Aksjomatyka geometrii absolutnej bezwymiarowej: Asjomaty

Aksjomatyka geometrii absolutnej bezwymiarowej:
A1
AB ≡ BA
A2
AB ≡ P Q ∧ AB ≡ RS → P Q ≡ RS
A3
AB ≡ CC → A = B
A4
∃X(B(QAX) ∧ AX ≡ BC)
A5
(aksjomat o odkªadaniu odcinka)
(A 6= B ∧ B(ABC) ∧ B(A0 B 0 C 0 ) ∧ AB ≡ A0 B 0 ∧ BC ≡ B 0 C 0 ∧ AD ≡
A0 D0 ∧ BD ≡ B 0 D0 ) → CD ≡ C 0 D0 (aksjomat o pi¦ciu odcinkach)
A6
B(ABA) → A = B
A7
B(AP C) ∧ B(BQC) → ∃X(B(P XB) ∧ B(QXA))
(aksjomat Pasha)
Asjomaty wymiaru:
A8
∃A, B, C(¬B(ABC) ∧ ¬B(BCA) ∧ ¬B(CAB))
A9
(P 6= Q ∧ AP ≡ AQ ∧ BP ≡ BQ ∧ CP ≡ CQ) → (B(ABC) ∨ B(BCA) ∨
B(CAB)) (górny aksjomat wymiaru)
(dolny aksjomat wymiaru)
Aksjomat Euklidesa i jego równowa»na forma:
A10
B(ADT ) ∧ B(BDC) ∧ A 6= D →
∃X, Y (B(ABX) ∧ B(ACY ) ∧ B(XT Y ))
A 100 B(ABC) ∧ B(CDE) ∧ B(EF A) ∧ AB ≡ BC ∧ CD ≡ DE ∧ EF ≡ F A) →
F A ≡ BD
Aksjomat ci¡gªo±ci
A11
∀X , Y{∃A∀X, Y [X ∈ X ∧ Y ∈ Y → B(AXY )] → ∃B∀X, Y [X ∈ X ∧ Y ∈
Y → B(XBY )]}
Denicja 1.
aksjomatów
2-wymiarow¡ rzeczywist¡ geometri¡ hiperboliczn¡ nazywamy teori¦
A1, ..., A9, ¬A10, A11.
¬A10 ∃A, B, C, D, T : B(ADT ) ∧ B(BDC) ∧ A 6= D∧
(∀X, Y : (B(ABX) ∧ B(ACY ) → ¬B(XT Y ))
1
Wybrane poj¦cia i twierdzenia geometrii absolutnej
1. prosta, póªprosta, póªpªaszczyzna, k¡t prosty;
2. symetria ±rodkowa, symetria osiowa (jako inwolucyjne izometrie), symetralna,
dwusieczna;
3. rzut prostok¡tny punktu na prost¡;
4. ±rodek odcinka;
5. twierdzenia o sztywno±ci, doskonaªej jednorodno±ci i o redukcji w p¦ku
prostych przecinaj¡cych si¦;
6. porównywanie odcinków i dodawanie odcinków swobodnych
AB ≤ CD :↔ ∃E : AB ≡ CE ∧ B(CED)
AB < CD :↔ AB ≤ CD ∧ ¬AB ≡ CD
odcinki swobodne
[A, B]
- klasy relacji
≡
[A, B] + [C, D] := [E, F ] ↔ ∃K, L, M : AB ≡ KL ∧ CD ≡ LM ∧ EF ≡
1
KM ∧ B(KLM );
2 [A, B] := [A, M(A, B)];
Dla teorii aksjomatów
A1, ..., A9
miara odcinka jest addytywn¡ funkcj¡
µ : D0 → {
gdzie
D0
n
: m, k ∈ N}
2k
jest podzbiorem zbioru odcinków swobodnych
Po zaªo»eniu aksjomatu ci¡gªo±ci
A11
D.
miar¦ rozszerzamy do funkcji
µ :
D → R+ ∪ {0}.
8. Le»enie w k¡cie. Mówimy, »e
P
le»y w k¡cie
∠ABC :
I(P, ∠ABC) :↔ ∃X : B(AXC) ∧ X ∈ h(B, P ).
9. Porównywanie k¡tów:
∠ABC ≤ ∠DEF :↔ ∃P : I(P, ∠DEF ) ∧ ∠ABC ≡ ∠DEP.
10. Dodawanie k¡tów swobodnych.
K¡ty swobodne
α = [∠ABC],
to klasy
relacji przystawania k¡tów.
α + β = γ :↔ ∃A, B, C, D : ∠ABC ∈ α ∧ ∠CBD ∈ β ∧ ∠ABD ∈
γ ∧(I(C, ∠ABD)∨I(SB (C), ABD)) Dla teorii aksjomatów A1, ..., A9, A11
miara k¡ta jest addytywn¡ funkcj¡
ν : K → [0, π)
gdzie
K
jest zbiorem k¡tów swobodnych.
2
11. Oznaczenia dla póªprostych o wspólnym pocz¡tku
a := h(O, A), b :=
h(O, B), c := h(O, C):
∠ab := ∠AOB ,a∗ := SO (a) - póªprosta uzupeªniaj¡ca, M(a, b) - dwusieczna,
Le»enie mi¦dzy:
B(abc) :↔ I(B, ∠AOC).
12. Cechy przystawania tró jk¡tów:
Twierdzenie 1
(bbb), (bkb), (kbk).
(O k¡cie zewn¦trznym)
∠ACB, ∠ABC < ∠CAD
.
¬Col(ABC) ∧ B(BAD) ∧ A 6= D →
(k¡t zewn¦trzny w trójk¡cie jest wi¦kszy od ka»dego z
k¡tów wewn¦trznych przy pozostaªych wierzchoªkach).
Twierdzenie 2.
W dowolnym trójk¡cie
1.
AB ≡ AC ↔ ∠ACB ≡ ∠ABC
2.
AB < AC ↔ ∠ACB < ∠ABC
Wniosek 3.
ABC
Dwie proste przecinaj¡ce dan¡ prost¡ pod tym samym k¡tem s¡
b = h(B, C) ( h(A, C) = a i a0 , b0 s¡
0
0
0
odpowiednio A, B , takimi »e ∠aa ≡ ∠bb i a 6= a ,
rozª¡czne. Dokªadniej: Je±li
póªprostymi
o wierzchoªkach
to póªproste
a0 , b0
s¡ rozª¡czne.
Wniosek 4.
Denicja 2.
Je±li dwie proste maj¡ wspóln¡ prostopadª¡, to s¡ rozª¡czne.
Mówimy, »e póªproste
a = h(A, A0 )
i
b = h(B, B 0 )
s¡ równolegªe
gdy:
1.
a⊂b
2.
a, b le»¡ po tej samej stronie prostej l(A, B) i w p¦ku o wierzchoªku
B uporz¡dkowanym od h(B, A) do h∗ (B, A), b jest pierwsz¡, która nie
przecina a.
lub
b⊂a
lub
Dwie proste s¡ równolegªe, gdy zawieraj¡ równolegªe póªproste.
Prosta
jest równolegªa do póªprostej gdy zawiera równolegª¡ do niej póªprost¡.
Uwaga 5.
Relacja równolegªo±ci póªprostych jest relacj¡ równowa»no±ci ale
relacja równolegªo±ci prostych ju» nie.
K¡t równolegªo±ci
Denicja 3.
Dla dowolnej prostej
a i dowolnego punktu A ∈
/ a k¡tem równolegªo±ci
nazywamy k¡t:
∠Aa := ∠bc,
gdzie
b = h(ARa (A)) i c = h(A, A0 ) k a.
Wniosek 6.
K¡t równolegªo±ci jest nie wi¦kszy od k¡ta prostego.
Twierdzenie 7.
Je»eli
A1 ∈
/ a1 , A2 ∈
/ a2 , B1 = Ra1 (A1 ), B2 = Ra2 (A2 ),
3
to
1.
A1 B1 ≡ A2 B2 → ∠A1 a1 ≡ ∠A2 a2
2.
A1 B1 < A2 B2 → ∠A1 a1 ≥ ∠A2 a2
Twierdzenie 8
(Archimedesa)
.
∀A, B, C, D(A 6= B → ∃n ∈ N : n[A, B] > [C, D]).
Twierdzenie 9.
Je±li istnieje prosty k¡t równolegªo±ci, to ka»dy k¡t równolegªo±ci
jest prosty.
Lemat 1.
wtedy, gdy
AB ≡ A0 B 0 i BC ≡ B 0 C 0 .
∠ABC > ∠A0 B 0 C 0 .
Niech
Denicja 4.
takich »e
Wówczas
AC > A0 C 0
wtedy i tylko
A, B, C, D,
l(B, C), AB ≡ CD , R(ABC) i
Czworok¡tem Saccheriego nazywamy czwórk¦ punktów
A, D
le»¡ po tej samej stronie prostej
R(DCB).
Wªasno±ci czworok¡ta Saccheriego
1. K¡ty przy górnej podstawie s¡ przysta j¡ce.
2. Prosta ª¡cz¡ca ±rodki podstaw jest osi¡ symetrii.
3. Dwa czworok¡ty Saccheriego przystaj¡ gdy przystaj¡ dolne podstawy o
boki.
4. Podstawa górna jest nie mniejsza od dolnej.
5. K¡ty przy górnej podstawie s¡ ostre lub proste.
Twierdzenie 10.
Suma dwóch k¡tów ostrych trójk¡ta prostok¡tnego jest nie
wi¦ksza od k¡ta prostego.
Twierdzenie 11
.
(Saccheriego-Legendre'a)
Suma dwóch k¡tów wewn¦trznych
trójk¡ta jest nie wi¦ksza od k¡ta zewn¦trznego przy trzecim wierzchoªku.(Suma
k¡tów wewn¦trznych trójk¡ta jest nie wi¦ksza od k¡ta póªpeªnego.)
Twierdzenie 12.
nego
α ∈ (0, π)
»e
A, B, C i dowol|∠BDA| < α.
W geometrii absolutnej (teorii aksjomatów
A1, ..., A9, A11)
Dla dowolnych punktów niewspóªliniowych
istnieje taki punkt
Twierdzenie 13.
D
na póªprostej
nast¦puj¡ce zdania s¡ równowa»ne aksjomatowi
h(A, C),
A10:
(K) Ka»dy k¡t równolegªo±ci jest prosty.
(E) Dla dowolnych: prostej
przechodz¡ca przez
A,
a
i punktu
A∈
/ a,
istnieje dokªadnie jedna prosta
która jest rozª¡czna z
a.
(T) Suma miar k¡tów wewn¦trznych ka»dego trójk¡ta jest równa
(P) Ka»dy czworok¡t Saccheriego jest prostok¡tem.
4
π.
(IT) Istnieje trójk¡t o sumie miar k¡tów wewn¦trznych równej
π.
(IP) Istnieje prostok¡t.
(IE) Istniej¡: prosta
a
prosta rozª¡czna z
i punkt
A∈
/ a,
przez który przechodzi dokªadnie jedna
a.
(IK) Istnieje prosty k¡t równolegªo±ci.
A10'
B(ABC) ∧ B(CDE) ∧ B(EF A) ∧ AB ≡ BC ∧ CD ≡ DE ∧ EF ≡ F A) →
F A ≡ BD.
5