów drugorzędnych szacuje się na 0.2 zł.
dla 1 kg produktu K i 0.1 zł. dla jednego kg produktu M. Cena rynkowa
1 kg produktu podstawowego wynosi 5.7 zł. Produkty drugorzędne K i M
można sprzedać odpowiednio za 0.85 zł. za kg i 0.65 zł. za kg. Przetworzenie
1 kg odpadów płynnych kosztować będzie 0.25 zł. W najbliższym okresie
rafineria będzie miała do dyspozycji maksymalnie 5000 kg surowca A i 7000
kg surowca B.
8
dr inż. Adam Kasperski, dr M. Kulej Badania Operacyjne
Metoda graficzna dla programowania liniowego. Metodę graficzna̧ można
stosować w przypadku gdy liczba zmiennych decyzyjnych jest nie wiȩksza niż
trzy.
1. Przykład 1. Rozwiąż problem:
100
x2
80
max z = 3x1 + 2x2
2x1 + x2 ≤ 100
x1 + x2 ≤ 80
x1 ≤ 40
x1 ≥ 0
x2 ≥ 0
(20,60)
60
40
20
z=60
10
20
z=180
30
40
50
60
70
80
x1
z=0
Krok 1 Rysujemy na płaszczyznie zbiór ograniczeń.
Krok 2 Rysujemy funkcje celu np: dla z = 0 i przesuwamy ja̧ równolegle do
góry (w dół dla problemu minimalizacji) dopóki przecina ona zbiór
dopuszczalnych rozwia̧zań. Maksymalnie przsuniȩta funkcja celu wyznacza optymalne rozwia̧zanie.
Optymalne rozwia̧zanie: x1 = 20, x2 = 60, z = 180. Jest to jedyne optymalne rozwia̧zanie!
2. Przykład 2. Rozwia̧zać problem:
9
dr inż. Adam Kasperski, dr M. Kulej Badania Operacyjne
100
x2
max z = 2x1 + 2x2
2x1 + x2 ≤ 100
x1 + x2 ≤ 80
x1 ≤ 40
x1 ≥ 0
x2 ≥ 0
(0,80)
80
z=160
(20,60)
60
40
20
z=40
10
20
50
40
30
60
70
80
x1
z=0
Problem posiada nieskończenie wiele rozwia̧zań optymalnych na odcinku
ła̧cza̧cym punkty (0,80) i (20,60).
3. Przykład 3. Rozwia̧zać problem:
x2
80
max z = 2x1 + 2x2
2x1 − x2 ≤ 40
x2 ≥ 20
x1 ≥ 0
x2 ≥ 0
z=320
60
40
20
z=40
10
20
30
40
x1
z=0
Problem nie posiada rozwia̧zania optymalnego. Funkcja celu może przyjmować dowolnie duża̧ wartość.
dr inż. Adam Kasperski, dr M. Kulej Badania Operacyjne
10
4. Przykład 4. Rozwia̧zać problem:
x2
max z = 3x1 + 2x2
60x1 + 40x2 ≤ 240
x1 ≥ 30
x2 ≥ 20
60
40
20
10
20
30
40
50
60
x1
Zbiór ograniczeń jst sprzeczny. Nie ma rozwia̧zania dopuszczalnego (i optymalnego).
dr inż. Adam Kasperski, dr M. Kulej Badania Operacyjne
11
Obserwacje
1. Zbiór rozwiązań dopuszczalnych jest wypukły. Zbiór D nazywamy zbiorem
wypukłym wtedy i tylko wtedy, gdy odcinek łączący dwa dowolne jego
punkty x (1) , x (2) ∈ D jest zawarty w D.
2. Wierzchołków w zbiorze rozwiązań dopuszczalnych jest tylko skończenie
wiele. Punkt x ∈ D nazywamy wierzchołkiem zbioru D wtedy i tylko wtedy,
gdy nie istnieją takie dwa punkty x (1) , x (2) ∈ D, różne od x , że dla 0 < λ <
x(1) + (1 − λ)x
x(2) . Inaczej punkt x nie leży wewnątrz odcinka
1 : x = λx
łączącego dwa inne punkty zbioru D.
3. Możliwy jest dokładnie jeden z czterech przypadków:
• Istnieje dokładnie jedno rozwia̧zanie optymalne.
• Istnieje nieskończenie wiele rozwia̧zań optymalnych na pewnym odcinku (zbiór rozwiązań optymalnych jest też wypukły).
• Funkcja celu jest nieograniczona.
• Zbiór ograniczeń jest sprzeczny - nie ma rozwia̧zania dopuszczalnego.
4. Jeżeli istnieje rozwia̧zanie optymalne to istnieje ono w pewnym wierzchołku (nazywanym również punktem ekstremalnym) zbioru rozwiązań dopuszczalnych. Jeżeli kilka wierzchołków zbioru rozwiązań dopuszczalnych reprezentuje rozwiązanie optymalne, to każdy punkt ich wypukłej kombinacji liniowej jest także rozwiązaniem optymalnym. Wypukłą kombinacją liniową wierzchołków x 1 , x 2 , . . . , x k nazywamy każdy punkt x taki, że
x = λ1x 1 + λ2x 2 + · · · + λkx k , gdzie λ1 , . . . , λk ≥ 0 i λ1 + · · · + λk = 1.