a) an = n, n = 0,1

Cz. Bagiński – Materiały dydaktyczne
Matematyka Dyskretna 6/2008
1. Podać zwartą postać funkcji tworzącej każdego z następujących ciągów:
a) an = n, n = 0, 1, 2, . . . ;
b) an = na , n = 0, 1, 2, . . . ; c) an = an , n = 0, 1, 2, . . . ;
d) an = n na , n = 0, 1, 2, . . . ; e) an = n2 , n = 0, 1, 2, . . . ;
f) an = nk , n = 0, 1, 2, . . . .
2. Na ile sposobów można zbudować kolumnę rozmiaru 2 × 2 × n z cegieł rozmiaru 2 × 1 × 1?
1
3. Niech A(x) = 1−3x+2x
2 będzie funkcją tworzącą ciągu {an }n>0 . Obliczyć a5 oraz podać b7 ,
gdzie {bn }n>0 jest ciągiem, którego funkcją tworzącą jest funkcja B(x) = A(x) · A(x).
1
4. Niech A(x) = (1−x)
2 będzie funkcją tworzącą ciągu {an }n>0 . Wyznaczyć jawny wzór na an .
Podać wzór na funkcję tworzącą ciągu sum częściowych tego ciągu (tzn. ciągu {sn }n>0 określonego
wzorem: sn = a0 + a1 + . . . + an ). Obliczyć s5 .
5. Podaj jawną postać n-tego wyrazu ciągu {gn }n>0 określonego rekurencyjnie wzorami: g0 = 1,
gn = gn−1 + 2gn−2 + 3gn−3 + · · · + ng0 dla n > 0.
6. Niech {fn }n>0 będzie ciągiem określonym wzorami: f0 = f1 = 1, fn = 2fn−1 + fn−2 + · · · + f0
dla n > 2. Znaleźć zwartą postać funkcji tworzącej ciągu {fn }n>0 ? Jaki związek ma ten ciąg z ciągiem
Fibonacciego? Podaj jawną postać n-tego wyrazu ciągu.
7. Ciąg rekurencyjny określamy wzorami: a0 = a1 = 1, an = an−1 + 2an−2 + (−1)n , dla n > 2.
Stosując technikę funkcji tworzących znaleźć jawny wzór na n-ty wyraz ciągu.
Rozwiązanie. Niech A(x) będzie funkcją tworzącą ciągu {an }n>0 , tzn.
A(x) =
∞
X
an xn = a0 + a1 x + a2 x2 + a3 x3 + a4 x4 + · · ·
(1)
n=0
Korzystając ze wzorów definiujących ciąg otrzymujemy:
A(x) = 1 + x + a2 x2 + a3 x3 + a4 x4 =
1 + x + (a1 + 2a0 + 1)x2 + (a2 + 2a1 − 1)x3 + (a3 + 2a2 + 1)x4 + · · · =
1 + x + x(a1 x + a2 x2 + a3 x3 + · · · ) + 2x2 (a0 + a1 x + a2 x2 + a3 x2 + · · · ) + x2 (1 − x + x2 − x3 + · · · )
x2
1 + x + x(A(x) − 1) + 2x2 A(x) + 1+x
.
Zatem
A(x) = 1 +
x2
+ A(x)(x + 2x2 )
1+x
czyli
A(x)(1 − x − 2x2 ) = 1 +
i ostatecznie
A(x) =
x2
1+x
1
x2
+
.
1 − x − 2x2 (1 + x)(1 − x − 2x2 )
Korzystając z tego, że 1 − x − 2x2 = (1 + x)(1 − 2x), standardową metodą dokonujemy rozkładu na
ułamki proste. W efekcie otrzymujemy:
1
2
3x
7
A(x) =
−
+
9 1 + x (1 + x)2 1 − 2x
1
Cz. Bagiński – Materiały dydaktyczne
Teraz na mocy równości:
1
1+x
= 1 − x + x2 − x3 + · · · =
∞
P
(−1)n xn
n=0
1
(1+x)2
∞
P
= 1 − 2x + 3x2 − 4x3 + · · · =
(−1)n (n + 1)xn
n=0
∞
P
1
1−2x
= 1 + 2x + 22 x2 + 23 x3 + · · · =
2n xn
n=0
dostajemy
A(x) =
1
9
1+
∞
P
2·
n=0
∞
P
n=1
(−1)n xn
+
∞
P
3(n + 1) ·
(−1)n xn+1
+
n=0
1
9
Ostatecznie zatem: a0 = 1 i an =
∞
P
7·
2n xn
=
n=0
((2 + 3n) · (−1)n + 7 · 2n ) xn .
1
9
((2 + 3n) · (−1)n + 7 · 2n ) dla n > 1.
8. Na ile sposobów można wydać 50 groszy używając do tego monet o nominałach (w gr.)
1, 2, 5, 10, 20, 50?
9. Niech k będzie liczbą całkowitą nieujemną. Wyznaczyć funkcję tworzącą liczby rozwiązań w
liczbach całkowitych równania
x1 + x2 + x3 = k
(2)
przy ograniczeniach:



0 6 x1 6 3,
(3)
1 6 x2 ,


2 6 x .
3
Rozwiązanie. Niech ak oznacza liczbę rozwiązań równania (2) przy podanych ograniczeniach. Dla
małych wartości k liczbę ak wyznaczymy licząc ’na palcach’. I tak, a0 = 0, bo równanie x1 +x2 +x3 = 0
nie ma rozwiązań, przy podanych ograniczeniach. Podobnie jest z równaniami x1 + x2 + x3 = 1 i
x1 + x2 + x3 = 2, a zatem a1 = 0 i a2 = 0 Jedynym rozwiązaniem równania x1 + x2 + x3 = 3
jest (0, 1, 2) (tzn. x1 = 0, x2 = 1, x3 = 2). Dla następnych wartości k wypiszmy rozwiązania bez
komentarza:
Równanie:
x1 + x2 + x3 = 4
Rozwiązania:
(0, 1, 3), (0, 2, 2)
(1, 1, 2)
Zatem
a4 = 3 = 2 + 1 =
3
2
Równanie:
x1 + x2 + x3 = 5
Rozwiązania:
(0, 1, 4), (0, 2, 3), (0, 3, 2)
(1, 1, 3), (1, 2, 2)
(2, 1, 2)
2
Cz. Bagiński – Materiały dydaktyczne
Zatem
a5 = 6 = 3 + 2 + 1 =
4
2
Równanie:
x1 + x2 + x3 = 6
Rozwiązania:
(0, 1, 5), (0, 2, 4), (0, 3, 3), (0, 4, 2),
(1, 1, 4), (1, 2, 3), (1, 3, 2)
(2, 1, 3), (2, 2, 2)
(3, 1, 2)
Zatem
a6 = 10 = 4 + 3 + 2 + 1 =
5
2
Dla następnych wartości k sytuacja się nieco zmienia:
Równanie:
x1 + x2 + x3 = 7
Rozwiązania:
(0, 1, 6),
(1, 1, 5),
(2, 1, 4),
(3, 1, 3),
(0, 2, 5), (0, 3, 4), (0, 4, 3), (0, 5, 2)
(1, 2, 4), (1, 3, 3), (1, 4, 2)
(2, 2, 3), (2, 3, 2)
(3, 2, 2)
Zatem
a7 = 14 = 5 + 4 + 3 + 2 = (5 + 4 + 3 + 2 + 1) − 1 =
6
2
2
2
−
Równanie:
x1 + x2 + x3 = 8
Rozwiązania:
(0, 1, 7),
(1, 1, 6),
(2, 1, 5),
(3, 1, 4),
(0, 2, 6),
(1, 2, 5),
(2, 2, 4),
(3, 2, 3),
(0, 3, 5), (0, 4, 4), (0, 5, 3), (0, 6, 2)
(1, 3, 4), (1, 4, 3), (1, 5, 2)
(2, 3, 3), (2, 4, 2)
(3, 3, 2)
Zatem
a8 = 14 = 6 + 5 + 4 + 3 = (6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1) − (2 + 1) =
7
2
−
3
2
Te obserwacje wystarczą do stwierdzenia, że dla następnych wartości k liczba rozwiązań ma postać:
ak =
k−1
2
k−5
2
−
Przejdźmy teraz do funkcji tworzącej ciągu ak czyli szeregu:
A(x) = a0 + a1 x + a2 x2 + a3 x3 + a4 x4 + a5 x5 + a6 x6 + a7 x7 + · · ·
Uwzględniając wyliczone wyżej wartości ak mamy:
A(x) =
2
2
x3 +
3
2
x4 +
4
2
x5 +
5
2
x6 + (
6
2
−
3
2
2
)x7 + (
7
2
−
3
2
)x8 + (
8
2
−
4
2
)x9 + · · ·
Cz. Bagiński – Materiały dydaktyczne
Widać zatem, że ten szereg daje się przedstawić w postaci różnicy dwóch szeregów:
A(x) =
2
2
x3 +
3
2
x4 +
4
2
x5 +
5
2
6
2
x6 +
7
2
x7 +
x8 +
8
2
x9 + · · · −
2
2
x7 +
3
2
x8 +
4
2
x9 + · · ·
Z pierwszego z nich wyciągnijmy przed nawias x3 , a z drugiego x7 . Otrzymamy:
A(x) = x3
2
2
3
2
4
2
+
x+
x2 +
5
2
x3 +
6
2
x4 + · · · −
− x7 22 + 32 x + 42 x2 + 52 x3 + 62 x4 + · · · =
= (x3 − x7 ) 22 + 32 x + 42 x2 + 52 x3 + 62 x4 + · · · .
W ogólnie dostępnej literaturze można znaleźć (a też łatwo to udowodnić), że
2
2
+
3
2
x+
4
2
x2 +
5
2
x3 +
6
2
x4 + · · · = (1 + x + x2 + x3 + x4 + · · · )3 =
Zatem
A(x) =
1
(1 − x)3
x3 − x7
.
(1 − x)3
Można to jeszcze nieco uprościć, bo w liczniku wydziela się czynnik 1−x, ale zostawiam to czytelnikom
do samodzielnego dokończenia.
10. Pewien ciąg {gn }>0 spełnia rekurencję agn + bgn+1 + cgn+2 + d = 0, n > 0, dla pewnych liczb
całkowitych a, b, c i d z największym wspólnym dzielnikiem równym 1. Ma on również postać zwartą
√
gn = bα(1 + 2)n c, n > 0, dla pewnej liczby rzeczywistej α między 0 i 1. Znaleźć a, b, c, d i α.
√
√
11. Znaleźć równanie rekurencyjne definiujące ciąg an = (1 + 2)n + (1 − 2)n , n > 0.
Przygotował: Cz. Bagiński
4