Rozwiązywanie trójkątów prostokątnych

8. 2. ROZWIĄZYWANIE TRÓJKĄTÓW PROSTOKĄTNYCH
Przykład 8.2.1. Posługując się rysunkiem oraz wiedząc, Ŝe tgα =
1
oblicz długości
4
boków x i y.
x
y
•
α
8
Rozwiązanie
tgα =
y
8
1 y
=
4 8
4y = 8/ : 4
y=2
y 2 + 82 = x 2
2 2 + 82 = x 2
4 + 64 = x 2
68 = x 2
x = 68
x = 4 ⋅ 17 = 2 17
Komentarz
Obliczamy y wykorzystując definicję tangensa
przykrostokatna _ naprzeciw _ α
przyprostokatna _ przy _ α
1
oraz fakt, Ŝe tgα =
.
4
tgα =
Otrzymane równanie jest proporcję, to
doprowadzamy je do postaci wielomianowej
mnoŜąc „ na krzyŜ” licznik z mianownikiem.
Obliczamy x wykorzystując twierdzenie
Pitagorasa.
Przykład 8.2.2. Oblicz obwód trójkąta prostokątnego o kącie 30° i przyprostokątnej
długości 6 , leŜącej przy kącie 30° .
Rozwiązanie
Komentarz
Analiza zadania.
x
y
30˚
•
6
Szukane: Ob = ?
Wzory: Ob = x + y + 6
cos 30° =
6
x
3 6
=
2
x
x 3 = 6⋅2
x 3 = 12 /⋅ 3
3 x = 12 3 / : 3
x=4 3
6
ctg 30° =
y
3=
6
/⋅ y
y
Do obliczenia x wykorzystujemy definicję
kosinusa
cosα =
oraz
przyprostokatna_ przy_α
przeciwprostokatna
cos 30° =
3
2
Do obliczenia y wykorzystujemy definicję
kotangensa
ctgα =
oraz
przyprostokatna _ przy _ α
przyprostokatna _ naprzeciw _ α
ctg 30° = 3
y 3 = 6 /⋅ 3
3y = 6 3 / : 3
y=2 3
Ob = 4 3 + 2 3 + 6 = 6 3 + 6
Obliczamy obwód trójkąta
Przykład 8.2.3. W trójkącie równoramiennym o podstawie długości 18 , kąt przy wierzchołku
α = 120° . Oblicz długość wysokości i ramienia tego trójkąta.
Rozwiązanie
Komentarz
Analiza zadania.
α
b
b
h
a
Dane: a = 18
α = 120°
Szukane: h = ?
b=?
Wysokość podzieliła trójkąt równoramienny na
dwa trójkąty prostokątne.
60˚
b
h
•
9
tg 60° =
9
h
9
/⋅ h
h
h 3 = 9 /⋅ 3
3=
Do obliczenia wysokości h wykorzystujemy
definicję tangensa
tgα =
oraz
przykrostokatna _ naprzeciw _ α
przyprostokatna _ przy _ α
tg 60° = 3
3h = 9 3 / : 3
h=3 3
sin 60° =
9
b
3 9
=
2
b
b 3 = 9⋅2
b 3 = 18 /⋅ 3
3b = 18 3 / : 3
b=6 3
Do obliczenia ramienia b wykorzystujemy
definicję sinusa
sin α =
oraz
przyprostokatna _ naprzeciw _ α
przeciwprostokatna
sin 60° =
3
2
Przykład 8.2.4.Stok góry jest nachylony do powierzchni ziemi pod kątem 10˚.
Wyznacz wysokość góry , jeśli długość stoku wynosi 10 km . Wynik podaj w metrach.
Rozwiązanie
Komentarz
Analiza zadania.
s
h
α
Dane: s = 10 km = 10 000m
α = 10°
Szukane: h = ?
Do obliczenia wysokości h wykorzystujemy
definicję sinusa
sin α =
10 000
przyprostokatna _ naprzeciw _ α
przeciwprostokatna
h
Z tablic z przybliŜonymi wartościami funkcji
trygonometrycznych odczytujemy przybliŜoną
wartość sin 10° ≈ 0,1736
10˚
•
sin 10° =
h
10000
0,1736 ≈
h
/⋅ 10000
10000
h ≈ 1736 m
Odp. Góra ma około 1736m wysokości.
ĆWICZENIA
Ćwiczenie 8.2.1. (2pkt.) W trójkącie prostokątnym sinus jednego z kątów ostrych ma wartość
4
. Oblicz długości przyprostokątnych tego trójkąta wiedząc, Ŝe przeciwprostokątna
5
ma długość 10 cm .
schemat oceniania
Numer
odpowiedzi
Odpowiedź
Liczba punktów
1
Podanie długości jednej z przyprostokątnych
1
2
Podanie długości drugiej przyprostokątnej.
1
Ćwiczenie 8.2.2. (3pkt.)Posługując się rysunkiem wyznacz długości boków x i y oraz miarę
kąta α .
5
α
y
•
30˚
x
schemat oceniania
Numer
odpowiedzi
Odpowiedź
Liczba punktów
1
Podanie długości x
1
2
Podanie długości y
1
3
Podanie wartości α
1
Ćwiczenie 8.2.3. (2pkt.) W prostokącie przekątna d = 6 jest nachylona do jednego z boków
pod kątem α = 60° . Oblicz długości boków prostokąta.
schemat oceniania
Numer
odpowiedzi
Odpowiedź
Liczba punktów
1
Podanie długości jednego z boków
1
2
Podanie długości drugiego boku
1
Ćwiczenie 8.2.4. (1pkt.)Latarnia rzuca cień którego długość wynosi 15 m gdy promienie
słoneczne tworzą z powierzchnia ziemi kat 58 o . Oblicz wysokość latarni.
schemat oceniania
Numer
odpowiedzi
1
Odpowiedź
Podanie wysokości latarni
Liczba punktów
1