Untitled

Spis treści
Wyrażenia wymierne
Przekształcanie wielomianów
Równania wymierne
..............................................................................
...........................................................................................
Hiperbola. Przesuwanie hiperboli
Powtórzenie
8
12
......................................................................
19
........................................................................................................
26
Praca badawcza Hiperbola, elipsa, parabola
......................................................
28
...............................................................................................
32
..............................................................................................................
43
Prawdopodobieństwo
Zdarzenia losowe
Drzewka
Własności prawdopodobieństwa
Elementy kombinatoryki
........................................................................
51
....................................................................................
59
Kombinatoryka i prawdopodobieństwo
Powtórzenie
.............................................................
67
........................................................................................................
72
Praca badawcza. Metoda Monte Carlo
...............................................................
74
.........................................................................................................
78
Stereometria
Wielościany
Wielościany foremne
..........................................................................................
89
Kąty w wielościanach
.........................................................................................
95
Pola powierzchni i objętości graniastosłupów i ostrosłupów
Przekroje prostopadłościanów
.........................
104
.........................................................................
111
Pola powierzchni i objętości wielościanów
......................................................
116
Walec
................................................................................................................
120
Stożek
...............................................................................................................
125
..................................................................................................................
131
Kula
Powtórzenie
......................................................................................................
Praca badawcza. Linie geodezyjne
ODPOWIEDZI
136
...................................................................
138
....................................................................................................
143
W podręczniku przyjęto następujące oznaczenia:
— zadanie nieelementarne (niekoniecznie trudne)
— zadanie trudne
MLK3x str. 5
77
MLK3x str. 77
WIELOŚC
IANY
WIELOŚCIANY
Na rysunku przedstawiono kilkanaście brył zwanych wielościanami. W zrozumieniu rysunków pomoże ci budowanie modeli. Każdy wielościan jest
ograniczony wielokątami — ścianami wielościanu — w taki sposób, że każda krawędź wielościanu jest wspólnym bokiem dwóch ścian.
A
Wśród powyższych wielościanów wskaż te, które
nie są wypukłe.
Figurę (płaską lub przestrzenną) nazywamy wypukłą, gdy każdy z odcinków łączących dwa dowolne punkty figury cały
zawiera się w tej figurze.
Istnieje wiele różnych definicji wielościanu, jednak wszystkie są dosyć
skomplikowane. Co więcej, pewne bryły zgodnie z jedną definicją są wielościanami, a według innych definicji nimi nie są. Nie ma jednak wątpliwości,
że według każdej z tych definicji znane ci z wcześniejszej nauki graniastosłupy i ostrosłupy są wielościanami.
B
Znajdź wśród powyższych wielościanów te, które są graniastosłupami, oraz te,
które są ostrosłupami.
78
STEREOMETRIA
MLK3x str. 78
Poniżej przypominamy podstawowe wiadomości o graniastosłupach i ostrosłupach.
GRANIASTOSŁUP
OSTROSŁUP
Graniastosłup to wielościan, w którym można wskazać dwie ściany
(podstawy) będące przystającymi
wielokątami, leżącymi na równoległych płaszczyznach, oraz pozostałe ściany (ściany boczne) będące
równoległobokami.
Ostrosłup to wielościan, w którym
można wskazać jedną ścianę (podstawę) będącą dowolnym wielokątem oraz pozostałe ściany (ściany
boczne) będące trójkątami o wspólnym wierzchołku.
Krawędzie boczne graniastosłupa mają
równe długości i są równoległe.
Wspólny wierzchołek wszystkich ścian
bocznych ostrosłupa nazywamy wierzchołkiem ostrosłupa.
Naszkicuj albo opisz wielościan, który nie jest graniastosłupem, ale można
w nim wskazać dwie ściany, które są:
C
1. wielokątami leżącymi na równoległych płaszczyznach,
2. przystającymi wielokątami,
3. przystającymi wielokątami leżącymi na równoległych płaszczyznach.
Wysokością graniastosłupa nazywamy każdy odcinek łączący płaszczyzny
podstaw i prostopadły do obu tych płaszczyzn.
Uwaga. Pojęcie odcinka prostopadłego do płaszczyzny jest intuicyjnie jasne i taka
intuicja wystarcza na potrzeby tego rozdziału. Dokładniej prostopadłość prostych i płaszczyzn w przestrzeni omawiamy w następnym rozdziale.
WIELOŚCIANY
MLK3x str. 79
79
Jeśli podstawy graniastosłupa są trójkątami, to
nazywamy go graniastosłupem trójkątnym, jeśli podstawy są czworokątami, to nazywamy
go graniastosłupem czworokątnym itd.
D
Ile wszystkich krawędzi, ile wierzchołków i ile
ścian ma graniastosłup dwunastokątny, a ile
n-kątny?
Graniastosłup, w którym krawędzie boczne są
prostopadłe do podstaw, nazywamy graniastosłupem prostym.
Uwaga. Wszystkie ściany boczne graniastosłupa
prostego są prostokątami.
Graniastosłup, w którym wszystkie ściany są
prostokątami, nazywamy prostopadłościanem.
Uwaga. W prostopadłościanie za podstawy można
przyjąć dowolną parę ścian równoległych.
Graniastosłup, w którym krawędzie boczne nie
są prostopadłe do podstaw, nazywamy graniastosłupem pochyłym.
Graniastosłup prosty, w którym podstawy są
wielokątami foremnymi, nazywamy graniastosłupem prawidłowym.
E
Oblicz sumę długości wszystkich krawędzi graniastosłupa prawidłowego siedmiokątnego o wysokości 3 i krawędzi podstawy długości 2.
Uwaga. Na podstawie rysunku graniastosłupa na ogół nie możemy rozstrzygnąć,
czy jest to graniastosłup prawidłowy. Na przykład rysunek poniżej (pierwszy
z lewej strony) mógłby przedstawiać każdy z graniastosłupów, których siatki
są narysowane obok, czyli zarówno graniastosłup prawidłowy, jak również taki,
który prawidłowy nie jest.
80
STEREOMETRIA
MLK3x str. 80
Wysokością ostrosłupa nazywamy odcinek łączący wierzchołek ostrosłupa
z płaszczyzną podstawy, prostopadły do tej płaszczyzny. Koniec wysokości
leżący na płaszczyźnie podstawy nazywamy spodkiem wysokości.
Zauważ, że w graniastosłupie można wskazać wiele odcinków, które są wysokościami, a ostrosłup, który nie jest trójkątny, ma tylko jedną wysokość.
F
Naszkicuj ostrosłup czworokątny, który spełnia podany warunek.
1. Jedna z krawędzi bocznych jest jednocześnie wysokością ostrosłupa.
2. Spodek wysokości leży poza podstawą ostrosłupa.
3. Spodek wysokości ostrosłupa jest środkiem krawędzi podstawy.
Jeśli podstawa ostrosłupa jest trójkątem, to
ostrosłup nazywamy trójkątnym, jeśli podstawa jest czworokątem, to nazywamy go czworokątnym itd.
Ile wszystkich wierzchołków, ile ścian i ile
krawędzi ma ostrosłup dwunastokątny, a ile
n-kątny?
G
Ostrosłup trójkątny nazywany jest czworościanem.
Uwaga. W czworościanie każdą ze ścian możemy
uznać za podstawę. Czworościan ma zatem cztery
wysokości.
Ostrosłup, w którym podstawa jest wielokątem foremnym i krawędzie boczne mają równe długości, nazywamy ostrosłupem prawidłowym.
Uwaga. W ostrosłupie prawidłowym ściany boczne
są przystającymi trójkątami równoramiennymi.
H
Oblicz sumę długości wszystkich krawędzi ostrosłupa prawidłowego czworokątnego o krawędzi podstawy długości 2 i wysokości 3.
I
Jakie wielokąty mogą być podstawami ostrosłupa prawidłowego, w którym
wszystkie krawędzie mają jednakową długość?
WIELOŚCIANY
MLK3x str. 81
81
Oto ważne twierdzenie dotyczące ostrosłupów prawidłowych.
W ostrosłupie prawidłowym spodek wysokości jest środkiem
okręgu opisanego na podstawie.
Dowód
Aby udowodnić powyższe twierdzenie, wystarczy wykazać, że spodek wysokości jest jednakowo odległy od wszystkich wierzchołków podstawy.
Rozważmy w ostrosłupie prawidłowym trójkąty,
których dwoma bokami są wysokość ostrosłupa
i krawędź boczna.
Wszystkie takie trójkąty są prostokątne, mają
wspólną przyprostokątną i przeciwprostokątne
o tej samej długości. Wobec tego we wszystkich
tych trójkątach trzeci bok — odcinek łączący
spodek wysokości z wierzchołkiem podstawy —
ma taką samą długość.
Zauważ, że taki sam dowód można przeprowadzić dla nieco ogólniejszego
twierdzenia:
Jeśli wszystkie krawędzie boczne ostrosłupa mają równe długości,
to na podstawie ostrosłupa można opisać okrąg i środek tego okręgu
jest spodkiem wysokości ostrosłupa.
J
Na rysunkach przedstawiono ostrosłupy prawidłowe.
Oblicz długości odcinków
oznaczonych literami.
Z powyższego twierdzenia wynika, że spodek
wysokości ostrosłupa prawidłowego trójkątnego pada w punkcie, w którym przecinają się
wysokości podstawy. Punkt ten dzieli każdą
z wysokości w stosunku 1 : 2.
K
Na poniższym rysunku przedstawiono ostrosłup prawidłowy trójkątny.
Jakie długości mają odcinki x i y?
82
STEREOMETRIA
MLK3x str. 82
P
Krawędź podstawy ostrosłupa prawidłowego trójkątnego ma długość 3, a jego
krawędź boczna ma długość 4. Jaką wysokość ma ten ostrosłup?
|AF | =
√
3 3
2
Korzystamy ze wzoru na wysokość
√
trójkąta równobocznego h = a 2 3 .
2
2
√
3 3
|AE | = 3 |AF | = 3 · 2
=
√
3
|AE |2 + |DE |2 = |DA|2
√
( 3)2 + |DE |2 = 42
√
|DE | = 13
Odp. Wysokość ostrosłupa jest równa
√
Odcinek AE to 23 wysokości podstawy ostrosłupa.
Korzystamy z tw. Pitagorasa.
13.
Podstawą graniastosłupa prostego o wysokości 3 jest romb o boku 2. Kąt ostry
rombu ma miarę 60◦. Oblicz długości przekątnych tego graniastosłupa.
Trójkąt ABD jest równoboczny,
a odcinek AS to wysokość tego
trójkąta.
|BD| = 2
|AS| =
√
2 3 √
= 3
2
√
|AC | = 2 3
|AG|2 = |AC |2 + |CG|2
√
|AG|2 = (2 3)2 + 32
√
|AG| = 21
|HB|2 = |BD|2 + |DH|2
Korzystamy z tw. Pitagorasa
dla trójkątów prostokątnych
ACG i HDB.
|HB|2 = 22 + 32
√
|HB| = 13
Odp. Przekątne tego graniastosłupa mają długości
√
21 i
√
13.
KILKA UWAG O RYSOWANIU BRYŁ
Na zdjęciu model sześcianu oświetlony
jest światłem o równoległych promieniach. Na białym ekranie widać cień
modelu.
Sporządzając rysunek wielościanu na
kartce, wykonujemy go tak, jakbyśmy
rysowali cień rzucany przez krawędzie
tego wielościanu.
WIELOŚCIANY
MLK3x str. 83
83
Poniższe zdjęcia wykonano w ten sposób, że ramkę w kształcie kwadratu (na zdjęciu: zielony czworokąt) ustawiono w różnych położeniach
względem ekranu, otrzymując cienie o różnych kształtach. Przyglądając
się zdjęciom, można zauważyć, że cienie równoległych boków ramki są
równoległe, cień kwadratowej ramki ma zawsze kształt równoległoboku.
Kolejna ramka miała kształt trapezu równoramiennego, w którym poprowadzono wysokość (czerwony odcinek) łączącą środki podstaw. Można
zauważyć, że jeśli punkt dzieli odcinek na dwie równe części, to cień punktu dzieli cień odcinka w tym samym stosunku.
Gdy rysujemy wielościany, musimy przestrzegać następujących reguł:
Jeśli w wielościanie odcinki są równoległe, to odpowiadające im odcinki
na rysunku także są równoległe.
Jeśli w wielościanie odcinki są równoległe i równej długości, to odpowiadające im na rysunku odcinki też są równoległe i równej długości.
Jeśli punkt dzieli odcinek w wielościanie w pewnym stosunku, to odpowiadający mu punkt na rysunku dzieli odcinek w tym samym stosunku.
84
STEREOMETRIA
MLK3x str. 84
ZADANIA
1. Przerysuj i uzupełnij tabelki.
Graniastosłupy
Liczba ścian
Ostrosłupy
7
Liczba krawędzi
Liczba ścian
9
Liczba wierzchołków
7
Liczba krawędzi
12
10
Liczba wierzchołków
9
2. a) Ile ścian bocznych ma ostrosłup o 100 krawędziach?
b) Ile ścian bocznych ma graniastosłup o 100 wierzchołkach?
c) Czy graniastosłup może mieć 20 krawędzi?
d) Czy ostrosłup może mieć 15 krawędzi?
e) Czy ostrosłup może mieć 22 krawędzie i 12 ścian bocznych?
f) Czy graniastosłup może mieć 10 ścian bocznych i 20 wierzchołków?
Liczba ścian (S), liczba wierzchołków
(W ) i liczba krawędzi (K) dowolnego wielościanu wypukłego są ze sobą związane zależnością, którą odkrył w 1752 roku wielki matematyk
szwajcarski Leonhard Euler (czyt. leonard ojler).
wzór eulera:
S+W = K+2
3. a) Ile krawędzi ma wielościan wypukły o 10 ścianach i 12 wierzchołkach?
b) Wykaż, że nie może istnieć wielościan wypukły o dwudziestu krawędziach i dziewiętnastu ścianach.
c) Podaj liczbę ścian, wierzchołków
i krawędzi graniastosłupa, którego podstawą jest n-kąt. Sprawdź, czy liczby te
spełniają wzór Eulera.
4. Wykaż, korzystając ze wzoru Eulera, że liczby ścian, wierzchołków i krawędzi
wielościanu wypukłego nie mogą być kolejnymi liczbami naturalnymi.
5. Niech jedna ze ścian pewnego wielościanu wypukłego będzie wielokątem przystającym do jednej ze ścian innego wielościanu wypukłego. Wykaż, że jeśli te
wielościany skleimy przystającymi ścianami (tak, by odpowiednie krawędzie przylegały do siebie), to dla otrzymanego wielościanu można stosować wzór Eulera.
6. a) Czy istnieje graniastosłup, który nie ma przekątnych?
b) Czy w graniastosłupie prawidłowym wszystkie
przekątne mają taką samą długość?
c) Ile przekątnych ma graniastosłup n-kątny?
Przekątna wielościanu
to odcinek łączący dwa
wierzchołki i nieleżący
na żadnej ścianie.
d) Czy w każdym graniastosłupie czworokątnym dowolne dwie przekątne się przecinają?
86
STEREOMETRIA
MLK3x str. 86