Grafy planarne Marcin Zar˛ebski

Grafy planarne
Marcin Zar˛ebski
13 listopada 2010
Przykład 1. Trzech nieprzyjaźnie nastawionych do siebie sasiadów
˛
chce
połaczyć
˛
swoje domy z siecia˛ gazowa,˛ elektryczna˛ i źródłem wody w taki
sposób aby te połaczenia
˛
si˛e nie przecinały. Czy jest to możliwe?
1
Definicja 1. Grafem planarnym nazywamy graf, który można narysować
na płaszczyźnie bez przeci˛eć - tzn. tak by żadne dwie kraw˛edzie nie
przecinały si˛e (poza wierzchołkami, które sa˛ dla nich wspólne). Każdy
taki rysunek nazywamy rysunkiem płaskim. W dalszym ciagu
˛ b˛edziemy
rozważać tylko grafy bez p˛etli i wielokrotnych kraw˛edzi.
Przykład 2. Planarność grafu nie pociaga
˛ za soba˛ tego, że każdy jego rysunek płaski nie ma kraw˛edzi, które si˛e nie przecinaja.˛
Przykład 3. Graf planarny można narysować na wiele sposobów (tak aby
rysunki uzasadniały jego planarność).
2
Definicja 2. Graf prosty, w którym każda para różnych wierzchołków jest
połaczona
˛
kraw˛edzia,˛ nazywamy grafem pełnym. Graf pełny majacy
˛ n
wierzchołków oznaczamy symbolem Kn .
Jeśli zbiór wierzchołków grafu G może być podzielony na dwa rozłaczne
˛
zbiory A i B w taki sposób, aby każda kraw˛edź G łaczyła
˛
wierzchołek
zbioru A z wierzchołkiem zbioru B, to taki graf nazywamy grafem dwudzielnym.
3
Pełny graf dwudzielny jest to graf dwudzielny, w którym każdy wierzchołek zbioru A jest połaczony
˛
dokładnie jedna˛ kraw˛edzia˛ z każdym wierzchołkiem zbioru B. Jeśli A ma r elementów, natomiast B s, to pełny graf
dwudzielny oznaczamy Kr,s .
Przykład 4. Problem z przykładu 1 jest pytaniem o to czy graf K3,3 jest
planarny. Pokażemy, że nie jest.
Graf ten posiada cykl uavbwc. Musi si˛e on pojawić w każdym rysunku
płaskim w postaci sześciokata.
˛
Zastanówmy si˛e jak umieścić kraw˛edzie
ub, vc, wa. Tylko jedna z nich może być narysowana wewnatrz
˛ tego sześciokata
˛ (inaczej przetna˛ si˛e). Jednocześnie na zewnatrz
˛ możemy narysować
jedna˛ z nich. Otrzymana sprzeczność dowodzi nieplanarności grafu K3,3 .
Prowadzac
˛ podobne rozumowanie można pokazać, że graf K5 nie jest planarny.
Twierdzenie 1. Podgraf grafu planarnego jest planarny. Jeśli graf posiada
podgraf nieplanarny, to sam jest nieplanarny.
4
Wzór Eulera
Definicja 3. Jeśli G jest grafem planarnym, to każdy rysunek płaski grafu
G dzieli płaszczyzn˛e na obszary zwane ścianami. (Jedna z nich jest nieograniczona).
Twierdzenie 2. Niech G b˛edzie rysunkiem płaskim spójnego grafu płaskiego i niech v, e, f oznaczaja˛ odpowiednio liczb˛e wierzchołków kraw˛edzi
i ścian grafu G. Wtedy v-e+f=2.
Dowód.
Indukcja ze wzgl˛edu na e. Jeśli e = 0, to v = 1, f = 1 i wzór zachodzi.
Przypuśćmy teraz, że twierdzenie jest prawdziwe dla wszystkich grafów
spójnych majacych
˛
co najwyżej e−1 kraw˛edzi i niech G b˛edzie grafem majacym
˛
e kraw˛edzi. Jeśli G jest drzewem to, e = v−1, f = 1 i wzór zachodzi.
Jeśli G nie jest drzewem, to istnieje w G pewien cykl, usuńmy z niego
jedna˛ kraw˛edź. Powstały graf jest spójnym grafem o e − 1 kraw˛edziach,v
wierzchołkach i f − 1 ścianach. Z założenia indukcyjnego wynika, że
v − (e − 1) + (f − 1) = 2. Stad
˛ wynika, że v-e+f=2.
Wniosek 1. Liczba ścian nie zależy od sposobu narysowania grafu.
Wniosek 2. Jeśli G jest grafem płaskim o v wierzchołkach, e kraw˛edziach,
f ścianach i k składowych spójności. Wtedy v − e + f = k + 1
Wniosek 3. Jeśli G jest spójnym grafem planarnym majacym
˛
v ≥ 3 wierzchołków, e kraw˛edzi, to e ≤ 3v − 6 . Jeśli ponadto G nie ma trójkatów,
˛
to
e ≤ 3v − 6.
Dowód.
3f ≤ 2e
Wniosek 4. Grafy K5 , K3,3 sa˛ nieplanarne
5
Dowód.
Gdyby graf K5 był planarny, to z poprzedniego wniosku, mielibyśmy nierówność
10 ≤ 9. Gdyby graf K3,3 był planarny to z drugiej ostatniego wniosku
mielibyśmy 9 ≤ 8. Obie nierówności nie sa˛ prawdziwe.
Wniosek 5. Każdy graf planarny posiada wierzchołek stopnia co najwyżej
5.
Dowód.
Bez straty ogólności możemy założyć, że graf jest spójny i posiada co najmniej 3 wierzchołki. Gdyby każdy wierzchołek miał stopień chociaż 6, to
dostalibyśmy 6v ≤ 2e, a wi˛ec 3v ≤ e, co jest sprzeczne z wnioskiem 3.
Wniosek 6. Jeśli G jest spójnym grafem planarnym, to co najmniej połowa
jego wierzchołków ma stopień ≤ 10.
6
Testowanie planarności
Metoda polega na poszukiwaniu cyklu w grafie (jeżeli to możliwe to
hamiltonowskiego). Staramy si˛e podzielić kraw˛edzie spoza cyklu na dwa
rozłaczne
˛
podzbiory: takie, które możemy narysować na zewnatrz
˛
lub
wewnatrz
˛
cyklu. Jeżeli takie zbiory istnieja˛ to graf jest planarny. Jeżeli
nie to graf jest nieplanarny.
Przykład 5. Zilustrujemy metod˛e na przykładzie grafu
Naturalnym jest wybrać nast˛epujacy
˛ cykl
Z boku wypisaliśmy kraw˛edzie, które do niego należa.˛ Spróbujmy
umieścić kraw˛edź ac w zbiorze A (kraw˛edzie, które b˛edziemy rysować
7
wewnatrz).
˛
Pozostałe kraw˛edzie to ad, ae, ah, bd, bg, bi, df, eh, f h, gi . Wtedy kraw˛edzie bd, bg, bi musza˛ być narysowane na zewnatrz
˛ (niech należa˛
do zbioru B). Nasza sytuacja wyglada
˛ nast˛epujaco:
˛
Kraw˛edzie, które nie zostały jeszcze umieszczone ani w B ani w A, to
ad, ae, ah, df, eh, f h, gi . Patrzac
˛ na rysunek widzimy, że kraw˛edzie ad, ae, ah
powinniśmy umieścić w zbiorze A. Kraw˛edź df na obecnym etapie mogłaby
należeć do obu zbiorów, ale zostawmy ja˛ na chwil˛e w spokoju. Kraw˛edzie
eh, f h musza˛ trafić do A. Na liście pozostały df, gi. Rysunek wyglada
˛
nast˛epujaco:
˛
8
W tej chwili widzimy już, że df, gi musza˛ należeć do B. Co wi˛ecej podział,
który otrzymaliśmy ma żadane
˛
własności:
Tak wi˛ec graf jest planarny.
9
Twierdzenie Kuratowskiego
Opiszemy teraz kolejne metody pozwalajace
˛ na sprawdzanie planarności
grafu. Rozważmy dowolny graf G. Umieszczenie w nim nowych wierzchołków na istniejacych
˛
kraw˛edziach nie wpływa na jego planarność. Mówimy,
że grafy G,H sa˛ homeomorficzne jeżeli graf H został utworzony z G przez
taka˛ operacj˛e. Z tego wynika, że nast˛epujace
˛ grafy sa˛ nieplanarne (jako
homeomorficzne z K5 , K3,3 ):
Twierdzenie 3. (Kuratowskiego) Graf G jest planarny dokładnie wtedy
gdy nie zawiera podgrafu homeomorficznego z K5 lub K3,3
10
Przykład 6. Nast˛epujace
˛ grafy nie sa˛ homeomorficzne:
Wynika to z faktu, że jeśli grafy sa˛ homeomorficzne, to różnica pomi˛edzy
liczba˛ kraw˛edzi i liczba˛ wierzchołków jest stała.
Do wyrażenia innego kryterium planarności potrzebujemy poj˛ecia ścia˛
galności grafu. Rozpocznijmy od ściagni˛
˛ ecia pewnej cz˛eści grafu do punktu.
Załóżmy, że chcemy ściagn
˛ ać
˛ podgraf utworzony przez kraw˛edź vw ściagn
˛ ać
˛
do jednego wierzchołka. W tym celu tworzymy graf złożony z wszystkich
pozostałych wierzchołków i jeszcze jednego u, który zastapi
˛ wierzchołki
v, w. Kraw˛edź z wierzchołka u do innego wierzchołka t istnieje tylko wtedy, gdy w wyjściowym grafie istnieje kraw˛edź tv lub tw. Jeżeli jednak
powstana˛ w ten sposób wielokrotne kraw˛edzie, to zast˛epujemy je pojedynczymi. Graf G nazywamy ściagnialnym
˛
do grafu H jeżeli H może być
otrzymany z G poprzez skończony ciag
˛ powyżej opisanej operacji nazywamy skończony ciag
˛ powyżej opisanej operacji.
Twierdzenie 4. Graf G jest planarny dokładnie wtedy gdy nie zawiera
podgrafu ściagalnego
˛
do grafu K5 lub K3,3
11
Przykład 7. Grafem Petersena nazywamy nast˛epujacy
˛ graf:
Może być on ściagni˛
˛ ety do grafu K5 , a wi˛ec nie jest planarny.
Powyższe twierdzenia daja˛ nam warunki konieczne i dostateczne. Jednak ich wykorzystanie jest trudne przez co nie sa˛ wykorzystywane w algorytmach służacych
˛
do weryfikowania planarności.
12
Przykład 8. Poniższy graf nie jest planarny (bo zawiera K3,3 jako podgraf).
Nie jest on ani ściagalny
˛
do K5 , K3,3 ani homeomorficzny, z którymkolwiek z nich.
13
Zastosowania
A. Planowanie sieci dróg dla samochodów.
B. Opracowywanie planów lotów dla samolotów.
C. Rozmieszczanie elementów sieci gazowej, elektrycznej, wodnej.
D. Telekomunikacja (The Spanning Tree Protocol (STP)). Podstawowe funkcje
STP to zapobieganie powstawaniu p˛etli i zapobieganie przerywaniu
transmisji danych.
E. Tworzenie układów scalonych (Very-large-scale integration (VLSI)). VSLI
jest procesem tworzenia układów scalonych, który polega na łacze˛
niu tysi˛ecy tranzystorów w jednym chipie (Zacz˛eto go stosować ok.
1970). Termin ten jest obecnie rzadziej stosowany. Współczesne chipy
składaja˛ si˛e z miliardów tranzystorów.
14
Bibliografia
[1] Robin J. Wilson, Wprowadzenie do teorii grafów, PWN, 1988
[2] Joan M. Aldous, Robin J. Wilson, Graphs and applications: an introductory approach, Springer, 2000
[3] Planar graph. (2010, September 13). In Wikipedia, The Free
Encyclopedia. Retrieved 15:24, November 13, 2010, from
http://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Planar_
graph&oldid=384541052
15