NT. Funkcja liniowa
Transkrypt
NT. Funkcja liniowa
Funkcja liniowa - podsumowanie 1. Funkcja - wprowadzenie Założenie wyjściowe: Rozpatrywana będzie funkcja opisana w dwuwymiarowym układzie współrzędnych XY. Oś X nazywana jest osią odciętych (oś zmiennych niezależnych) , natomiast oś Y nazywa się osią rzędnych (oś zmiennych zależnych). Funkcją, która odwzorowuje zbiór każdemu elementowi na zbiór Y, nazywamy takie przyporządkowanie, w którym (tzw. argumentowi funkcji) odpowiada dokładnie jeden element (jest to wartość funkcji dla danego argumentu). Zbiór wszystkich elementów należących do zbioru X (wszystkich argumentów funkcji) nazywa się dziedziną funkcji D. Zbiór wszystkich wartości danej funkcji (dla wszystkich jej argumentów) nazywa się przeciwdziedziną funkcji. Miejsce zerowe funkcji - miejsce przecięcia wykresu funkcji z osią X (osią zmiennych niezależnych). W miejscu tym wartość funkcji jest zerowa, tzn. jest to punkt o współrzędnych . Symboliczny zapis funkcji odwzorowującej zbiór X na zbiór Y: Możliwe sposoby przedstawienia funkcji: a. graf (użyteczny, jeżeli zbiór argumentów składa się ze stosunkowo małej liczby argumentów, których wartości są liczbami nie tworzącymi zbioru ciągłego) b. tabelka (uwaga jak wyżej; zgodna z powyższym grafem!) x y Funkcja liniowa - podsumowanie -5 4 -2 3 0 7 1 4 3 0 4 -1 Strona 1 c. wykres (zgodny z grafem i tabelką; żółte punkty na układzie współrzędnych) Y 5 -5 X 5 -5 UWAGA: Wykresem funkcji jest zbiór wszystkich punktów, których współrzędne (jeśli d. zapis w postaci wzoru: , np. ) dane są następująco: . 2. Funkcja liniowa w postaci kierunkowej - własności Funkcję daną wzorem: nazywa się funkcją liniową. gdzie: a - współczynnik kierunkowy prostej. Jeżeli to funkcja jest malejąca, natomiast dla to mamy do czynienia z funkcją rosnącą, dla mamy do czynienia z funkcją stałą. b - wartość tego współczynnika określa współrzędne punktu przecięcia z osią Y (osią rzędnych). Funkcja liniowa - podsumowanie Strona 2 Możliwe przypadki przedstawiono na poniższych wykresach. Y 1 1 2 Y Y 2 3 1 3 2 X X X 3 1: 2: 3: 1: 2: 3: 1: 2: 3: Jeżeli dwie proste mają takie same wartości współczynników kierunkowych a, to są one do siebie równoległe. W sytuacji gdy iloczyn współczynników kierunkowych dwóch prostych jest równy minus jeden, to takie proste są do siebie prostopadłe: W przypadku różnych wartości współczynników kierunkowych, dwie proste są względem siebie skośne, to znaczy przecinają się. Wartość współczynnika kierunkowego jest związana również z kątem nachylenia prostej względem dodatniej półosi osi X (osi odciętych). Jeżeli dwie proste mają różne dodatnie wartości tego współczynnika, to na wykresie bardziej stromy przebieg ma prosta o większej wartości „ a” (większa wartość kąta między daną prostą a dodatnią półosią osi X). Natomiast gdy dwie proste mają różne ujemne wartości tego współczynnika, to bardziej stromy przebieg ma prosta o większej wartości ujemnej współczynnika „a”. Pokazano to na poniższych wykresach. Y Y X Funkcja liniowa - podsumowanie X Strona 3 Funkcja liniowa dana zależnością: przecina oś rzędnych Y zawsze w punkcie (np. C) o współrzędnych: ma jedno miejsce zerowe, którego współrzędne (np. punkt D) dane są następująco: Jeżeli prosta przechodzi przez dwa punkty o współrzędnych i , to wartości współczynników „a” i „b” tej prostej można znaleźć rozwiązując dowolną metodą następujący układ równań: Wartość współczynnika kierunkowego prostej można również wyrazić następująco: Y y2 y1 2 1 α x1 x2 X Uwaga: Wartość współczynnika kierunkowego prostej mówi nam o ile zmieni się wartość tej funkcji, jeżeli wartość jej argumentu wzrośnie o 1. przy czym, jeśli: , to nastąpił wzrost wartości funkcji (funkcja rosnąca), , to nastąpił spadek wartości funkcji (funkcja malejąca), , to wartość funkcji się nie zmienia (funkcja stała). Średnia watość funkcji liniowej w rozpatrywanym przedziale wartości argumentów x, jest równa średniej arytmetycznej liczonej z wartości początkowej i końcowej tej funkcji w tym przedziale. Funkcja liniowa - podsumowanie Strona 4 Jeżeli wykres pewnej zależności jest liniowy i przechodzi przez początek układu współrzędnych (nie leżąc na żadnej z osi tego układu), to można również powiedzieć, że wielkości opisane na tych osiach są do siebie wprost proporcjonalne (tzw. propocjonalność prosta); prosta dana jest wtedy równanie: ( ). Oznacza to, że jeżeli wartość jednej z nich rośnie np. dwa razy, to wartość drugiej z nich też rośnie dwa razy. Inaczej mówiąc stosunek ma stałą wartość równą . Jeżeli znana jest wartość współczynnika kierunkowego prostej oraz współrzędne punktu przez który przechodzi, to równanie tej prostej dane jest w postaci: Wynika stąd, że jeśli znane są współrzędne innego punktu (np. ), przez który ta prosta przechodzi, to równanie takiej prostej dane jest zależnością: W zagadnieniach fizycznych, związanych z funkcją liniową, często przedstawiane są zmiany pewnej wielkości fizycznej od czasu, na przykład zależność prędkości od czasu odniesienia czy zależność odległości ciała od punktu . 3. Inne postacie funkcji liniowej 3.1 Postać ogólna Jeżeli funkcja liniowa zostanie przedstawiona w postaci: gdzie współczynniki A i B nie mogą równocześnie przyjmować wartości równej zero, nazywa się równaniem ogólnym prostej. Jeśli dane są dwie proste w postaci ogólnej: to: proste te są do siebie prostopadłe, jeżeli spełniony jest warunek: proste te są do siebie równoległe, jeżeli spełniony jest warunek: Funkcja liniowa - podsumowanie Strona 5 3.1 Postać odcinkowa Jeżeli funkcja liniowa zostanie przedstawiona w postaci: gdzie: b - wartość rzędnej punktu przecięcia rozpatrywanej funkcji liniowej z osią Y, c - wartość odciętej punktu przecięcia rozpatrywanej funkcji liniowej z osią X. to nazywana jest ona postacią odcinkową prostej. Uwaga: wartość współczynnika b jest taka sama, jak jego wartość w równaniu kierunkowym, wartość współczynnika c wynosi tyle co współrzędna przecięcia prostej z osią X, tzn.: każda prosta dana równaniem: , tzn. mająca przebieg pionowy nie jest funkcją! Interpretacja geometryczna postaci odcinkowej prostej: Y b X 0 c Zadanie domowe 1. Dana jest funkcja liniowa przechodząca przez punkty A i B (patrz: poniższy wykres): Y A 6 2 -3 Funkcja liniowa - podsumowanie B 2 X Strona 6 a. Napisz równanie prostej przechodzącej przez punkty A i B w postaci kierunkowej. [2 pkt] b. Oblicz współrzędne punktu C będącego miejscem zerowym tej funkcji. [1 pkt] c. Napisz równanie prostej przechodzącej przez punkty A i B w postaci odcinkowej. [1 pkt] d. Napisz równanie prostej przechodzącej przez punkty A i B w postaci ogólnej. [1 pkt] e. Sprawdź rachunkowo, czy punkt leży na prostej przechodzącej przez punkty A i B. [1 pkt] f. Oblicz, o ile zmieni się wartość rozpatrywanej funkcji, jeżeli wartość jej argumentu wzrośnie o 15. [1 pkt] g. Oblicz odległość punktu A od początku układu współrzędnych. [1 pkt] h. Napisz równanie prostej równoległej do rozpatrywanej prostej i przechodzącej przez punkt . [1 pkt] i. Napisz równanie prostej równoległej do rozpatrywanej prostej i przechodzącej przez punkt . [1 pkt] j. Oblicz pole powierzchni trójkąta ograniczonego wykresem tej prostej i osiami układu współrzędnych. [1pkt] k. Oblicz wartość parametru m, dla którego prosta , będzie się przecinać z rozpa- . [1pkt] trywaną prostą w punkcie o współrzędnych l. Znajdź współrzędne punktu przecięcia rozpatrywanej prostej z prostą [2 pkt]: 2. Funkcję opisaną w poniższej tabelce, przedstaw w postaci grafu i na wykresie. [2 pkt] x y -6 -3 -4 -1 -2 3 0 1 3 0 3. Zależność szybkości samochodu od czasu ruchu opisuje równanie: 6 -4 [m/s]. a. Oblicz wartość prędkości samochodu w chwili początkowej. [1pkt] b. Po upływie ilu sekund ruchu szybkość samochodu wyniesie 10 m/s? [1pkt] c. Oblicz wartość zmiany prędkości samochodu pomiędzy czwartą a ósmą sekundą ruchu samochodu. [1pkt] d. Oblicz wartość szybkości samochodu po upływie 20 sekundy ruchu. [1pkt] e. Narysuj wykres tej zależności dla . [2pkt] 4. *Miasta A i B znajdują się w odległości 200 km od siebie. O godzinie 16 00 z miasta A wyjechał samochód i jadąc ze stałą prędkością 100 km/h skierował się do miasta B. O godzinie 16 30 z miasta B wyjechał motorowerzysta i jadąc ze stałą prędkością 50 km/h skierował się do miasta A. O której godzinie nastąpi ich spotkanie na drodze? Rozwiąż zadanie rachunkowo i graficznie, zakładając, że początek układu odniesienia ( np. osi X) znajdował się w połowie odległości między tymi miastami. [6 pkt] Funkcja liniowa - podsumowanie Strona 7